Assuntos Básicos Progressão Aritmética Números primos “Um número natural primo é aquele que tem exatamente dois divisores naturais” Os divisores de um número primo são: o número um e o próprio número. Dois é o único número primo que é par. Exemplo de exercício Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados de modo que o primeiro algarismo seja um número primo? Resposta: termina com 2 3,5,7 3 x 8 x 1 OU não termina com 2 2,3,5,7 2 + 4 x 8 x 4 0,4,6,8 = 152 n os Divisão 3’2’ | 3 -3 1,66… 020 -18 20 100’0’ | 99 -99 1,11… 100 -99 1 Método correto 3’2’ |3 -3 10,6… 020 -18 2 100’0’ |99 -99 10,1… 100 -99 1 Exercício de vestibular (PUC-RJ, 2014) Qual é o resultado de divisão de N = 123123123123123123 por 123? 123’1’2’3’123123123123 | 123 . -123 1001001001001001 0123 -123 0 Progressões Aritméticas "É uma sequência em que a diferença entre um termo e seu antecessor é constante.” ( a1 , a2 , a3 , a4 , … , an-1 , an ) a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 =…= an - an-1 = r Exemplos: (2, 7, 12, 17, 22, 27…) r=5 (-3, -6, -9, -12, -15) r=-3 Classificação 1) Crescente r > 0 (-10, -5, 0, 5, 10, 15) 2) Decrescente (25, 23, 21, 19, …) 3) Constante (2, 2, 2, 2, 2) r<0 r=0 Termo Geral ( a1 , a2 , a3 , a4 , … , an-1 , an ) (a1, a1+ r, a1+2r, … , an) an= a1 + (n-1)r Ex.: Dada a P.A. (0, 7, 14, 21, 28, … ), quanto vale o décimo termo desta sequência? a10 = 0 + (10 – 1)7 , então: a10=63. (Uerj, 1997) Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante. (A)177 (B) 188 (C) 237 (D) 240 Resposta: 1 2 3 4 ( , , , ,...,10) 8 8 8 8 Soma entre termos equidistantes dos extremos (a1, a2, a3, a4, …, an-2, an-1, an) (a1, a1 + r, a1 + 2r,…, an - 2r, an- r, an) a2+ an-1= a1 + r + an – r = a1 + an a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 e assim sucessivamente. Média aritmética Seja uma P.A. (A, B, C) r=B–A r=C–B B–A=C–B 2B = A + C B=A+C 2 Exemplo para verificar: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18) Soma dos N primeiros termos da P.A. (a1 + an )n Sn = 2 Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.A. (-2, 7, 16, 25, 34) S5 = (-2 + 34)5 = 80 2 Exercício de vestibular 1) (UFF, 2005) Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é 2. A soma dos termos dessa progressão é: a) b) c) d) e) 13 52 102 104 112 Resposta: (a1 + an )n Sn = 2 (a1 + a51 )51 S51 = 2 S51= 2.51 = 102 Letra: C Notação especial para P.A. de três termos. 2) Os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. Determine quanto mede um dos ângulos. Resposta: (x – r, x , x + r) x – r + x + x +r = 180o 3x = 180o x = 60o Interpolação Aritmética Interpole 5 meios aritméticos entre 2 e 14. (2, a2, a3, a4, a5, a6, 14) a7 = a1+6r 14= 2+6r r= 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) Gabriel Ritter Professor