TESTE t-STUDENT TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE ESTATÍSTICA
TESTE t-STUDENT
TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS
BELÉM
2014
TAIS MEDEIROS SILVA
201107840019
TESTE t-STUDENT
TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS
Trabalho apresentado para obtenção de nota
parcial na disciplina Estatística Aplicada
referente a avaliação do 8º período do curso
de Bacharelado em
Estatística da
Universidade Federal do Pará.
Orientadores: Prof.Dr. Heliton Tavares e
Prof.Dr.ª Regina Tavares.
BELÉM
2014
TESTE t-STUDENT
A estatística t foi introduzida em 1908 por William Sealy Gosset, químico da
cervejaria Guinness em Dublin, Irlanda ("student" era seu pseudônimo). Gosset havia
sido contratado devido à política inovadora de CLaude Guinness de recrutar os melhores
graduados de Oxford e Cambridge para os cargos de bioquímico e estatístico da indústria
Guinness.Gosset desenvolveu o Teste t como um modo barato de monitorar a qualidade
da cerveja tipo stout. Ele publicou o Teste t na revista acadêmica Biometrika em 1908,
mas foi forçado a usar seu pseudônimo pelo seu empregador, que acreditava que o fato de
usar estatística era um segredo industrial. De fato, a identidade de Gosset não foi
reconhecida por seus colegas estatísticos.
O teste
t-Student ou
somente teste
té
um teste
de
hipótese que
usa
conceitos estatísticos para rejeitar ou não uma hipótese nula quando a estatística de
teste ( ) segue uma distribuição t-Student.
Essa premissa é normalmente usada quando a estatística de teste, na verdade, segue
uma distribuição normal, mas a variância da população
usada a variância amostral
é desconhecida. Nesse caso, é
e, com esse ajuste, a estatística de teste passa a seguir uma
distribuição t-Student.
Unicaudal X bicaudal
Dependendo da definição da hipótese nula, deve ser usado uma ou duas caudas da
distribuição t-Student na avaliação do teste. Por exemplo, se a hipótese nula for ̅
a hipótese alternativa ̅
e
, o teste deve ser feito somente para valores maiores do que
e, portanto, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t-Student,
deve-se considerar somente a área superior a , ou seja, somente uma das "caudas" da
distribuição.
Por outro lado, se a hipótese nula for ̅
̅
e, consequentemente, a hipótese alternativa
, teríamos que avaliar ao mesmo tempo a possibilidade de ̅
e de ̅
.
Para isso, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t-Student,
devem ser consideradas as áreas abaixo da curva para valores superiores a e inferiores a
, ou seja, as duas "caudas" da distribuição. Como a distribuição é simétrica, os
tamanhos dessas áreas são iguais.
O teste t-Student dividi-se em:

TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA
Constitui um dos testes paramétricos de largo uso quando a variância da população é
desconhecida, utilizando-se o valor obtido, para o cálculo dessa estatística, da amostra
coletada. Deve-se fixar: se a variância paramétrica é desconhecida = Teste t-Student,
independe do tamanho amostral.
Definições:
= média da população e = tamanho da amostra
∑
̅
= média da amostra
= variância da amostra
̅
√
√
= desvio padrão da amostra
= erro padrão
̅
̅
= teste t
gl = graus de liberdade = n-1
Exemplo:
Um estudo foi efetuado em amostra aleatória de 16 pessoas deprimidas, verificando-se
que o tempo médio de sono foi igual a 7,03 horas, com variância de 0,68. Procurou-se
comparar com o período de sono de pessoas consideradas normais, cujo valor obtido na
literatura é de 7,31 horas. Deseja saber se o tempo de sono dos deprimidos é menor que o
de indivíduos normais?
1° passo: Enunciar as hipóteses
Nessas condições, como se deseja saber se o tempo de sono dos deprimidos é menor que
o de indivíduos normais, o teste escolhido é t unilateral:
2° passo: Estabelecer o nível de significância
3° passo: ( Cálculos)
̅
√
̅
̅
̅
√
√
Observando na tabela o t tabelado será:
Comparando com o t calculado temos: | |
4° passo: Conclusão
Como o t obtido é menor que o valor tabelado ao nível de significância de 5%, para 15
graus de liberdade, não se rejeita a hipótese nula. Portanto, o tempo de sono dos
deprimidos é estatisticamente maior ou igual aos de indivíduos normais.

TESTE DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES
Aplica-se sempre que se pretende comparar as médias de uma variável quantitativa em
dois grupos diferentes de sujeitos e se desconhecem as respectivas variâncias.
Neste tipo de teste são retiradas duas amostras de forma independente, isto é, as medidas
são obtidas em unidades amostrais diferentes.
A) Variâncias iguais, porém desconhecidas
Consideraremos agora, que as variâncias das populações são iguais, porém,
desconhecidas, ou seja,
. Então, para testar a igualdade das médias, vamos
considerar a variável
̅
̅
√
Que tem distribuição t de Student com
graus de liberdade. Aqui o
éo
desvio padrão agrupado que é dado por
√
Temos que o
é dado por
̅
̅
√
Exemplo: Para ilustrar a aplicação deste teste de hipótese, considere os dados de duas
amostras apresentadas a seguir e, a um nível de significância
diferença significativa entre as médias populacionais
e
.
, decida se existe
Amostra 1
20,8350 19,1690
17,5270 19,2900
17,0780 22,0590
17,6200 18,5850
21,4260 17,8900
17,5910
18,7560
18,9770
20,3080
18,8990
22,057
22,881
17,968
23,382
21,043
Amostra 2
22,629
24,62
22,86 22,058
24,515
23,15
22,426 22,787
21,203 24,009
18,7550
19,2030
18,4190
20,7640
21,0550
21,491
22,699
24,662
21,983
21,917
21,198
22,909
23,327
24,534
21,152
Vamos testar se as médias das amostras 1 e 2 são iguais ou diferentes, portanto
1. Estabelecemos as hipóteses
Temos a partir dos dados que a média e o desvio padrão da amostra 1 são ̅
e
, respectivamente. A média e desvio padrão da amostra 2
são ̅
e
é
e
, respectivamente. O tamanho de cada amostra
. Com isso, temos que o desvio padrão agrupado é dado por
√
2.Para este exemplo, fixamos o nível de significância
.
3. Como o teste é bilateral e sabendo que o número de graus de liberdade é
, encontramos na Tabela da distribuição de Student os seguintes valores
críticos
e
4. Calculamos o valor da estatística
.
.
√
Como
são iguais.
, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, estatisticamente as médias não
B) Variâncias desconhecidas e diferentes
Vejamos agora como realizar um teste para igualdade das médias tendo variâncias
desconhecidas e diferentes
.Para isto consideramos a variável
̅
tal que
̅
√
Ou seja, a variável
dada pela equação acima tem distribuição t de Student com
graus
de liberdade, onde
(
(
)
)
(
)
Calcula-se sob
̅
̅
√
Obtemos o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias
desconhecidas e diferentes:
( ̅
̅
(
)
√
)
Exemplo: compare as médias das amostras na produção de eixo comando desenvolvido
por dois sistemas de usinagem. Com os seguintes dados:
Sistema de Usinagem 1
Sistema de Usinagem 2
18,7997
20,5035
18,6214
19,9192
21,117
20,8353
17,527
17,078
17,6197
21,4255
18,7545
19,2026
18,4187
20,7641
21,0553
17,5905
18,7561
18,9772
20,3084
18,8988
19,1688
19,2898
22,059
18,5854
17,8896
21,1609
26,1371
21,4737
30,9934
22,8421
24,4133
20,4137
25,5475
21,8791
22,6706
24,7531
25,7219
22,6389
26,2308
26,7998
28,4708
26,9941
25,1489
24,6179
27,0194
25,0589
22,1119
20,3069
23,6758
27,1201
29,6136
25,9948
18,223
23,7336
22,4208
Hipóteses:
̅
̅
(
)
(
*
(
*
(
)
(
)
2. Para este exemplo, fixamos o nível de significância
.
3. Como o teste é bilateral e sabendo que o número de graus de liberdade é
encontramos na Tabela da distribuição de Student os seguintes valores críticos
e
.
Calculamos o valor da estatística
.
√(
Como
)
, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, estatisticamente as médias não
são iguais.

TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS
(TESTE T PAREADO)
Para realizarmos os testes de igualdade de variâncias e os testes de médias, precisamos
que as duas populações sejam independentes. Porém, na prática, temos algumas situações
onde as populações não são independentes. Numa situação de comparação inter
laboratorial onde dois laboratórios medem a mesma peça, por exemplo, as medidas entre
os laboratórios não são independentes. Neste caso, utilizamos o teste pareado.
Para realizar o teste pareado devemos primeiramente estabelecer uma das hipóteses:
O parâmetro
parâmetro
será estimado pela média amostral das diferenças, ou seja, ̅ , O
será estimado pela variância amostral das diferenças, ou seja,
∑
O teste será realizado pela expressão:
̅
,
̅
√
Que sob
sugue uma distribuição de Student com
graus de liberdade.
Exemplo: Um método para avaliar a efetividade de uma droga é
observar sua
concentração em amostras de sangue ou urina em certos períodos de tempo após seu uso.
Suponha que desejaríamos comparar a concentração de dois tipos de aspirinas (tipo A e
B) na urina da mesma pessoa, 1 hora após ela ter tomado a droga. Uma dosagem
específica da aspirina A é ministrada e, em seguida, é medida sua concentração na urina.
Uma semana depois, após a primeira aspirina ser presumidamente eliminada do
organismo, uma dosagem da aspirina B é ministrada na mesma pessoa e sua concentração
na urina é medida. Pode-se afirmar que a média de proteína urinária sofreu alterações? Os
resultados desse experimento são apresentados na tabela a seguir.
aspirina_A aspirina_B
15
13
26
20
13
10
28
21
17
17
20
22
7
5
36
30
12
7
18
11
Teste de hipóteses
Temos,
√
√
Como
rejeita-se a hipótese nula ao nivel de significância de 5%. Portanto,
estatisticamente a média de concentração das aspirinas A e B na urina são diferentes.
TESTE IGUALDADE DE VARIÂNCIAS
Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses:
Dadas as amostras aleatórias independentes de tamanhos n1 e n 2 de populações com
variâncias  12
e  22
e admitindo que essas populações tenham distribuições
aproximadamente normais, costuma-se basear os testes da hipótese nula H o   12   22
na estatística F.
A estatística do teste será:
⁄
⁄
Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.
Exemplo: Que se verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma
homogeneidade quanto à resistência a tensão. Para tal, sorteiam-se duas amostras de 6
peças de cada uma das máquinas e observam-se as resistências.
máquina X
máquina Y
145
143
127
128
136
132
142
138
141
142
137
132
1ª passo:
2º passo
⁄
⁄
3º passo:
Fixando
, a RC é dada por:
{
Com
}
tais que
(
)
|
Assim
(
|
)
⁄
4º passo:
Com os dados apresentados, temos
. Portanto o valor observado da
estatística
Como o valor observado da estatística não pertence à RC, aceitamos
máquinas produzem com a mesma variabilidade.
e concluímos que as
BIBLIOGRAFIA
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_t_de_Student
[2] AYRES, Manuel.Elementos de Bioestatística 2.ed. Belém-pa: 2012.
[3] http://www.portalaction.com.br/558-573-3%C2%BA-caso-vari%C3%A2nciasdesconhecidas-e-diferentes
[4] BOLFARINE,Heleno; SANDOVAL, Mônica Carneiro. Introdução à Inferência
Estatística. São Paulo: SBM,2000.
[5] http://www.portalaction.com.br/557-572-2%C2%BA-caso-vari%C3%A2nciasiguais-por%C3%A9m-desconhecidas