Aula 05

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
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Nosso roteiro ao longo deste capítulo
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Cinemática retilínea: movimento contínuo
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Cinemática retilínea: movimento irregular
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Movimento curvilíneo geral
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Movimento curvilíneo: componentes retangulares
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Movimento de um projétil
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Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial
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Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
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Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas
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Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação
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Movimento relativo de duas partículas usando eixos de rotação
2.4 – Movimento curvilíneo geral
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Movimento curvilíneo: ocorre quando uma
partícula se move ao longo de uma trajetória
curva.
Visto que essa trajetória é frequentemente
descrita em 3 dimensões, a análise vetorial
será usada para formular a posição, a
velocidade e a acelaração da partícula
Revisão de análise vetorial: apêndice B do
Hibbeler (Dinâmica)
2.4 – Movimento curvilíneo geral
●
Posição: considere uma partícula
localizada sobre uma curva
espacial definida pela trajetória
s(t). A posição da partícula,
medida a partir de um ponto fixo
O, será designada pelo vetor
posição.
Tanto a intensidade quanto a
direção deste vetor pode
variar ao longo da curva
Deslocamento: variação na
posição da partícula
–
●
–
é determinado pela subtração
vetorial
2.4 – Movimento curvilíneo geral
●
Velocidade média
●
Velocidade instantânea
–
Aproxima-se da tangente da
curva
Velocidade escalar
–
●
2.4 – Movimento curvilíneo geral
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Aceleração
●
Hodógrafa
–
Aceleração é tangente
2.4 – Movimento curvilíneo geral
●
Em geral, a aceleração não é tangente à
trajetória
–
Aponta para o lado côncavo (interno de uma curva
)
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
●
Ocasionalmente, o
movimento de uma partícula
pode ser mais bem descrito
ao longo de uma trajetória
que pode ser expressa em
termos de suas
coordenadas x, y, z.
Se a partícula está em um
ponto (x,y,z) sobre a
trajetória curva, então sua
posição é dada por:
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
●
Velocidade
A velocidade é sempre
tangente à trajetória
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
●
Aceleração
Em geral, a aceleração
não é tangente à trajetória
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
Exemplo: em qualquer instante de
tempo, a posição horizontal do balão
meteorológico é definida por x = (9,00t)
m, onde t é dado em s. Se a equação da
trajetória é
sendo x dado em m, determine a
intensidade e a direção da velocidade e
da aceleração quando t = 2,00 s.
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
Exemplo:
Para
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
Exemplo:
Para
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
●
Exemplo: por um curto período de tempo, a
trajetória de um avião é descrita por
se o avião está decolando com uma velocidade
constante de 10,0 m/s (na vertical), determine
as intensidades da velocidade e aceleração
quando ele está em y=100 m
2.5 – Movimento curvilíneo:
componentes retangulares
Para y=100 m
Para y=100 m
Para y=100 m
2.6 – Movimento de um projétil
O movimento de um projétil em voo livre é frequentemente estudado
em termos das suas componentes retangulares.
2.6 – Movimento de um projétil
Visto que ax = 0, a aplicação das equações de aceleração constante,
resulta em:
A primeira e a última equação indicam que a componente horizontal
da velocidade sempre permanece constante durante o movimento.
2.6 – Movimento de um projétil
Movimento vertical
Visto que o eixo y positivo está direcionado para cima, então ay = – g.
Obtemos
A última equação pode ser formulada com base na eliminação do
tempo t das duas primeiras equações, e, portanto, apenas duas das
três equações anteriormente apresentadas são mutuamente
independentes.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento curvilíneo: componentes normal e
tangencial
Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é
conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento
utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e
tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem
sua origem localizada na partícula.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento plano
Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um
plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na
posição s, medida a partir do ponto O.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento plano
A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que
geometricamente a curva é construída a partir de uma série de
segmentos do arco diferenciais ds,
O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador,
e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Velocidade
A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à
trajetória,
Desse modo,
onde:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade.
Assim,
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u´t = ut + dut.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes,
onde:
ou
e
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas
na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor
positivo de:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento tridimensional
Se nenhum movimento ocorre na direção ub, e essa direção e ut são
conhecidos, então un pode ser determinado, onde, nesse caso,
un = ub × ut. Lembre, entretanto, que un, está sempre do lado côncavo
da curva.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Exercício
Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em
qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação: