6. Soma dos Termos

SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
Define-se como uma sequência númerica toda e qualquer
disposição finita ou infinita de números, podendo ou não apresentar uma
lei de formação.
I. Progressões Aritméticas (P.A.)
Chama-se Progressão Aritmética (P.A.) toda sequência de números
na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma
constante denominada razão (r) da P.A.
P.A. 
a1, a2, a3, ............, an-1, an
Exemplos:
a) 1, 3, 5, 7, 9, ..................... onde: a1 = 1 e r = 2
b) 0, -2, -4, -6, -8, ................ onde: a1 = 0 e r = -2
c) 5, 5, 5, 5, 5, 5, .................. onde: a1 = 5 e r = 0
d) 4, 11 , 10 , 3, 8 , ......... onde: a1 = 4 e r   1
3 3
3
3
1. Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três
categorias:
a) Crescentes: são as P.A. em que r > 0.
b) Constantes: são as P.A. em que r = 0.
c) Decrescentes: são as P.A. em que r < 0.
2. Termo Geral
Em uma P.A. genérica: a1, a2, a3, a4, ............ an-1, an , pela definição,
temos:
a 2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r 
a3 = a1 + 2.r
a4 = a3 + r = a1 + 2.r + r

an = an-1 + r = a1 + (n-2).r + r
a4 = a1 + 3.r

3. Notações Especiais
Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é
bastante prática a notação seguinte:
a) para 3 termos: (x - r, x, x + r)
b) para 4 termos: (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y) em que r = 2y
c) para 5 termos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
4. Interpolação Aritmética
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os
números a e b significa obter uma P.A. tal que:
a1 = a; an = b e n = k + 2
5. Propriedades Importantes
a) Em toda P.A. finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos. Por exemplo:
seja a P.A.: -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 onde n = 10, temos;
a1 + a10 = a2 + a9 = a3 + a8 = a4 + a7 = a5 + a6 = 22
b) Dados três termos consecutivos quaisquer de uma P.A. é válida a
relação:
ap-1 + ap+1 = 2.ap
6. Soma dos Termos
Vamos estabelecer uma expressão que nos permita calcular a soma
de todos os termos de uma P.A., conforme abaixo:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + .............. + an-3 + an-2 + an-1 + an

Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + ............
Considerando a primeira propriedade importante temos:
(a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) = (a4 + an-3) = ............
como estamos agrupando n pares, todos de mesmo valor, assim:
2
II. Progressões Geométricas (P.G.)
Chama-se Progressão Geométrica (P.G.) toda sequência de
números na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do
anterior com uma constante denominada razão (q) da P.G.
P.G. 
a1, a2, a3, ............, an-1, an
Exemplos:
a) 1, 3, 9, 27, 81, ..................... onde: a1 = 1 e q = 3
b) 5, 5, 5, 5, 5, 5, .................. onde: a1 = 5 e q = 1
c) 2, 1, 1 , 1 , 1 , ................ onde: a1 = 2 e q = 1
2 4 8
2
d) 4,  11 , 10 ,  3, 8 , ......... onde: a1 = 4 e q   1
3 3
3
3
e) 3, 0, 0, 0, 0, ........... onde: a1 = 3 e q = 0
1. Classificação
As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco
categorias:
a) Crescentes: são as P.G. em que q > 1, se a1 > 0 ou 0 < q < 1, se a1 < 0.
b) Constantes: são as P.G. em que q = 1.
c) Decrescentes: são as P.G. em que q > 1, se a1 < 0 ou 0 < q < 1, se a1 > 0.
d) Alternantes: são as P.G. em que q < 0.
e) Estacionárias: são as P.G. em que q = 0.
2. Termo Geral
Em uma P.G. genérica: a1, a2, a3, a4, ............ an-1, an , pela definição,
temos:
a2 = a1.q
a3 = a2.q = a1.q.q

a3 = a1.q2
a4 = a3.q = a1.q2.q

a4 = a1.q3
an = an-1.q = a1.qn-2.q 
3. Notações Especiais
Quando procuramos obter uma P.G. com 3 ou 4 ou 5 termos é
bastante prática a notação seguinte:


a) para 3 termos:  qx , x , x.q




b) para 4 termos:  x3 , yx , x.y , x.y 3
y

em que q = y2


c) para 5 termos:  x2 , qx , x , x.q, x.q2
q

4. Interpolação Aritmética
Interpolar, inserir ou intercalar k meios geométricos entre os
números a e b significa obter uma P.G. tal que:
a1 = a; an = b e n = k + 2
5. Propriedades Importantes
a) Em toda P.G. finita o produto de dois termos equidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos. Por exemplo:
seja a P.G.: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 onde n = 10, temos;
a1 . a10 = a2 . a9 = a3 . a8 = a4 . a7 = a5 . a6 = 512
b) Dados três termos consecutivos quaisquer de uma P.G. é válida a
relação:
ap-1 . ap+1 = ap2
6. Soma dos Termos
Vamos estabelecer uma expressão que nos permita calcular a soma
de todos os termos de uma P.A., conforme abaixo:
Sn = a1 + a2 + a3 + .............. + an-1 + an ①
multipliquemos todos os termos da igualdade acima pela razão q:
q.Sn = a1.q + a2.q + a3.q + .............. + an-1.q + an.q ②
Fazendo ② - ①, vem:
q.Sn - Sn = an.q - a1

(q - 1). Sn = a1.(qn - 1)

(q - 1).Sn = a1.qn-1.q - a1

6. P.G. Infinita
Consideremos uma P.G. com infinitos termos:
a1, a2, a3, ................. an-1, an, an+1, ...........

se a razão q desta P.G. for tal que -1 < q < 1, os termos estão
decrescendo, cada vez mais aproximando-se de zero, desta forma, na
expressão de Sn acima, qn tende a zero, e a expressão se torna: