ds vvsv dt = ∴ = ∴ = vu

12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Quando a trajetória de um ponto material é conhecida, torna-se
conveniente, em muitos casos, descrever o movimento usando um sistema
de eixos n e t com origem no ponto material e ajustados, a todo instante,
nas direções normal e tangencial à trajetória, respectivamente.
MECÂNICA - DINÂMICA
Cinemática de uma
Partícula
Cap. 12
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
2
2.5 Vetores Cartesianos
Movimento Plano
Vetor Unitário:
A direção e o sentido de A pode ser
especificado por um vetor unitário uA
ut Eixo tangente a curva em P
un Eixo perpendicular ao eixo t
(orientado de P para O’ – indica o
lado côncavo da curva)
A
A
⇒ A = Au A
uA =
Plano osculante:
Plano que contém os eixos normal e tangencial
u A é um vetor adimensional, que define a direção e o sentido de A
A (escalar positivo) define o módulo de A
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3
ds
v=
dt
4
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Velocidade
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
A velocidade do ponto material é
tangente à trajetória
∴ v = s ∴ v = vut
Aceleração
Observação
at = v
at ds = vdv
an =
v2
ρ
2
a = at + an
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5
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
2
6
1
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Aceleração
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Aceleração
a aceleração pode ser escrita como a soma
de seus dois componentes
De acordo com as figuras:
dut tem a direção de un
dut = u t = dut ⋅ un
a = at ut + anun
dut pode ser medido pelo arco da circunferência
a aceleração é também a derivada
temporal da velocidade
a = v =
d ( vut )
dt
como at = v
dut = arco = ut ⋅ dθ = (1) ⋅ dθ = dθ
Logo:
= vut + vu t
u t = dθ ⋅ un
a = at ut + vu t
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7
8
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Aceleração
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Aceleração
Logo:
Como
v
u t = ⋅ un
p
Substituindo em a = a u + vu
t
t t
u t = dθ ⋅ un
Considerando dS como o arco de uma circunferência qualquer
dS = arco = p ⋅ dθ ∴dθ =
Logo:
Como
dS
p
v
v2
a = at ut + v un = atut + un
p
p
dS
S
⋅ un = ⋅ un
p
p
u t =
Comparando com
S = v , temos:
a = atut + anun
v
u t = ⋅ un
p
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9
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Aceleração
Resumindo
2
v
ρ
Onde P = raio de curvatura
A dedução de P pode ser encontrada em
qualquer livrolivro-texto de cálculo padrão
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12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Aceleração
a = at ut + anun
Observação
at = v
ou
dv
dv
at =
∴ at ds = ds ∴at ds = vdv
dt
dt
an =
S = v , temos:
at = v
at ds = vdv
3/2
1+ ( dy / dx)2 

ρ= 2
2
d y / dx
an =
v2
ρ
2
a = at + an
11
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2
12
2
12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial
Exemplo 12.15
Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista
circular horizontal de raio 300 ft. Se a sua velocidade escalar
Movimento tridimencional
aumenta a uma taxa constante de 7 ft/s2 , determine o tempo
2
necessário para ele alcançar uma aceleração de 8 ft/s .
Qual é a sua velocidade escalar neste instante?
Uma vez que ut e un são sempre mutuamente perpendiculares e contidos
no plano osculador, para o movimento espacial utiliza-se um terceiro
vetor unitário, ub, que define o eixo binormal b perpendicular aos vetores
ut e un. Podemos usar o produto vetorial para estabelecer a direção e o
sentido de ub, definido esse vetor como ub = ut x un.
As mesmas equações definidas antes são utilizadas.
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13
Exemplo 12.15 - Solução
Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista A, a um ângulo de 60°. Se o
ponto de aterrissagem dista de 20 pés do ponto A, determine aproximadamente o
módulo da velocidade com que a motocicleta deixou o solo. Despreze as dimensões
da moto.
v = vo + at t ∴ v = 7t
v
2
ρ
∴ an =
14
Problema 12.86
at = 7 ft/s 2
Como an =
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( 7t )
2
∴ an = 0,163t 2 ft/s 2
300
∆x = Alcance = 20 pés
g = 32,2 pés/s 2
Usando
(
a = at 2 + an 2 ∴ 8 = 7 2 + 0,163t 2
)
θ = ângulo de salto = 60°
2
v0 = Velocidade de saída = ?
Resolvendo-se para t positivo:
0,163t 2 = 82 − 7 2 ∴ t = 4,87 s
A velocidade será: v = 7t = 7 ( 4,87 ) ∴ v = 34,1 ft/s
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