exercícios - CEFET

CEFET/MG
Exercı́cios e questões de Álgebra
Linear
Versão 1.2
Prof. J. G. Peixoto de Faria
Departamento de Fı́sica e Matemática
25 de outubro de 2012
Digitado em LATEX (estilo RevTEX).
2
I.
À GUISA DE NOTAÇÃO
→
Vetores são representados por letras latinas minúsculas sob uma seta como u; matrizes
por letras latinas em negrito, como A; e números, muitas vezes, por letras gregas minúsculas.
At indica a transposta de A.
A† indica o conjugado hermiteano da matriz A, i.e., A† = (A∗ )t .
α∗ indica o conjugado complexo de α.
O conjunto das matrizes reais (ou complexas) de ordem n × m é designado por Mn×m (R)
(ou Mn×m (C)).
O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n é Pn ; o conjunto de todos os
polinômios de grau qualquer é P.
C 0 designa o conjunto das funções contı́nuas; C 1 , o conjunto das funções diferenciáveis;
C n , o conjunto das funções n-vezes diferenciáveis.
O espaço gerado pelo conjunto de vetores
n→ →
o
→
span v 1 , v 2 , . . . , v n .
n→ →
o
→
v 1, v 2, . . . , v n
é designado por
det M é o determinante da matriz quadrada de ordem n × n M = [aij ], i.e.,
X
det M =
sgn (σ) a1σ(1) a2σ(2) × · · · × anσ(n) ,
σ∈Sn
onde Sn é o conjunto de todas as permutações σ do conjunto {1, 2, . . . , n} e sgn (σ) é o sinal
da permutação σ.
tr M é o traço da matriz quadrada M, i.e., a soma dos elementos da diagonal principal
de M.
II.
ALGUMAS PROPRIEDADES ÚTEIS
1. Propriedades do traço de uma matriz:
(a) tr M = tr Mt ;
(b) tr (M + N) = tr M + tr N;
(c) tr (αM) = α tr M, α ∈ R;
(d) tr (MN) = tr (NM).
2. Propriedades do determinante de uma matriz:
3
(a) det (MN) = det M det N;
(b) det Mt = det M;
(c) det αM = αn det M.
4
III.
MATRIZES
1. Sejam A, X e J as matrizes






1 −1
x y
0 1
, X = 
, J = 
.
A=
2 0
z w
−1 0
Obtenha a(s) solução(ões) (i.e., obtenha X) da equação matricial AX − XA = J.
2. Considere a equação matricial AX = J, onde




1 2 −2
0 0








A =  2 −1 −1  , J =  0 6 




1 −1 1
6 0
(a) Qual deve ser a ordem da matriz X para que a equação acima esteja bem definida?
(b) Verifique se a matriz A possui inversa.
(c) Determine a solução da equação matricial, i.e., determine o conjunto das matrizes
X que satisfazem a equação acima.
3. Formalmemente, a exponencial de uma matriz quadrada M de ordem n é a matriz
quadrada eM , também de ordem n, dada pela expressão
M
e
∞
X
1 k
1 k
1 2
M .
= I + M + M + ··· + M + ··· = I +
2
k!
k!
k=1
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A2 = I, onde I é a matriz identidade
de ordem n.
(a) Mostre que
etA = I cosh t + A senh t,
onde t é um número.
(b) Mostre que a inversa de eA é e−A .
Lembretes:
∞
X
ex + e−x
1 2k
cosh x =
=1+
x ,
2
(2k)!
k=1
∞
senh x =
ex − e−x X
1
=
x2k+1 ,
2
(2k
+
1)!
k=0
cosh2 x − senh2 x = 1.
5
4. Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A2 = A, onde A2 = AA.
(a) Calcule os possı́veis valores de k que tornem a matriz abaixo idempotente.


