Provas 2013-1 - Páginas Pessoais

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 1
Matemática Discreta para Computação – 2013-1
Aluno(a):________________________________________________________________________ Data: 26/06/2013
A prova contém grupos de questões: Lógica (1-2), Métodos de Prova (3-4), Indução e Recursão (5-6), Conjuntos (7-8). Escolha
uma questão por grupo, exceto nas questões 3-4 onde deverá escolher um item de cada questão obrigatoriamente.
1.
Qual o valor-verdade de cada uma das expressões abaixo na interpretação onde o domínio consiste nos números inteiros?
a. (∀𝑥)(∃𝑦)(𝑥 + 𝑦 = 𝑥)
c. (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)
b. (∀𝑥)(∃𝑦)(𝑥 + 𝑦 = 0)
d. (∃𝑦)(∀𝑥)(𝑥 + 𝑦 = 0)
2.
Usando os símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva as sentenças na língua portuguesa
como formula bem formada. (O domínio é todo o mundo.)
C(x) é “x é uma Corvette”
P(x) é “x é um Porsche”
F(x) é “x é uma Ferrari”
L(x, y) é “x é mais lento que y”
a. Nada é, ao mesmo tempo, uma Corvette e uma Ferrari.
b. Alguns Porsches são apenas mais lentos que as Ferraris.
c. Se existir uma Corvette que seja mais lenta que uma Ferrari, então
todas as Corvettes serão mais lentas que todas as Ferraris.
3.
Usando as Regras de Inferência da lógica proposicional, prove que os argumentos são válidos. Use os símbolos
proposicionais indicados.
a. A colheita é boa, mas não há água suficiente. Se tivesse bastante água ou não tivesse bastante sol, então haveria
água suficiente. Portanto, a colheita é boa e há bastante sol. (C, A, H, S)
b. Não é verdade que se as taxas de eletricidade subirem, o consumo diminuirá, nem é verdade que novas usinas de
energia serão construídas ou as contas não serão atrasadas. Portanto o consumo não diminuirá e as contas serão
atrasadas. (T, C, U, Co)
4.
Provar (usar qualquer método: direta ou indireta ou contradição)
a. Se qualquer número x é positivo, então x + 1 também é positivo.
b. Se dois inteiros são ambos divisíveis por um inteiro n, então a sua soma é divisível por n.
5.
Demonstre usando indução matemática que 5 divide 𝑛5 − 𝑛 sempre que 𝑛 for um número inteiro não negativo.
6.
Considere S como o subconjunto do conjunto de pares ordenados de números inteiros definidos recursivamente por:
Passo base: (0,0) ∈ 𝑆
Passo recursivo: Se (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 , então (𝑎, 𝑏 + 1) ∈ 𝑆, (𝑎 + 1, 𝑏 + 1) ∈ 𝑆 , e (𝑎 + 2, 𝑏 + 1) ∈ 𝑆
Liste os elementos de S produzidos pelas primeiras 3 aplicações do passo recursivo.
7.
Considere os seguintes subconjuntos de ℤ
𝐴 = {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℤ e 𝑦 ≥ 4 e 𝑥 = 3𝑦)}
𝐵 = {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℤ e 𝑥 = 2𝑦)}
𝐶 = {𝑥|𝑥 ∈ ℤ e |𝑥| ≤ 10}
Usando as operações de conjuntos, descreva cada um dos seguintes conjuntos em termos de A, B e C:
a. O conjunto de todos os inteiros ímpares
b. { - 9, - 7 , - 5 , - 4 , - 1 , 0, 1, 3, 5, 7, 9}
c. {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℤ e 𝑦 ≥ 2 e 𝑥 = 6𝑦)}
8.
Seja:
𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ ℕ e 𝑥 ≥ 5}
𝐵 = {10, 12, 16, 20}
𝐶 = {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℕ e 𝑥 = 2𝑦)}
Quais das seguintes sentenças são verdadeiras
a. 𝐵 ⊆ 𝐶
b. 𝐴 ⊆ 𝐶
c. {11, 12, 13} ⊆ 𝐴
d. {12} ∈ 𝐵
e. {𝑥|𝑥 ∈ ℕ e 𝑥 < 20} ⊈ 𝐵
f. {∅} ⊆ 𝐵
g.
h.
i.
j.
k.
l.
𝐵⊂𝐴
26 ∈ 𝐶
{11, 12, 13} ⊂ 𝐶
{12} ⊆ 𝐵
5⊆𝐴
∅∉𝐴
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 2
Matemática Discreta para Computação – 2013-1
Aluno(a):___________________________________________________Data: 15/08/2013
Devem ser respondidas 5 questões: obrigatórias 1 e 8. Pode-se escolher uma de: 2 ou 3; 4 ou 5 e
6 ou 7.
1. Quantos números inteiros positivos menores que 1.000.000 têm exatamente um digito igual a
9 e têm a soma de seus dígitos igual a 13?
2. Mostre que existem pelo menos 6 pessoas na Califórnia (população = 36 milhões) que
possuem as mesmas 3 iniciais e que nasceram no mesmo dia do ano (mas não
necessariamente no mesmo ano). Assuma que todos têm nomes com 3 iniciais.
3. Indo para o cinema, seis amigos descobrem que eles estão levando um total de R$21,61.
Mostre que um ou mais entre eles deve(m) ter pelo menos R$3,61.
n
4. (2,5p) Mostre que    2 n para todos os inteiros positivos n e todos os inteiros k, com
k 
0  k  n.
 n nk
5. Mostre que se n e k são inteiros positivos com 1  k  n , então    k 1
k  2


6. Qual é o coeficiente de x 6 no produto 1  x  x3 3  2 x  ?
5
7. Qual é o coeficiente de x5 y 2 z 2 no expansão de x  y  2z  ?
9
8. Seja
A  x, y  x  y  Z . Define-se uma relação R sobre A
a, bRc, d 
dada pela regra:
 ac  bd
Defina relação de ordem parcial e determine se
R
é uma relação de ordem parcial sobre
A.
9. OPCIONAL: Defina relação de equivalência e classes de equivalência, coloque exemplos para
cada definição.
Cn r 1, r  
nr
Pn, r  
n!
n  r !
C ( n,r ) 
para
n 1 e 1 r  n
n!
r! n  r !
 n  1
 m   1
Obs:
n  r  1!
r! n  1!
4,2  4
x  y n    x n j y j
j
n
n
j 0
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 3
Matemática Discreta para Computação – 2013-1
Aluno(a):___________________________________________________Data: 19/09/2013
1. (1p) Encontre o Domínio e o conjunto Imagem para as funções:
a. A função que determina, para cada cadeia de bits, duas vezes o número de zeros
na cadeia.
b. A função que determina, para cada par de números inteiros positivos, o primeiro
número inteiro par.
2. (2p) Determine se f : R  R é bijetora para f ( x)  ( x  1) /( x  2) caso não for,
indique o que deve ser mudado e encontre a função inversa.
3. (1.5p) Dê um exemplo de uma função de NxN (dos naturais para os naturais) que seja
injetora mas não sobrejetora.
4. (1.5p) Explique os seguintes conceitos (Faça desenhos para exemplificar):
a. Ordem do grafo
b. Grafo bibartido
c. Isomorfismo
d. Grafo regular
e. Grafo completo
f. Grafo planar
5. (2p) A figura ao lado é a planta da
residência
do
bilionário
Van
Diamond, que acaba de ser
assassinado. Sherlock Gomes (um
conhecido detetive que nas horas
vagas é um estudioso da Teoria de
Grafos) foi chamado para investigar
o caso. O mordomo alega ter visto o
jardineiro entrar na sala da piscina
(lugar onde ocorreu o assassinato) e
logo em seguida deixar aquela sala
pela mesma porta que havia
entrado.
O jardineiro, contudo, afirma que ele não poderia ser a pessoa vista pelo mordomo,
pois ele havia entrado na casa, passado por todas as portas uma única vez e, em
seguida, deixado a casa. Sherlock Gomes avaliou a planta da residência (conforme
figura) e em poucos minutos declarou solucionado o caso. Quem poderia ser o
suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para
apontar o suspeito? Justifique a solução explicitando em qual das leis e/ou regras da
Teoria dos Grafos se baseia, apresente o grafo para mostrar a solução do problema.
6. (2p) Apresente os algoritmos de Kruskal e Prim (pode ser em portugol) para busca de
árvore geradora mínima em grafos.
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Pato Branco
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
Prova Parcial 3 - 2da Chamada
Matemática Discreta para Computação – 2013-1
Aluno(a):___________________________________________________Data: 16/10/2013
1. (1p) Encontre o Domínio e o conjunto Imagem para cada uma das funções a seguir:
a. A função que determina, para uma cadeia de bits, a maior cadeia de uns que pode ser
encontrada nela.
b. A função que determina seu próximo maior número inteiro para um número inteiro
positivo.
2. (2p) Para os seguintes itens responda:
a. Quais representam funções?
b. Quais funções são injetivas?
c. Quais são sobrejetivas?
d. Apresente a função inversa para as bijetivas
f :ZN Q
h: N3  N
onde
onde
h
f
é definida por
é definida por
3. (2p) Dê um exemplo de uma função de
seja
a. Injetora, mas não sobrejetora.
b. Nem injetora nem sobrejetora
f ( z , n) 
z
n  1
h( x, y, z)  x  y  z
Z  Z  (dos inteiros para os inteiros positivos) que
4. (1p) Defina (utilize diagramas para exemplificar):
a. Circuito Euleriano
b. Circuito Hamiltoniano
5. (2p) Na figura ao lado esta desenhada uma
construção com quatro salas, designadas por S1 a
S4, interconectadas por seis portas, P1 a P6.
Determine o número mínimo de novas portas a
instalar de forma que uma pessoa possa, ao
chegar à construção, passar por cada porta
exatamente uma vez e sair para o exterior.
Justifique modelando o problema por meio de
grafo. Em que locais devem ser instaladas as
novas portas?
6. (1p) Explique os seguintes conceitos (Faça desenhos para exemplificar):
a. Grafo bibartido
b. Isomorfismo
c. Grafo completo
d. Grafo planar
7. (1p) Explane as diferenças entre os algoritmos de Kruskal e Prim para busca de árvore
geradora mínima em grafos.