Provas 2011-1

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 1
Matemática Discreta para Computação – 2011
Aluno(a):______________________________________________________ Data: 08/04/2011
1. (1,5p) Explicar o Paradoxo de Cantor. Use como base o seguinte:
Teorema de Cantor: Para qualquer conjunto A, a cardinalidade do conjunto potência de A,
P(A), é maior do que a cardinalidade de A.
Se A é o conjunto dos conjuntos.
Pergunta: A cumpre o teorema?
2. (2p) Mostre que as hipóteses “Se você me enviar um email, eu termino de escrever o
programa”, “Se você não me enviar um email, então eu vou dormir cedo”, “Se eu for dormir
cedo, então eu vou acordar revigorado.” levam à conclusão: “Se eu não terminar de
escrever o programa, vou acordar revigorado.”
3. (1,5p) Prove por prova direta que “Se a soma de dois números inteiros é par, então a sua
diferença também é par”
4. (1,5p) Obtenha uma fórmula simples ( a n = ?? ) que gere os termos de uma seqüência de
inteiros que inicia com a lista: 2, 3, 7, 25, 121, 721, 5041, 40321 ......
5. (1p) Quais são os termos a 0 , a1 , a 2 , a3 da seqüência {a n } , expressa pela fórmula:
a n = 2 n + (- 2)
n
6. (2,5p) Prove usando indução matemática que a proposição é verdadeira (apresente todos
os passos):
12 + 2 2 + 3 2 + .... + n 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
, n³1
6
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Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 1
Matemática Discreta para Computação – 2011
Aluno(a):______________________________________________________ Data: 08/04/2011
1. (1,5p) Explique o Paradoxo de Russell. Use como base o seguinte:
Definição de conjunto: é uma coleção bem definida de objetos, denominados elementos ou
membros do conjunto.
Se M é o conjunto de todos os conjuntos que não se contém a si próprios como membros.
Pergunta: M se contém a si mesmo?
2. (2p) Mostre que as hipóteses “Não está fazendo sol esta tarde e está mais frio do que
ontem”, “Nós iremos nadar somente se fizer sol”, “Se nós não formos nadar, então nós
vamos velejar”, “Se nós formos velejar, então estaremos em casa no final da tarde.” levam
à conclusão: “Estaremos em casa no final da tarde.”
3. (1,5p) Prove por contradição que “Se um número somado a ele mesmo é igual a ele
mesmo, então esse número é zero”
4. (1,5p) Obtenha uma fórmula simples ( a n = ?? ) que gere os termos de uma seqüência de
inteiros que inicia com a lista: 2, 3, 7, 25, 121, 721, 5041, 40321, .......
5. (1p) Quais são os termos a 0 , a1 , a 4 , a5 da seqüência {a n } expressa pela fórmula:
a n = 2 ∗ (− 3) + 5 n
n
6. (2,5p) Prove usando indução matemática que a proposição é verdadeira (apresente todos
os passos):
2
12 + 3 2 + 5 2 + .... + (2n − 1) =
n(2n + 1)(2n − 1)
,n≥1
3
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Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 2
Matemática Discreta para Computação – 2011
Nome:__________________________________________________ Data: 20/05/2011
1.
2.
3.
De quantas formas podem ser distribuídas 7 tarefas tipo A e 6 tarefas tipo B para 4
Computadores de modo que cada Computador realize pelo menos uma tarefa tipo
A?
 n nk
Mostre que se n e k são inteiros positivos com 1 ≤ k ≤ n , então   ≤ k −1
k  2
+
Dê um exemplo de uma função de ZxZ (dos inteiros para os inteiros positivos) que
seja:
a. sobrejetora, mas, não injetora.
b. Injetora, mas, não sobrejetora
4.
Quantos números palíndromos existem que possuem sete dígitos?
5.
Quantos números inteiros ímpares existem no intervalo [100,999] com dígitos
distintos?
6.
Quantas strings de 8 bits começam com 11 ou terminam com 000?
7.
Qual é o coeficiente de x 6 no produto (1 − x + x 3 )(3 + 2 x ) ?
8.
9.
5
9
Qual é a linha do triângulo de Pascal que contém o coeficiente binomial   ,
k 
0≤ k ≤9?
Encontre o número mínimo de estudantes necessários que garanta que cinco deles
pertencem à mesma turma (1ª série, 2ª série, 3ª série, 4ª série)
10. Sejam as funções f e g de RxR (dos reais para os reais) definidas por:
f ( x) = x 2 + 2 x − 3 e g ( x) = 3 x − 4 . Encontre f o g e g o f
11. A função g ( x) = e x de RxR (dos reais para os reais) tem inversa? Se não tem, qual
restrição permite obter a inversa?
