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Geometria Analítica
Módulo 1
Revisão de funções trigonométricas,
Vetores: Definições e aplicações
Módulo, direção e sentido.
Igualdades entre vetores
1. Revisão de funções trigonométricas
a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90°).
No triângulo retângulo da figura temos:
Hipotenusa  maior lado do retângulo, indicado na figura por a
Catetos  lados que formam o ângulo reto, indicados por b e c
  um dos ângulos agudos (< 90°) do triangulo retângulo.
Cateto adjacente ao ângulo   b
Cateto oposto ao ângulo   c
Teorema de Euclides: “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
vale 180°”.
Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo o quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Para o triangulo da
figura temos:
a ²  b²  c²
Relações trigonométricas principais
seno de  
cateto oposto ao ângulo 
hipotenusa
na figura temos sen  
c
a
co - seno de  
cateto adjacente ao ângulo 
hipotenusa
tangente de  
cateto oposto ao ângulo 
cateto adjacente ao angulo 
na figura temos cos  
b
a
na figura temos tg  
c
b
b) Triângulo qualquer: É nome dado qualquer triângulo que não possui um
ângulo reto (90°).
a; b; c  medida dos lados do ABC
A; B; C  vértice e medida dos ângulos internos do ABC
Lei dos Co-senos: “Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do
produto dessas medidas pelo co-seno do ângulo que eles formam.” Na figura
temos:
a²  b²  c² - 2b.c.cos A
b²  a²  c² - 2a.c.cos B
c²  a²  b² - 2a.b.cos C
2. Noção intuitiva de vetor
Vetor é um segmento de reta orientado que usado para indicar grandeza que
necessitam de direção (alinhamento) e sentido (para onde?). Um vetor também
pode ser usado para indica uma posição em um plano cartesiano.
A indicação de um vetor pode ser feita da maneira mostrada na figura ao lado.
 
Os vetores PQ , u e v de mesmo módulo (tamanho ou intensidade), mesma
direção e mesmo sentido logo os 3 vetores são iguais.
PQ =

u
=

v
O módulo de um vetor representa o comprimento do vetor e é indica entre 2
barras
Dois que possuem o mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos são
chamado de vetores opostos e neste caso pode usar a seguinte notação:


a  b
 Significa os vetores são opostos.
Exercício Resolvido - 1
Um automóvel desloca-se seguindo o caminho ABC indicado na figura.
Determinar a distância efetivamente percorrida pelo automóvel e o quanto ele
afastou-se do ponto A.
Solução
a ²  b²  c²

a ²  30²  40²
a  2500

a  50cm
Exercício Resolvido - 2
Na figura abaixo estão representados três vetores em escala.

a) Calcule o módulo do vetor a .
Solução
O vetor a ocupa na direção horizontal 7 segmentos de 5cm cada portanto seu
módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 35cm, em notação
vetorial podem escrever:

a  35 cm
b) Calcule o modulo do vetor

b
Solução
O vetor b tem direção inclinada e ocupa na horizontal 6 segmentos de 5cm e
na vertical 8 segmentos de 5cm portanto seu módulo (comprimento total de
seu segmento de reta) é calculado utilizado o teorema de Pitágoras. Seu
módulo equivale a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 30cm
e 40cm.

b  30²  40²


b  2500


b  50cm
Portanto a módulo do vetor b é de 50cm

c) Calcule o modulo do vetor c
Solução
O vetor c ocupa na direção direção vertical 8 segmentos de 5cm cada portanto
seu módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 40cm, em
notação vetorial podem escrever:

a  40 cm
Exercícios propostos
1. É dado o ABC. Resolva
a) Calcule o valor da hipotenusa c
b) Calcule o seno de  e .
c) Calcule o co- seno de  e .
d) Calcule a tangente de  e .
2. Determinar a distância entre os pontos A e B, conhecidas as distancias AC
= 2 cm e BC = 7 cm e o ângulo ACB = 120°.
3. Quando dois vetores são iguais?
a)
Tem a mesma direção e sentido.
b)
Tem a mesma carga.
c)
Tem a mesma direção, sentido e comprimento.
d)
Tem comprimento e sentidos iguais.
e)
Tem o mesmo valor escalar.
4. Leia o texto abaixo.
O jardim de caminhos que se bifurcam.
(....) Uma lâmpada aclarava a plataforma, mas os rostos dos meninos
ficavam na sombra. Um menino perguntou: O senhor vai à casa do Dr.
Stephen Abert? Sem aguadar resposta outro disse: A casa fica longe
daqui, mas o senhor não se perderá se tomar esse caminho à esquerda e
se em cada encruzilhada do caminho dobrar à esquerda.
(Adaptado. Borges, J. Ficcções. Rio de Janeiro: 1997. p.96.)
Quanto à cena descrita acima, considere que:
I
- o sol nasce à direita dos meninos:
II - o caminho fica à esquerda dos meninos;
III - o senhor seguiu o conselho dos meninos, tendo encontrado duas
encruzilhadas até a casa;
IV - As duas encruzilhadas são perpendiculares (formam um ângulo de 90º)
Concluiu-se que o senhor caminhou, respectivamente, nos sentidos:
a) oeste, sul e leste.
b) leste, norte e oeste.
c) oeste, norte e leste.
d) leste, norte e oeste.
e) leste, norte e sul.
Sugestão : O Sol nasce no leste.
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina