Aula 07

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Journal Club
Science 341, 725 (2013)
Onde estamos?
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Nosso roteiro ao longo deste capítulo
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Cinemática retilínea: movimento contínuo
–
Cinemática retilínea: movimento irregular
–
Movimento curvilíneo geral
–
Movimento curvilíneo: componentes retangulares
–
Movimento de um projétil
–
Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial
–
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
–
Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas
–
Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação
–
Movimento relativo de duas partículas usando eixos de rotação
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento curvilíneo: componentes normal e
tangencial
Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é
conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento
utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e
tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem
sua origem localizada na partícula.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento plano
Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um
plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na
posição s, medida a partir do ponto O.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento plano
A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que
geometricamente a curva é construída a partir de uma série de
segmentos do arco diferenciais ds,
O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador,
e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Velocidade
A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à
trajetória,
Desse modo,
onde:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade.
Assim,
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u´t = ut + dut.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes,
onde:
ou
e
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Aceleração
Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas
na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor
positivo de:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Movimento tridimensional
Conhecendo ut e un , podemos determinar o versor ub: ub = ut × un .
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Exercício
Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em
qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Por um lado:
Por outro lado:
O que implica:
Reescrevendo:
Mas:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
●
Exemplo: Quando o esquiador alcança o ponto A ao
longo de sua trajetória parabólica, ele tem uma
velocidade escalar de 6,00 m/s que está aumentando
em 2,00 m/s2. Determine a direção de sua velocidade e
a direção e a intensidade da sua aceleração neste
instante. Despreze o tamanho do esquiador no cálculo.
5,00 m
10,0 m
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Para
(ângulo que a velocidade faz a direção positiva de x)
Para
(ângulo que a aceleração faz a direção positiva de x)
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
●
Exemplo: As caixas deslocam-se ao longo do transportador
industrial. Se uma caixa parte do repouso em A e aumenta
sua velocidade escalar de tal maneira que
onde t é dado em s, determine a intensidade da sua
aceleração quando ela chega ao ponto B
3,00 m
2,00 m
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
Para chegar a B, percorre uma distância de
O que leva um tempo de
Para
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
●
Exemplo: Em um teste de direção, um carro é
conduzido através do percurso sinuoso mostrado.
Supõe-se que a trajetória do carro é senoidal e que a
máxima aceleração lateral é 0,700 g. Se os
examinadores desejam projetar um percurso por meio
do qual a velocidade máxima seja de 80,0 km/h, qual o
espaçamento L entre os cones.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
●
Exemplo:
Sendo:
Precisamos encontrar o ponto em que  é mínimo (para maximizar aceleração normal).
Vamos fazer isto com o auxílio de um programa computacional
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo:
A resposta obtida é
Script do Maxima
y(x):=A*sin(%pi*x/L);
diff(y(x),x);
yl(x):=''(diff(y(x),x));
yll(x):=''(diff(yl(x),x));
rho(x):=(1+(yl(x))^2)^(3/2)/yll(x);
drho(x):=''(diff(rho(x),x));
solve(drho(x)=0,x);
/* Substituir x=L/2 na função*/
rho(0.5*L);
/* Calculando L */
v:80/3.6;
a:0.7*9.81;
A:3;
solve(abs(rho(0.5*L))=v^2/a,L); %,numer;
/* Vamos fazer um gráfico, para deixar mais divertido */
L:1;
plot2d ( abs(rho(x)), [x,0.2,0.8]);
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
●
Exemplo: No instante de tempo t=0, a partícula P de 0,900 kg
recebe uma velocidade inicial de 0,300 m/s na posição
e
posteriormente desliza ao longo da trajetória circular de raio r =
0,500 m. Devido ao fluido viscoso e o efeito da aceleração
gravitacional, a aceleração tangencial é de
onde a constante k = 3,00 N.s/m é um parâmetro de arrasto.
Determine e represente graficamente e
ambos como funções
do tempo durante o intervalo de 0 a 5 s. Determine os valores
máximos de e
e os correspondentes valores de t. Determine
também o primeiro instante de tempo em que = 90,0°.
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo: Pela figura fica claro que
Esta é uma EDO não linear sem solução analítica. Vamos resolver
(numericamente) usando o Maxima.
Condições iniciais:
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo: Para resolver a EDO anterior no Maxima, precisamos
convertê-la num sistema de primeira ordem. Definimos as variáveis
auxiliares
Com isso, temos o seguinte sistema:
Condições iniciais:
Script do Maxima
sol: rk([w,19.62*cos(u)-3.33333333333*w],[u,w],[0,0.6],[t,0,5,0.02])$
plot2d ([discrete,makelist([p[1],p[2]],p,sol)], [xlabel,"t"],[ylabel,"\theta"])$
plot2d ([discrete,makelist([p[1],p[3]],p,sol)], [xlabel,"t"],[ylabel,"\dot{\theta}"])$
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo: Gráficos
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo: Gráficos
2.7 – Movimento curvilíneo:
componentes normal e tangencial
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Exemplo:
Condições de máximo:
Além disso: