Equações

mat9 – equações
Equação
É uma igualdade onde existe pelo menos uma letra
(incógnita).
Exemplos
2 x  5 , é uma equação
2n  1 , não é uma equação (não é uma igualdade)
2 1  4 , não é uma equação (não tem incógnita)
Solução de uma equação
É um número que substituído na incógnita transforma a
equação numa igualdade verdadeira.
3 é solução da equação 2  x  5 , pois 2  3  5
4 não é solução da equação 2  x  5 , pois 2  4  5
Conjunto solução de uma equação
É o conjunto formado por todas as soluções da equação.
Habitualmente representa-se pela letra S.
x  3 é a solução da equação 2  x  5 , então S  3
Equações equivalentes
São equações que têm o mesmo conjunto solução. Utiliza-se o
símbolo  para indicar duas equações equivalentes.
Classificação de equações
Equações impossíveis, não têm solução.
Equações possíveis e determinadas, têm um número finito de
soluções.
Equações possíveis e indeterminadas, têm um número infinito
de soluções.
Equações literais
Equações com duas ou mais letras (incógnitas).
Equações do 1º grau com duas incógnitas
São equações literais do tipo ax  by  c , onde a, b e c são
números conhecidos e a e b diferentes de zero.
Uma solução da equação é um par ordenado de números que
substituídos na equação a transformam numa igualdade
verdadeira.
Graficamente, o conjunto solução é representado por uma
reta.
x  3 e x  3 são as soluções da equação x 2  9 , então
S  3,3
As equações x  2  3 x  3  8 são equivalentes pois têm
ambas o conjunto solução S  5 , então
x2  3 x38
0 x  3 , equação impossível
2 x  8 , equação possível e determinada
0 x  0 , equação possível e indeterminada
3x  y  2
O par ordenado 1, 2  é
solução da equação
y  2 x  0 pois 2  2 1  0
O par ordenado  2,1 não é
solução da equação
y  2 x  0 pois
1  2   2   0 , logo não
pertence à reta.
Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas
É uma conjunção de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas.
Solução de um sistema de duas equações do 1º grau com
duas incógnitas
É um par ordenado  x, y  que é simultaneamente solução das
duas equações do sistema.
Graficamente, cada uma das equações representa uma reta e
o(s) ponto(s) de interseção é o par ordenado solução do
sistema.
x  2 y  5
x  2 y  5  3x  y  1 ou 
3x  y  1
x  2 y  5
No sistema 
3x  y  1
O par ordenado 1, 2  é
1  2  2  5
solução pois 
3  1  2  1
O par ordenado  3,1 não é
3  2 1  5
solução pois 
3  3  1  1
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mat9 – equações
Resolução de um sistema de duas equações do 1º grau com
duas incógnitas
O método mais comum para resolver um sistema é através do
método de substituição.
Exemplos
x  5  2 y
x  2 y  5
x  5  2 y





3 x  y  1
15  6 y  y  1
3  5  2 y   y  1
x  5  2 y
x  5  2 y
x  5  2 y




14
15

7
y

1

7
y

1

15
y



7


x  1
x  5  2  2


, S  1, 2 

y  2
y  2
Classificação de sistemas
Sistemas possíveis e determinados, têm um número finito de
soluções.
Sistemas impossíveis, não têm qualquer solução.
Sistemas possíveis e indeterminados, têm um número infinito
de soluções.
x  2 y  5
x  1
 ...  
, S  1, 2 

3x  y  1
y  2
Sistema possível e determinado
x  y  4
x  4  y
 ...  

x

y

2

4  2
Sistema impossível
2 x  2 y  4
4  4
 ...  

x  y  2
x  2  y
Sistema possível e indeterminado
Classificação de sistemas através da representação gráfica
Quando as retas são concorrentes o
Quando as retas são estritamente
Quando as retas são coincidentes o
sistema é possível e determinado.
paralelas o sistema é impossível.
sistema é possível e indeterminado.
Casos notáveis da multiplicação
2
Quadrado do binómio
 x  2  x2  4x  4
a  b
2
 a 2  2ab  b 2
Diferença de quadrados
 a  b  a  b   a 2  b2
Lei do anulamento do produto
O produto de dois fatores é zero se e só se um deles é zero.
ab  0  a  0 b  0
 x  2  x  2   x 2  4
 x  2  2 x  1  0
 x  2  0  2x 1  0
 x  2 x 
1
2
1 
S   , 2
2 
Fatorizar um polinómio
Ocorre quando escrevemos um polinómio sob a forma de um
produto de polinómios.
3x 2  6 x  3x  x  2 
x 2  8x  16   x  4 
2
x 2  9   x  3 x  3
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mat9 – equações
Equação do 2º grau
É uma equação do segundo grau com incógnita x quando é
uma equação que se pode escrever na forma canónica
ax 2  bx  c  0 , com a  0 , sendo a, b e c números reais.
No caso de b  0 , c  0 ou ambos iguais a zero, a equação
diz-se incompleta.
Equações do 2º grau – soma e produto de soluções
Uma equação do 2º grau com soluções pode escrever-se na
forma:
x2  Sx  P  0
sendo que:
S = soma das soluções
P = produto das soluções
Resolução de equações do 2º grau incompletas
Equações do tipo ax2  0
ax2  0  x  0
Tem apenas a solução nula.
Equações do tipo ax 2  bx  0
ax 2  bx  0  x  ax  b   0
 x  0  ax  b  0
b
a
Tem duas soluções, sendo uma nula.
Equações do tipo ax2  c  0
c
ax 2  c  0  x 2  
a
 x  0 x 
x 
c
c
c
 x   , se   0
a
a
a
c
0
a
Resolução de equações do 2º grau completas
Equações do tipo ax 2  bx  c  0
Utiliza-se a fórmula resolvente para resolver a equação.
ax 2  bx  c  0
Tem duas soluções simétricas e é impossível se 
b  b 2  4ac
x
2a
Nota:
  b2  4ac , dá-se o nome de binómio discriminante
Se b2  4ac  0 , a equação é impossível
Se b2  4ac  0 , a equação é tem uma solução
Se b2  4ac  0 , a equação tem duas soluções distintas
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Exemplos
3x 2  6 x  1  0
Equação do 2º grau completa
3x 2  6 x  0
Equação do 2º grau incompleta, pois c  0
3x 2  6  0
Equação do 2º grau incompleta, pois b  0
A equação x2  6 x  8  0 tem soluções 4 e 2, pois
S  42  6
P  4 2  8
2x2  0  x  0
S  0
2 x 2  3x  0  x  2 x  3  0  x  0  2 x  3  0
 x  0 x 
3
2
 3
S  0, 
 2
2x2  8  0  x2 
8
 x2  4  x   4  x  4
2
 x  2  x  2
S  2, 2
x2  4  0  x 2  4
Equação impossível
x2  6 x  8  0
x
  6  
 6 
2
 4  1 8
2 1
6  36  32
2
62
x
2
 x  2 x  4
x
S  2, 4
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