Resumo Lugar das raizes

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA
LUGAR DAS RAÍZES
A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada é:
F(s) = C(s)
R(s)
R(s)
+
=
G(s)
1+ G(s).H(s)
C(s)
G(s)
H(s)
A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é
chamado função de transferência em malha aberta.
O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada,
pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é:
1 + G(s).H(s) = 0
A qual é chamada equação característica.
REGRA 1 – EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na
forma:
1
+
K (s - z1).(s - z2)......(s - zm)
(s - p1).(s - p2)......(s - pn)
= 0
Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S.
Exemplo: Considere o sistema:
G(s) =
K
s.(s+1)
H(s) =
(s+2)
(s+3).(s+4)
Então:
1
CEFET-PR
+
K. (s+2)
s.(s+1) (s+3).(s+4)
APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES
= 0
Prof. Brero
1
Desenhando os pólos e zeros de malha aberta:
jω
-4
-3
-2
-1
x
x
o
x
σ
x
REGRA 2 – PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES
Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas
reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n ≥ m), o
lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de
malha aberta ou no infinito.
Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão
terminar no infinito seguindo assíntotas.
EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o
número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três
terminarão no infinito.
REGRA 3 – LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL
Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do
lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita
do ponto for impar.
EXEMPLO: Para o exemplo anterior:
jω
-4
-3
-2
-1
x
x
o
x
x
σ
REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS
Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes
terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são:
β = ± 180(2N +1)
n-m
[ N = 0,1,2,..... ]
Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto σ dado por:
σ =
CEFET-PR
(p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm)
n-m
APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES
Prof. Brero
2
Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são:
β = ± 180(2N +1)
3
Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por:
σ = ( 0 - 1 - 3 - 4) -(-2)
3
=
-2
jω
o
180
x
x
o
o
+60
x
σ
x
o
-60
REGRA 5 – PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois
pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das raízes
localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de
entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não existir
nenhum ponto de entrada ou saída.
Se a equação característica é dada por:
1 +
k.B(s)
A(s)
= 0
Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por:
A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0
Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s.
EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é:
1
+
K. (s+2)
s.(s+1) (s+3).(s+4)
= 0
Então:
B(s) = s+2
A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s4 + 8s3+ 19s2 + 12s
Então diferenciando com respeito a s:
B'(s) = 1
A'(s) = 4.s3 + 24.s2 + 38.s + 12
CEFET-PR
APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES
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3
O ponto de saída obtido foi:
s = -0.497
REGRA 6 – CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO
Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos
onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo
s=jω na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se
achar a solução para K e ω.
EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=jω:
1
+
K. (jω+2)
jω.( jω+1) (jω+3).( jω+4)
= 0
jω.(jω + 1).(jω + 3).(jω + 4) + k.(jω + 2) = 0
Separando parte real e imaginária:
ω=2.57
e K=41
jω
jω=2,57 (k=41)
k=0
k=0
k=∞
k=0
x
x
o
x
k=0
x
σ
REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO
Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se
usar a condição de módulo.
Da equação característica:
1 + K.G.H = 0
K.G.H = -1
k = - 1/(G.H)
Então :
|k | = | 1/(G.H) |
Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em relação
à este ponto do lugar das raízes.
Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário.
GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4))
k = | s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2)| onde s=2.57j
k = 40,9
CEFET-PR
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4
De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado:
|k|
=
|sm| |s -pi| |s - p2| ....
|s-z1| |s - z2|.....
= |A|.|B|.|D|.|E|
|C|
= 41,2
2,57
|A|
|B|
|C|
|D|
|E|
REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO
A condição de ângulo é definida como:
∠G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, ±1, ±2, ...
Escrevendo de outra forma:
β = ∠ numerador - ∠ denominador = (1+2.L).180
Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário.
Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras
palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição angular.
Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes valores de s
satisfazem simultaneamente a condição de módulo.
Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes
da equação característica.
Exemplo: da figura acima:
Para os pólos:
θ1= 32,50o
θ2= 40,5o
θ3=70o
θ4=90o
Para o zero:
ψ1=51,5o
então:
β = θ1 + θ2 + θ3 + θ4 - ψ1 = 181,5o =(1+2L).180o
Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes.
REGRA 9
ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos)
O ângulo de partida (θp), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado
por:
CEFET-PR
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5
θp = 1800 + arg(GH)'
onde: arg(GH)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas
ignorando a contribuição daquele pólo particular.
Exemplo:
K (s+2)
GH =
(s + 1 + j)(s+ 1 - j)
O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido
calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O
resultado obtido é 45o . O ângulo de partida é θp = 180 - 45= 135o.
1350
jω
σ
-1
O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por:
θc = 1800 -
arg(GH)'
onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito
daquele zero.
Exemplo:
k.(s+ j)(s-j)
GH =
S(s+1)
O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é θc = 180
-(-45) = 225o
jω
o
225
-1
σ
REGRA 10
MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES
A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o
sistema de malha fechada se torne instável.
CEFET-PR
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6
Valor de K no cruzamento do eixo imaginário
Margem de ganho =
Valor atual de K
Se o lugar das raízes não cruza o eixo jω, a margem de ganho é infinita.
Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto jω1, sobre o eixo jω, para o
qual |GH(jω1)| =1, para o valor atual de k, isto é:
K N(jω)
D(jω)
| Gh(jω) | =1
=1
D(jω1)
N(jω1)
K=
Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar
jω1. A margem de fase é calculada a partir de arg(GH(jω1)) como:
φPM = 180o + arg(GH(jω1))
REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES
Dado um sistema de segunda ordem:
K
GH =
(s + p1)(s+p2)
o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado
(ξ), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da
origem a um ângulo θ com o eixo real negativo onde:
linha de ξ cte
θ = cos-1ξ
jω
θ
σ
O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor
requerido de k
k para ξ especificado
jω
θ
σ
CEFET-PR
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7
Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada
por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina
necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto
só é válido se estes pólos complexos forem dominantes.
RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau
unitário aplicado na entrada.
OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O que muda é a
interpretação com relação à região de estabilidade.
Exercícios
1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de estabilidade.
(s+ 10)
(s+ 6) (s - 5)(s + 8)
2
( s - 1)(s + 2)
2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite aplicando o
critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre que o critério de ângulo pode
ser usado para determinar o lugar das raízes.
(s + 2)
s
CEFET-PR
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(s + 1)
( s +5)(s + 9)
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