1
k
A =  4 .
k 34
(b) Seja B a matriz-coluna

B=
cos θ
iφ
e sen θ

.
Verifique que a matriz BB† é idempontente.
5. Sejam A = [aij ] e B = [bij ] matrizes quadradas de ordem n×n. Mostre que tr A† B =
∗
tr B† A .
∗
Adjutório: use as propriedades do traço e lembre-se que A† = (At ) = (A∗ )t .
6. Uma matriz quadrada de ordem n × n real simétrica M é positiva (ou semidefinida
positiva) se vt Mv ≥ 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n×1. Verifique
que, se λ é autovalor de M positiva, então λ ≥ 0. Por outro lado M é estritamente
positiva se vt Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M estritamente positiva, então
λ > 0.
7. Sejam λm e λM o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n × n
real simétrica M. Verifique que λm ≤ vt Mv ≤ λM , onde v é uma matriz-coluna
não-nula de ordem n × 1 tal que vt v = 1.
IV.
SISTEMAS LINEARES
1. Considere os sistemas lineares



−x − y + az = −1



I. −ax + y + z = 1




2x − 2ay + 2z = −2 − a



2x + by + z = 3 + b



II. x + 2y + 2bz = 2




x − y − bz = 2
.
Usando o escalonamento à forma escada linha-reduzida, obtenha os valores de
a e de b que tornem cada um dos sistemas acima
6
(a) possı́vel e indeterminado;
(b) impossı́vel;
(c) possı́vel e determinado.
2. Considere o sistema linear



x + 2y − 2z = 1



2x − y − z = −2




x − y + z = 2
(a) Verifique que o sistema é possı́vel e determinado, calculando o determinante da
matriz de coeficientes.
(b) Use o escalonamento à forma escada linha-reduzida e obtenha a matriz inversa
da matriz de coeficientes.
(c) Obtenha a solução do sistema usando a matriz calculada no item (2b).
V.
ESPAÇOS LINEARES
1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, Mn×n (R). São subconjuntos de Mn×n (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n simétricas,
Sn×n (R) = {A ∈ Mn×n (R) |A = At }, e o conjunto das matrizes quadradas antisimétricas, An×n (R) = {A ∈ Mn×n (R) |A = −At } .
N.B. At indica a matriz transposta de A.
(a) Verifique que Sn×n (R) e An×n (R) são subespaços de Mn×n (R).
(b) Verifique que Mn×n (R) = Sn×n (R) ⊕ An×n (R).
2. Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Seja M uma matriz
quadrada de ordem n × n. Mostre que o conjunto das matrizes n × n que comutam
com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas
de ordem n × n, Mn×n .
3. Dizemos que duas matrizes A e B anticomutam se AB = −BA. Seja M uma matriz
quadrada de ordem n × n. Mostre que o conjunto das matrizes n × n que anticomutam
7
com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas
de ordem n × n, Mn×n .
4. Considere os seguintes conjuntos E = {1, 1 + x, x + x2 } e F = {2, x − 1, 4x2 }.
(a) Mostre que E e F são bases de P2 , o conjunto dos polinômios de grau menor ou
igual a 2.
(b) Encontre a matriz de mudança de base MFE .
5. Sejam V = span {(1, 2, 2, 3) , (2, 4, 1, 3) , (3, 6, 1, 4)} e U = span {(0, 0, 1, 1) , (1, 2, 3, 4)}
subespaços de R4 . Obtenha uma base para V ∩ U .
6. Considere o subespaço vetorial de R3 , V = {(x, y, z) |x + y = 0, z − 3x = 0}.
(a) Determine uma base para V .
(b) Determine um subespaço U tal que V ⊕ U = R3 .
7. Verifique que os seguintes conjuntos são espaços lineares:
(a) O conjunto das funções reais definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] → R}.
(b) O
conjunto
das
funções
reais
contı́nuas
definidas
em
R,
C0
=
{f : R → R |f é contı́nua}.
Adjutório:
i. A soma de duas funções contı́nuas é uma função contı́nua.
ii. O produto de uma função contı́nua por uma constante é uma função contı́nua.
(c) O conjunto das funções reais definidas em R e com primeira derivada contı́nua
em todo seu domı́nio, C 1 = {f : R → R |f 0 é contı́nua}.
Adjutório:
i. A soma de duas funções diferenciáveis é uma função diferenciável.
ii. O produto de uma função diferenciável por uma constante é uma função
diferenciável.
(d) O conjunto das funções reais contı́nuas definidas no intervalo [a, b], f : [a, b] → R,
tais que
Z
b
K (x) f (x) dx < ∞,
a
8
onde K é uma dada função contı́nua em [a, b].
8. Sejam W e W 0 subespaços do espaço linear V , tais que W = U ⊕ X e W 0 = U ⊕ Y ,
n→o
0
onde U = W ∩ W . Mostre que X ∩ Y = 0 .
VI.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1. Sejam E = {(1, 1) , (1, −1)} e F = {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1)} bases de R2 e R3 respectivamente. Considere a transformação linear T : R2 → R3 , representada pela
matriz

