ga - circunferencia - Lógico Cursos Aliados

Resposta da questão 1: [C]
Determinando o centro e o raio da circunferência.
x2 + y2 − 8x − 8y + 16 = 0 ⇒ x2 − 8x + 16 + y2 − 8y + 16 = 16 ⇒ (x − 4)2 + (y − 4)2 = 42
O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.
Calculando a área do setor de 90° do círculo determinado por esta circunferência, temos: AS =
π ⋅ 42
= 4π
4
Calculando, agora, a área do triângulo ABC.
AΔABC =
4⋅4
=8
2
Portanto, a área do segmento circular pedida é: A = AS − AΔABC ⇒ A = 4π − 8 ⇒ A = 4 ⋅ ( π − 2)
Resposta da questão 2: [C]
Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos:
x2 + y2 − 8x − 8y + 7 = 0 ⇒ x2 − 8x + 16 + y2 − 8y + 16 = −7 + 16 + 16 ⇒ (x − 4)2 + (y − 4)2 = 25
Portanto, o raio da circunferência externa é R = 25 = 5.
Logo, o raio da circunferência interna é 5 − 2,5 = 2,5 =
5
.
2
2
25 ⋅ π
⎛ 5 ⎞
A área do furo interno será dada por: A = π ⋅ ⎜ ⎟ =
cm2
4
⎝ 2 ⎠
Resposta da questão 3: [B]
Se o centro da circunferência é o ponto P(4, − 2) e esta é também tangente ao eixo y, pode-se concluir que outro ponto
desta mesma circunferência será o ponto tangente T(0, − 2). Ainda, pode-se deduzir que o raio da mesma circunferência
é igual a 4.
Logo, pela fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos, pode-se deduzir a equação geral desta
circunferência:
(x − 4)2 + (y + 2)2 = (4)2 → x2 + y2 − 8x + 4y + 4 = 0
Resposta da questão 4: [C]
x2 + y2 − 4x − 4y + 7,84 = 0 ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 = −7,84 + 8 ⇒ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 0,16
O relógio será representado por uma circunferência de centro (2,2) e raio 0,4.
Portanto, a altura h será dada por h = 2 – 0,4 = 1,60m.
Resposta da questão 5: [A]
Equação da circunferência de centro C (3, 4) e raio 6.
( x − 3 )2 + ( y − 3 )2 =
62
x 2 + y 2 − 6x − 8y + 25 − 36 = 0
x 2 + y 2 − 6x − 8y − 11 = 0
Resposta da questão 6: [A]
Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos:
π ⋅ r 2 = 900 ⋅ π ⇒ r = 30, portanto, a equação da circunferência será dada por:
(x − 0)2 + (y − 10)2 = 302 ⇒ x2 + y2 − 20y − 800 = 0
Resposta da questão 7: [D]
A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência x2 + y2 = 4.
Logo, sabendo que y < 0, temos f(x) = − 4 − x2 , com −2 < x < 2.
Resposta da questão 8: [B]
Considerando R o raio da maior circunferência, temos: 2πR = 70 ⇒ R =
70 35
=
2π
π
2
⎛ 35 ⎞
Portanto, a equação da circunferência será dada por: x2 + y2 = ⎜ ⎟ .
⎝ π ⎠
Resposta da questão 9: [A]
O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, 3) à reta 3x + 4y − 12 = 0, isto é,
| 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3 − 12 |
32 + 42
= 3.
Portanto, a equação da circunferência é (x − 5)2 + (y − 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 − 10x − 6y + 25 = 0.
Resposta da questão 10: [B]
Completando o quadrado, vem x2 − 4x + (y + 1)2 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22.
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, − 1) e seu raio é 2.
Resposta da questão 11: [A]
Sejam x2 + y2 − 6y + 5 = 0 e x2 + y2 − 6x − 2y = −6, respectivamente, as equações das circunferências λ1 e λ 2 .
Completando os quadrados, obtemos x2 + y2 − 6y + 5 = 0 ⇔ x2 + (y − 3)2 = 22.
Logo, C1 = (0, 3) é o centro da circunferência λ1.
Analogamente, vem x2 + y2 − 6x − 2y = −6 ⇔ (x − 3)2 + (y − 1)2 = 22, ou seja, C2 = (3, 1) é o centro da circunferência λ 2 .
1− 3
Portanto, a equação da reta que passa por C1 e C2 é dada por y − 3 =
⋅ (x − 0) ⇔ 3y − 9 = −2x ⇔ 2x + 3y = 9.
