7.6.8. Sessão 08: Introduzindo, ponto de inflexão e

7.6.8. Sessão 08: Introduzindo, ponto de inflexão e concavidade na curva de
crescimento logístico de epidemias.
Data: 21/05/2010, Horário: 07h30min. . Turma: T14 do Curso de Engenharia Elétrica,
Cálculo A – MTM 1019.
7.6.8.1. Atividade 08: Situação Problema – Curva de crescimento logístico de
epidemias.
Fonte: Laurence Hoffmann, Problema 4.5, página 256 CORRIGIR
Situação Problema:
Os registros revelam que t semanas após o primeiro surto de certo tipo de gripe,
20
aproximadamente 𝑄𝑄 (𝑡𝑡) = (1+19𝑒𝑒 −1,2𝑡𝑡 ) milhares de indivíduos contraíram a doença.
Solicita-se ao aluno que responda às questões abaixo:
(a) Quantas pessoas estavam doentes quando o surto foi detectado?
(b) Quanto tempo após o surto ser detectado a taxa de aumento do número de pessoas
começou a diminuir?
(c) Se a tendência continuar, qual será o número de pessoas infectadas?
7.6.8.2. Com relação à situação problema acima:
(a) Mostre que a curva logística de crescimento logístico de epidemia de certo tipo de
gripe é crescente desde o período de detecção da epidemia até que o surto perdurar.
(b) Mostre que a curva logística de epidemia de certo tipo de gripe tem período de
aceleração da doença até o ponto de inflexão e depois, começa o período de
desaceleração da doença. A curva passa de côncava para cima, para côncava para baixo.
7.6.8.3. Objetivos dessa atividade:
1. Revisão conceitual sobre derivadas e gráficos;
2. Crescimento da função logística;
3. Ponto de inflexão;
4. Derivadas de ordem superior. Serve para achar pontos críticos de inflexão;
5. Uso do software maple para achar a derivada de ordem n (no caso, a derivada
segunda);
6. Assíntota horizontal;
7. Representação gráfica de pontos, retas e da curva logística usando o software
maple.
7.6.8.4. Solução:
A teoria de Ausubel é uma teoria cognitiva e, que busca explicar teoricamente, o
processo de aprendizagem segundo a ótica do cognitivismo. Preocupa-se com o
processo de compreensão, transformação, armazenamento e uso de informação
envolvida na cognição. Quando as novas informações adquirem significado para o
indivíduo estamos em presença de uma aprendizagem significativa.
Vamos utilizar a resolução de problemas para melhor compreensão das coisas e
do mundo. Para isso, vamos utilizar a resolução de problemas segundo POLYA.
Conhecimentos prévios necessários:
Equação da reta, limites, limites infinitos, assíntotas horizontais, representação
gráfica, interseção com os eixos coordenados, resolução de sistemas de equações,
derivadas, crescimento de funções, análise de gráficos, pontos de inflexão, concavidade,
valor numérico das funções.
Orientações do professor:
A aluna, Chaveli, pergunta: Professor, como achar o número de pessoas infectadas
quando o surto foi detectado?
Professor:
>
Através do valor numérico de 𝑄𝑄(𝑡𝑡) quando 𝑡𝑡 = 0, isto é:
𝑄𝑄 (𝑡𝑡) =
20
(1 + 19𝑒𝑒 −1,2𝑡𝑡 )
>𝑄𝑄(0);
Quando o surto foi detectado o número de pessoas infectadas eram mil pessoas.
O aluno Pedro, pergunta:
Professor, Como achar, quanto tempo após o surto ser detectado, a taxa de
aumento do número de pessoas infectadas, começou a diminuir?
Professor:
Esse ponto é chamado de Ponto de Inflexão. Para se determinar, os pontos
críticos xi de inflexão, resolve-se a equação usando-se o seguinte comando maple:
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑄𝑄(𝑡𝑡), 𝑡𝑡$2) = 0.
>
>
>
>
> Logo, quando t= 2,453699149 semanas, o surto de gripe começou a diminuir.
O aluno Matheus pergunta: Qual é o número de pessoas infectadas no ponto
crítico, professor?
Professor:
O número de pessoas infectadas é dado por:
>
Portanto, o número de pessoas infectadas é de: 10000 pessoas.
O professor pergunta: Qual será o número de pessoas infectadas se a
tendência continuar?
O aluno, Caio, responde:
Através do limite de 𝑄𝑄(𝑡𝑡) quando t tende ao infinito, o que corresponde à
assíntota horizontal y = 20.
>
> Logo, o número total de pessoas infectadas é 20000 quanto t tendo ao infinito.