[T ]E
F

1 2




=  1 −2  .


−1 0
(a) Determine T (x, y).
(b) Determine ker T e im T .
(c) Determine a base ordenada G de R3 em que T é representada pela matriz


1 0


E
[T ]G =  0 0  .


0 1
2. Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo
[0, 1], F = {f : [0, 1] → R}. Definimos a seguinte transformação M : F → F, tal que
M f (t) = tf (t). M é uma transformação linear?
3. Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo
[0, 1], F = {f : [0, 1] → R}. Definimos a seguinte transformação Mg : F → F, tal que
Mg f (t) = g (t) f (t), onde g é uma dada função contı́nua no intervalo [0, 1]. Mg é uma
transformação linear?
VII.
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES
1. Sejam M2×2 (R) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 e T : M2×2 (R) →
M2×2 (R) a aplicação definida por T A = At . Em outras palavras, a aplicação T mapeia
uma matriz quadrada de ordem 2 na sua transposta.
9
(a) Verifique que T é um operador linear.
(b) Encontre os autovalores e os autovetores de T .
2. Considere o operador linear T
R3
:
→
R3 definido por T (x, y, z)
=
(2x + y, y − z, 2y + 4z).
(a) Encontre os autovalores e os autovetores de T .
(b) T é diagonalizável? Justifique.
3. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3, P3 (R) =
{p (t) = at3 + bt2 + ct + d |a, b, c, d ∈ R }. Seja T : P3 (R) → P3 (R), a transformação
linear definida como
T at3 + bt2 + ct + d = (a + b) t3 + (b − a) t2 + (2d − c) t + (2c − d) .
Obtenha
(a) os autovalores de T e
(b) os respectivos autovetores de T .
4. Considere o espaço linear V = W ⊕ U , onde W e U são subespaços de V . O operador
linear π : V → V é definido como
→
→
→
→
→
→
→
Dado v =w + u, onde w∈ W e u∈ U, então, π v =w,
ou seja, π é uma projeção sobre o subespaço W .
(a) Determine os autovalores de π.
Adjutório: Use π 2 = π.
(b) É π diagonalizável?
5. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, P2 (R) =
{p (t) = at2 + bt + c |a, b, c ∈ R }. Seja T : P2 (R) → P2 (R) o operador linear definido
como
T at2 + bt + c = (2b − a) t2 + (2a − b) t − 3c.
Obtenha os subespaços de P2 que são invariantes a T .
Adjutório: W é subespaço invariante ao operador linear T se, dado w
~ ∈ W qualquer,
então T w
~ ∈ W.
10
VIII.
PRODUTO INTERNO
1. Seja f : R2 × R2 → R uma função definida como
→ → h→i t
h i
B →
f v, u = v
gB u ,
B
B
h→i
h→i
→
→
onde v
e u representam os vetores v e u em uma determinada base B de R2
B
B
B
e gB
é uma matriz quadrada de ordem 2, dada por