3−0
Resposta da questão 12: [C]
100x2 + 100y2 – 400x – 600y + 1075 = 0( ÷100)
x 2 + y 2 − 4x − 6y +
43
=0
4
x 2 − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 = −
(x − 2)2 + (y − 3)2 =
43
+4+9
4
9
4
Logo, o raio será dado por: r =
9 3
=
4 2
Calculando o comprimento do arco (altura h da professora): h =
2π ⋅
4
3
2 = 0,75π u.c.
Resposta da questão 13: [D]
Para que a equação represente uma circunferência, deve-se ter A = 1 e B = 0. Além disso, sabendo que o raio da
10
circunferência mede
= 5 u.c, vem: x2 + y2 + 2x − 4y + C = 0 ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 − C.
2
Logo, 5 − C = 52 ⇔ C = −20 e, portanto, A − B − C = 1 − 0 − (−20) = 21.
Resposta da questão 14: [A]
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado temos: (R − 8)2 + 122 = R2 ⇔ 16R = 208 ⇔ R = 13
Logo o centro é o ponto C(12,-5)
2
2
2
E a equação da circunferência (x – 12) + (y + 5) = 13
2
2
Ou seja, (x – 12) + (y + 5) = 169
Resposta da questão 15: [E]
x 2 + y 2 – 4x – 6y – 36 = 0
Centro : (2,3)
R 2 = a2 + b2 – c
R 2 = 4 + 9 + 36
R=7
2R = D = 14
A = πR 2
A = 3,14.72
A = 153,86
Resposta da questão 16: [C]
x 2 + y 2 − 8x − 8y + 28 < 0
CENTRO : C(4;4)
RAIO : Ti = a2 + b2 − R 2
28 = 16 +16 − R 2 → R = 2
Como y = x (passa pelo centro), então a área desejada será a região no int erior
da circunferência e acima da reta, por tanto a região é uma semicircunferência
de raio igual 2.
π.R 2 π.22
=
= 2.π = 6,28 m2 .
2
2
A12 placas = 12 . 6,28 = 75,36 m2 .
A=
Nlatas =
75,36
= 25,12 latas = 26 latas.
3
Resposta da questão 17: [D]
( )
C 4;3
R = r 2 +r
R = 2 2+2
(
2
) (
)
2
(
)
x −4 + y−3 = 2 2 +2
2
x 2 − 8x +16 + y 2 − 6y + 9 = 8 − 8 2 + 4
x 2 + y 2 − 8x − 6y +13 − 8 2 = 0
Resposta da questão 18: [D]
A equação geral da circunferência pode ser escrita como: (x − a)2 + (y − b)2 = R2
Desenvolvendo estes termos, tem-se: x2 + y2 − 2ax − 2bx + a2 + b2 − R2 = 0
Comparando a equação geral desenvolvida com a equação dada no enunciado, tem-se:
x2 + y 2 + 4x − 6y − 3 = 0
⎧a = −2
x2 + y 2 − 2 ⋅ ( −2x ) − 2 ⋅ (3y ) − 3 = 0 → ⎨
⎩b = 3
Igualando os últimos termos da equação geral desenvolvida com o último termo da equação da circunferência dada,
tem-se: a2 + b2 − R2 = −3 → (−2)2 + 32 + 3 = R2 → R2 = 16 → R = 4
Resposta da questão 19: [A]
Para determinar os pontos de intersecção entre duas circunferências devemos resolver um sistema com as suas
⎧⎪(x − 3)2 + (y − 2)2 = 16
⎧⎪ x 2 − 6x + y 2 − 4y = 3
equações: ⎨
⇔ ⎨
2
2
2
2
⎩⎪(x − 10) + (y − 2) = 9
⎩⎪ x − 20x + y − 4y = −95
Subtraindo a equação 2 da equação 1, temos: 14 x = 98 ⇒ x = 7
A única alternativa que tem como abscissa x = 7 é a [A].
Resposta da questão 20: [C]
A questão é puramente uma questão de vetores. Para resolvê-la, basta utilizar a regra do polígono, que diz que o vetor
soma de n vetores consecutivos é dada pela união entre o início do primeiro vetor com o final do último.
Assim, pela figura, o módulo do vetor soma é 2 cm.
Resposta da questão 21: [B]
Supondo que “para trás” signifique um deslocamento no sentido negativo, e “para frente” corresponda a um
deslocamento no sentido positivo de cada eixo, segue que a posição atingida pelo foguete é dada por
(6 + 2, 6 − 3, 7 + 11) = (8, 3,18).