>
Duas semanas depois de o surto ser detectado, 7343 pessoas estavam contaminadas.
A taxa de aumento do número de pessoas infectadas começa a diminuir no ponto de
inflexão da curva de Q(t). Comparando a expressão do enunciado com a da fórmula
logística 𝑄𝑄(𝑡𝑡) =
𝐵𝐵
�1+𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 �
, veremos que B = 20, A = 19 e Bk=1,2. Quando discutimos
a curva logística, mostramos que o ponto de inflexão ocorre para 𝑡𝑡 =
2, 454.
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐵𝐵𝐵𝐵
=
ln 1,9
1,2
=
Assim, o número de novos casos começou a diminuir 2, 454 semanas após o surto ser
detectado, o que confere com o calculado acima.
O ponto de inflexão é calculado pela regra da derivada segunda.
O aluno Bruno, pergunta: Professor, como representou graficamente essa
situação?
Professor:
Agora, faremos a representação gráfica:
>
>
>
>
Figura 23: Curva logística de epidemias – Aceleração, ponto de inflexão, desaceleração
e equilíbrio, número máximo de pessoas infectadas.
Solução apresentada pelos alunos do grupo 07 (Caio e Ricardo):
Os registros revelam que t semanas após o primeiro surto de certo tipo de
20
gripe, aproximadamente 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = (1+19𝑒𝑒 −1,2𝑡𝑡 ) milhares de indivíduos contraíram a doença:
(a) Quantas pessoas estavam doentes quando o surto foi detectado?
(b) Quanto tempo após o surto ser detectado a taxa de aumento do número de
pessoas começou a diminuir?
(c) Se a tendência continuar, qual será o número de pessoas infectadas?
Solução:
(a) Quantas pessoas estavam doentes quando o surto foi detectado?
>
>
Significa que quando o surto foi detectado, 1000 pessoas estavam doentes.
(b) Quantas pessoas estavam doentes duas semanas após a detecção do surto?
>
> Após duas semanas, aproximadamente estavam doentes.
(c) Quanto tempo depois de detectado o surto a taxa de aumento da doença começou a
diminuir?
Usando a regra da derivada segunda para achar os pontos de inflexão.
Primeiro passo: Calcular a derivada segunda:
>
>
>
Substituir na função para ver o número de casos:
>
Significado: Após aproximadamente 2,45 semanas (2 semanas e 3 dias), com 10000
casos, o crescimento da doença começou a diminuir.
(d) Se a tendência continuar, qual será o número de pessoas infectadas?
Tomando-se o limite de 𝑞𝑞(𝑡𝑡) quando 𝑡𝑡 → +∞ teremos o número provável de
pessoas infectadas, isto é:
>
Significado:
Se a tendência continuar, o número máximo de casos será 20000 pessoas.
Representação gráfica da função 𝑞𝑞(𝑡𝑡), da assíntota horizontal 𝑦𝑦 = 20 e do
ponto de inflexão (2.453699149 , 10.000), o ponto inicial (0, 1.000): Conforme livro
do maple página 115 a 128, temos:
>
>
>
>
Figura 24: Curva logística de Epidemias.
Conclusão dos alunos:
Foi muito gratificante para o meu grupo de ter a oportunidade de poder usar o
software maple para resolver esse problema.
A resolução de problemas com o uso do software maple é uma metodologia
que nos ajuda a compreender, entender e resolver problemas. Tenho a convicção de
ter apreendido muito através da aprendizagem por descoberta. Os conhecimentos que
eu já tinha sobre o assunto foram acrescidos de novos conhecimentos. Acho que
tivemos uma aprendizagem cheia de significados.
Outros grupos apresentaram resultados similares, os quais não foram transcritos
nesse texto.
Conclusões do professor:
Foi muito importante usar esse problema do surto de gripe, pois, os estudantes
foram orientados para construir a curva logística da epidemia de gripe. Eles
observaram o desenrolar do desenvolvimento do surto na curva logística.
Conseguiram ver o crescimento da doença observando os períodos de: Incubação
(𝑡𝑡 < 0), Aceleração (0 < 𝑡𝑡 < 2.453699149), Desaceleração (𝑡𝑡 > 2.453699149) e
equilíbrio. Viram os períodos de crescimento da função, concavidade, ponto de
inflexão e a construção do gráfico através do software maple. Mostrou uma
aprendizagem cheia de significados, pois, os conhecimentos prévios funcionaram
como ancoradouros do novo conhecimento. Logo, houve uma aprendizagem
significativa. A aprendizagem aconteceu, pois, ora aprenderam por descoberta e, ora
por recepção. Tenho certeza que o novo conhecimento foi absorvido pelos estudantes.