Lista – Álgebra Linear Modelagem Matemática e Computacional

Lista – Álgebra Linear
Modelagem Matemática e Computacional
Prof.
José Geraldo
(Dated: 03 de dezembro de 2015)
Nome:
Observações
1. Esta lista deve ser entregue no dia 16 de dezembro, impreterivelmente.
2. Justifique suas respostas.
Questões
1. Sejam
V
um
espaço
vetorial
real
de
dimensão
finita
n
e
B
=
{Φ : V × V → R|Φ é forma bilinear} o conjunto de todas as formas bilineares
sobre V .
(a) Mostre que B é um espaço vetorial.
(b) Calcule a dimensão de B.
(c) Sejam A = {Φ ∈ B|Φ é antissimétrica} e S = {Φ ∈ B|Φ é simétrica} subconjuntos de B formados pelas formas bilineares antissimétricas e simétricas, respectivamente. Mostre que A e S são subespaços de B.
(d) Mostre que A S = B.
2. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a n, Pn e a seguinte
aplicação f : Pn × Pn → R, dada por
ˆ
f (p, q) =
1
w (x) p (x) q (x) dx.
−1
Que propriedades a função w (por vezes chamada “função peso”) deve satisfazer para
que a aplicação acima seja um produto interno em Pn ?
3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Suponha que em V dois produtos
internos estejam definidos: h·, ·i e hh·, ·ii. Construa um exemplo para mostrar que um
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operador linear autoadjunto em relação ao produto interno h·, ·i não é autoadjunto em
relação ao produto interno hh·, ·ii.
4. Resolva os exercícios 9, 10 e 11 da seção 9.4 do livro do Boldrini.
5. Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n dotado de produto interno
h·, ·i e T : V → V um operador linear. Denotamos T̄ o adjunto de T .
(a) Mostre que T̄¯ = T , i.e., o adjunto do adjunto de T é o próprio T .
(b) Se W é subespaço invariante a T, mostre que W ⊥ é subespaço invariante a T̄ .
(c) Seja S = T̄ T . Mostre que S é autoadjunto.
N.B.: T̄ T é uma simplificação para a notação de T̄ ◦ T .
(d) Mostre que os autovalores de S são números reais não-negativos.
6. Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n dotado de produto interno
h·, ·i e X : V → V e Y : V → V operadores lineares. Definimos R = αX + βY . Mostre
que R̄ = α∗ X̄ + β ∗ Ȳ .
7. Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n dotado de produto interno
h·, ·i e T : V → V um operador linear normal, i.e., T T̄ = T̄ T .
(a) Mostre que o operador R = T + αI é normal, onde α é um número complexo
qualquer e I é o operador identidade.
(b) Mostre que se ~v é autovetor de T com autovalor µ, então ~v também é autovetor
de T̄ com autovalor µ∗ .
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Adjutório: Verifique que k(T + µI) ~v k2 = T̄ + µ∗ I ~v = 0, onde a norma é
induzida pelo produto interno.
(c) Mostre que autovetores de T associados a autovalores distintos são ortogonais.
(d) Seja W = span {~v } o subespaço gerado pelo autovetor ~v de T com autovalor µ.
Mostre que W é invariante a T̄ e W ⊥ é invariante a T .
(e) Considere a restrição do operador T ao subespaço W ⊥ , T |W ⊥ . Em outras palavras, T |W ⊥ (w)
~ ≡ T (w)
~ , para todo w
~ ∈ W ⊥ . Mostre que T |W ⊥ é operador
linear normal. Além disso, mostre que o polinômio característico de T |W ⊥ divide
o polinômio característico de T .
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(f) Use os resultados acima para provar o seguinte
Teorema: Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n dotado
de produto interno h·, ·i e T : V → V um operador linear normal. Então, existe
uma base ortonormal β de V na qual [T ]ββ é matriz diagonal. Reciprocamente,
uma matriz diagonal representa, em relação a uma base ortonormal β de V , um
operador normal.
Adjutório: Proceda por indução, mostrando que o teorema é válido para espaços
vetoriais unidimensionais e, em seguida, suponha que o teorema é válido para
espaços de dimensão n−1 e, então, conclua que é válido para espaços de dimensão
n.