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Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 3
Matemática Discreta para Computação – 2011
Aluno(a):______________________________________________________ Data: 28/06/2011
1. (2p) Seja A = { (x, y) | x, y são inteiros}. A relação R sobre A esta definida pela regra:
(a, b )R(c, d ) ⇔ a = b ∨ b = d
Determinar se R é (justifique sua resposta, não é aceito apenas um sim ou um não):
(a) Reflexiva
(b) Simétrica
(c) Transitiva
2. (2p) Defina “relação de equivalência”. Determine se R sobre A é ou não uma relação de
equivalência A = { Z (conjunto dos inteiros) }
R = {(a, b ) ∈ A × A a ≤ b}
3. (1,5p) Seja A = { 1, 2, 3, 9, 18} e considere a relação B, sobre o conjunto A, como a relação
“divide”:
∀a, b ∈ A, a b ⇔ b = a ⋅ k , para algum inteiro k
(a) Faça o grafo dirigido que representa a relação
(b) Faça o diagrama de Hasse para o grafo obtido no item (a)
4. (2p) A Figura 1 é a planta da residência do bilionário Van Diamond, que acaba de ser
assassinado. Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um
estudioso da Teoria de Grafos) foi chamado para investigar o caso. O mordomo alega ter
visto o jardineiro entrar na sala da piscina (lugar onde ocorreu o assassinato) e logo em
seguida deixar aquela sala pela mesma porta que havia entrado. O jardineiro, contudo,
afirma que ele não poderia ser a pessoa vista pelo mordomo, pois ele havia entrado na
casa, passado por todas as portas uma única vez e, em seguida, deixado a casa. Sherlock
Gomes avaliou a planta da residência (conforme figura) e em poucos minutos declarou
solucionado o caso.
a) Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes?
b) Faça o Grafo e utilize a teoria dos grafos para encontrar a solução do problema.
5. (1,5p) Defina (utilize diagramas para exemplificar):
b) Circuito Euleriano
c) Circuito Hamiltoniano
d) Diferenças e/ou semelhanças entre estes circuitos
6. (1p) Quantas funções booleanas diferentes de 4 variáveis existem? Apresente duas
destas funções booleanas.
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Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Substitutiva
Matemática Discreta para Computação – 2011
Aluno(a):______________________________________________________ Data: 05/07/2011
I. Combinatória
1. (1p) Quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação:
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 10
2. (1p) Quantas permutações distintas existem das letras da palavra APALACHICOLA que
tenham os dois Ls juntos?
II. Relações
1. (1p) Classifique a relação R a seguir, no conjunto S, como: Reflexiva, Simétrica e
Transitiva.
S = {x / x é um aluno da sua sala }
aRb ⇔ a senta na mesma fileira que b
2. (2p) Para cada caso abaixo, apresente um conjunto S e uma relação binária R em S que
satisfaçam às condições pedidas (O conjunto S deve ser algum conjunto de números:
Naturais, Inteiros, Racionais, etc.)
(i) R é reflexiva, transitiva mas não é simétrica
(ii) R não é reflexiva nem simétrica, mas é transitiva.
3. (1p) Seja R uma relação sobre o conjunto S, onde:
S = {1,2,3,4}
R = {(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,3), (4,4)}
Encontre os fechos: (a) Reflexivo
(b) Simétrico
(c) Transitivo
III. Grafos
1. (1p) Desenhe o grafo não-direcionado representado pela lista de adjacências da figura a
seguir.
2. (2p) Diga se os dois grafos a seguir são ou não isomorfos. Se forem, apresente a função
que estabelece o isomorfismo entre eles; caso contrário, explique por quê.
3. (1p) Escreva a matriz de adjacência do grafo da figura dada:
P(n , r ) =
n!
(n − r )!
Fórmulas
Permutação sem repetição
para n ≥ 1 e 1 ≤ r ≤ n
nr
n!
r! (n − r )!
(n + r − 1)!
C (n + r −1, r ) =
r! (n − 1)!
(n − 1) + 1
m
n
n
(x + y )n = ∑  x n− j y j
j =0  j 
C ( n ,r ) =
Permutação com repetição
Combinação sem repetição
Combinação com repetição
Principio de Pigeonhole
Teorema de Binomial
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova de 2da chamada de Matemática Discreta para Computação – 2011
Aluno: ___________________________________________________Data: 07/07/2011
1.
(1,5p) Prove usando indução que para qualquer inteiro positivo n:
12 + 3 2 + 5 2 + ... + (2n - 1) =
2
n(2n + 1)(2n - 1)
,n³1
3
2.
(1,0p) Em uma empresa, 10 atividades são distribuídas para sete operadores. De
quantas maneiras isto pode ser feito se cada operador for receber pelo menos uma
atividade?
3.
(1,5p) Utilize o teorema de binomial e mostre que:
ænö
ænö
æ n ö n-1
ænö
n
n -1
çç ÷÷(1 - p ) + çç ÷÷ p(1 - p ) + ..... + çç
÷÷ p (1 - p ) + çç ÷÷ p n = 1
è0ø
è1ø
è n - 1ø
ènø
4.
(1,5p) Determine m de modo que o 3º e o 8º termos do desenvolvimento de:
æ x
1 ö
çç
-2
÷÷
xø
è 3x
m
tenham os coeficientes binomiais iguais, e calcule o produto desses dois termos.
5.
(1,5p) Para a função f: R2® R2 (reais para os reais), definida pela equação abaixo,
determinar se é Injetora, Sobrejetora ou Bijetora e encontre a inversa se possível:
f(x, y) = ( y +1, x +1)
6.
(2p) Sejam A = B = C = R (reais) e considere as funções f : A ® B e g : B ® C
definidas por f (a ) = 2a + 1 , g (b) = b / 3 , verifique o seguinte teorema:
( g o f ) -1 =
7.
f
-1
o g -1
(1p) Quantos números precisam ser escolhidos do conjunto {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,
18, 20} a fim de se garantir que pelo menos um par soma 22?