1 b
B
.
gB
=
b 4
Qual(is) deve(m) ser o(s) valor(es) de b para que f seja um produto interno em R2 ?
2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, Mn×n (R). Definimos
a função f : Mn×n (R) × Mn×n (R) → R, como f (A, B) = tr (At B). Verifique que f
define um produto interno sobre Mn×n (R).
Adjutório: Use as propriedades do traço e e a definição do produto de duas matrizes.
3. Considere o espaço vetorial R4 com produto interno canônico. Seja W o subespaço de
R4 formado pelos vetores que são ortogonais a (1, 0, −1, 1) e (2, 3, −1, 2). Determine
uma base ortonormal para W .
D → →E
N.B. O produto interno canônico em R4 é definido como v , u = x1 y1 +x2 y2 +x3 y3 +
→
→
x4 y4 , onde v = (x1 , x2 , x3 , x4 ), u= (y1 , y2 , y3 , y4 ).
n→
o
→
4. Seja V um espaço vetorial real dotado de produto interno h·, ·i. Seja B = e 1 , . . . , e n
→
→
→
uma base ortonormal neste espaço. Pode-se mostrar que, se u= a1 e 1 + . . . + an e n ,
D→ →E
→
→
→
→
→
v = b1 e 1 + . . . + bn e n , então o produto interno entre u e v é dado por u, v =
a1 b 1 + . . . + an b n .
Considere o espaço vetorial R2 dotado de um produto interno que, na base canônica
C, é dado por
D→ →E
u, v = 2a1 b1 − a1 b2 − a2 b1 + 3a2 b2 ,
→
→
onde u= (a1 , a2 ) e v = (b1 , b2 ).
(a) Use o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para obter uma base B
em que o produto interno é escrito como
D→ →E
u, v = α1 β1 + α2 β2 ,
11


 
h→i
h→i
α1
β
, v =  1 .
onde u = 
B
B
α2
β2
(b) Obtenha a matriz de mudança de base MC
B.
IX.
OPERADORES ESPECIAIS
1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n × n, Mn (R), e o
operador linear T : Mn (R) → Mn (R), definido como T (M) = Mt . Definimos o
produto interno hA, Bi = tr (At B), onde A e B pertencem a Mn (R) e tr M é o traço
de M (a soma dos elementos da diagonal principal). O operador T é autoadjunto com
relação a este produto interno?
Adjutório: Use as propriedades do traço.
2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n × n, Mn (R), e o
operador linear TX : Mn (R) → Mn (R), definido como TX (M) = XM − MX, onde
X é uma matriz quadrada real simétrica de ordem n × n fixa. Define-se o produto
interno hA, Bi = tr (At B), onde A e B pertencem a Mn (R) e tr M é o traço de M (a
soma dos elementos da diagonal principal). O operador TX é autoadjunto com relação
a este produto interno?
Adjutório: Use as propriedades do traço.
3. Considere o espaço vetorial C2 e o operador linear T : C2 → C2 , tal que T (1, 0) =
(1 + i, 1), T (0, 1) = (i, i). Vamos denominar T̄ o adjunto de T em relação ao produto
interno canônico definido sobre C2 .
(a) Determine a matriz que representa T̄ na base canônica.
(b) T é auto-adjunto? Justifique.
N.B. O produto interno canônico em C2 é definido como
→
D→ →E
v , u = x∗1 x2 + y1∗ y2 , onde
→
v = (x1 , y1 ), u= (x2 , y2 ). A base canônica em C2 é o conjunto C = {(1, 0) , (0, 1)}.
4. Considere o espaço vetorial R2 e o operador linear Tθ : R2 → R2 , tal que Tθ (1, 0) =
(cos θ, sen θ), Tθ (0, 1) = (− sen θ, cos θ), com 0 ≤ θ < 2π. Vamos denominar T̄θ o
adjunto de Tθ em relação ao produto interno canônico definido sobre R2 .
12
(a) Determine a matriz que representa T̄θ na base canônica.
(b) Tθ é ortogonal? Justifique.
N.B. O produto interno canônico em R2 é definido como
→
D → →E
v , u = x1 x2 + y1 y2 , onde
→
v = (x1 , y1 ), u= (x2 , y2 ). A base canônica em R2 é o conjunto C = {(1, 0) , (0, 1)}.
5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita dotado dos produtos internos h·, ·i e
hh·, ·ii. Seja T : V → V um operador linear autoadjunto em relação ao produto
interno h·, ·i. Pode-se afirmar que T também é autoadjunto em relação ao produto
interno hh·, ·ii?
X.
FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRÁTICAS
1. Seja Φ : R2 × R2 → R a função definida por Φ ((x1 , y1 ) , (x2 , y2 )) = x1 y2 − y1 x2 .
(a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é antisimétrica.
(b) Encontre a matriz [Φ]B
B associada a esta forma na base B = {(1, 1) , (1, −1)}.
→ →
→ →
N.B. Uma forma bilinear Φ é antisimétrica se Φ v , u = −Φ u, v .
2. Seja Φ : R2 × R2 → R a função definida por Φ ((x1 , y1 ) , (x2 , y2 )) = x1 x2 + y1 y2 − x1 y2 −
x2 y 1 .
(a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é simétrica.
(b) Encontre a matriz [Φ]B
B associada a esta forma na base B = {(1, 1) , (1, −1)}.
→ →
→ →
N.B. Uma forma bilinear Φ é simétrica se Φ v , u = Φ u, v .
3. Considere o espaço vetorial R3 . Definimos a função






→ →
a1 a2
a a
a a
 + det  2 3  + det  3 1  ,
ω u, v = det 
b1 b2
b2 b3
b3 b1
→
→
onde u= (a1 , a2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ).
(a) É ω uma forma bilinear?
(b) Em caso afirmativo, ω é uma forma bilinear simétrica ou antisimétrica?
13
(c) Calcule a matriz que representa ω na base B = {(2, 1, 1) , (0, 1, −1) , (−1, 1, 1)}.
4. Diagonalize (i.e., encontre os autovalores e autovetores) a forma quadrática definida
por Q (x, y, z) = 16x2 + 4y 2 + 4z 2 − 8xy − 8xz − 4yz.
5. Diagonalize a forma quadrática definida por Q (x, y, z) = 4x2 + 2y 2 + 2z 2 − 4xy + 4xz.
6. Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n e seja V ∗ o conjunto de todas
as formas lineares f : V → C definidas em V . Mostre que V ∗ é um espaço vetorial de
dimensão n.
XI.
AVANÇADOS
1. Tente obter os “autovalores”e os autovetores associados aos operadores definidos nos
exercı́cios 2 e 3 da seção VI.
2. Uma matriz quadrada de ordem n × n real simétrica M é positiva (ou semidefinida
positiva) se vt Mv ≥ 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n×1. Verifique
que, se λ é autovalor de M então λ ≥ 0. Por outro lado M é estritamente positiva se
vt Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M então λ > 0.
3. Sejam λm e λM o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n × n
real simétrica M. Verifique que λm ≤
vt Mv
vt v
≤ λM , onde v é uma matriz-coluna
não-nula de ordem n × 1.
4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n definido sobre o corpo K, com K = R
ou K = C. Como se sabe, o conjunto de todas as formas lineares f : V → K é um
espaço vetorial cuja dimensão coincide com a de V .
(a) Verifique que o conjunto de todas as formas bilineares (ou sesquilineares, caso
K = C) Φ : V × V → K é um espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço?
(b) Verifique que o conjunto de todas as formas quadráticas Q : V × V → K é um
espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço?