Sobre um Método Geral para se obter Leis Fortes dos Grandes

Propaganda
Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Sobre um Método Geral para se obter
Leis Fortes dos Grandes Números.
por
Grace Kelly Souza Carmo Goulart
Brasília
2010
Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de matemática
Sobre um Método Geral para se obter
Leis Fortes dos Grandes Números.
por
Grace Kelly Souza Carmo Goulart
∗
Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília,
como parte dos requisitos para obtenção do grau de
MESTRE EM MATEMÁTICA
Brasília, 10 de agosto de 2010
Comissão Examinadora:
Prof. Ary Vasconcelos Medino - UnB - (Orientador)
Prof. Leandro Martins Cioletti - UnB - (Membro)
Profa . Sílvia Regina Costa Lopes - UFRGS - (Membro)
∗
A autora foi bolsista do CNPQ durante a elaboração deste trabalho.
Ao meu esposo Claudiney, minha
filha Yasmim e meus pais Wilson
e Eunice.
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer a Deus, que com sua infinita bondade, sempre
me dá mais do que mereço.
Ao meu esposo, pela paciência e ajuda em todos os momentos, não existem palavras
para agradecer tudo de bom que ele faz por mim, ele é muito mais que um companheiro,
é um amigo, um pai, um irmão. À minha filha, por ter aceitado minha ausência durante
todo o mestrado. Aos meus pais Wilson e Eunice, meus irmãos Gil César e Kadygia, pelo
apoio em todos os momentos, que sempre acreditaram em minha capacidade. Ao meu
sogro Osório e minha sogra Maria das Mercês, que me acolheram como uma filha. Aos
meus cunhados Cláudio Marzo, Claudiano e Cláudio Goulart.
Ao professor orientador Ary Vasconcelos Medino, pela paciência e ajuda, sem ele, não
teria conseguido desenvolver este trabalho. Aos membros da banca Leandro e Sílvia, pela
disponibilidade e pelas valiosas sugestões.
Aos meus colegas de turma do segundo semestre de 2008, Tarcísio e Weslley, por terem
me dado o apoio no início do semestre. Também aos colegas Bruno Nunes, Bruno César,
Eduardo, Thaynara e Wembesom, pela amizade e ajuda com as disciplinas. Aos queridos
amigos da turma do primeiro semestre de 2009, Elis, Hudson, Jairo, Joaby e Thiago Lima,
pela amizade e pelos estudos em conjunto.
Em especial as amigas, Mônica, Laura e Mariana, pela ajuda em tudo que precisei,
sempre dispostas em ajudar, e me dar apoio sempre. Aos colegas Renato e Andrey, pelo
incentivo, em procurar o professor Ary para me orientar, e pelas dúvidas tiradas com eles.
Aos professores que ministraram disciplinas em especial à professora Cátia e ao professor Marcelo. Ao professor Elves, pela amizade. Aos amigos que me deram apoio e
ajuda, Anyelle, Manuela, Thiago Gonçalves, Dayanne, Ricardo, Eunice, Kéllem ,Walter,
Luciene, Danielle, Kaliana, Regina e André Caldas.
Aos professores de graduação Fabiano, Luciana e Tonires, por me incentivarem em
fazer Mestrado e pela ajuda, sempre que precisei. Aos professores Iron, Jaqueline e Marta,
muito queridos, da época da graduação. Aos amigos da graduação, Flávio, Marta Regina,
Murilo e Marlise. Aos amigos de Jataí, Taís, Andrea, Marco Aurélio e Zilda, muito
obrigada pela amizade de todos vocês.
A todas as pessoas, que de alguma forma, me ajudaram a chegar aqui, nesta fase tão
importante em minha vida.
Enfim, agradeço ao CNPQ, pelo suporte financeiro.
iii
Resumo
Nesta dissertação, iremos apresentar um Método Geral para se obter Leis Fortes dos
Grandes Números e aplicá-lo em sequências de variáveis aleatórias Positivamente e Negativamente Associadas. Faremos uma comparação entre a demonstração de um teorema
clássico de Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias independentes e suas
versões para variáveis aleatórias Positivamente e Negativamente Associadas. ApresentareSn
, no caso de variáveis aleatórias
mos um resultado sobre a taxa de convergência de
n
Positivamente Associadas.
Palavras chave: Lei Forte dos Grandes Números, Variáveis Aleatórias Associadas, Taxa
de convergência.
iv
Abstract
In this dissertation we will present a General Method in order to obtain Strong Laws of
Large Numbers and we will apply it in sequences of positively and negatively associated
random variables . We will make a comparison among the proof of a classical Strong
Law of Large Numbers Theorem for independent random variables and its versions for
positively and negatively associated random variables. We will present a result on the
Sn
, in the case of positively associated random variables.
convergence rate of
n
Key words: Strong Law of Large Numbers, Associated Random Variables, Convergence
rate.
v
Sumário
Lista de Notações
1
Introdução
2
1 Um Método Geral para a Lei Forte dos Grandes Números
6
1.1
Um Método Geral e algumas Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Variáveis Aleatórias Positivamente Associadas e Lei Forte dos Grandes
Números
19
2.1
Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares . . 20
2.2
A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências . . . . . . . . . . . . . 29
2.3
Taxa de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Variáveis Aleatórias Negativamente Associadas e Lei Forte dos Grandes
Números
41
3.1
Definição e alguns Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências . . . . . . . . 48
Apêndice
53
A Demonstração do Teorema de Lei Forte dos Grandes Números para
v.a.’s Independentes
Bibliografia
53
56
Lista de Notações
v.a.’s - variáveis aleatórias.
L.F.G.N. - Lei Forte dos Grandes Números.
h(x) ց - h(x) é não-crescente.
h(x) ր - h(x) é não-decrescente.
PA - Positivamente Associadas (Definição pag. 20 ).
NA - Negativamente Associadas (Definição pag. 40 ).
Introdução
O conceito de variáveis aleatórias Positivamente Associadas (associadas, na terminologia original) foi introduzido na literatura estatística por Lehmann [22] em 1966. Em 1967,
devido à sua aplicação em Teoria da Confiabilidade, Esary et. al. [17] no artigo Association of Random Variables, with Applications, também introduziram a noção de associação.
O mesmo conceito foi usado em Mecânica Estatística sob o nome de desigualdades FKG,
iniciais dos autores Fortuin, Kasteleyn, Ginibre em 1971 [19]. Discussões extensas sobre
associação também podem ser encontradas em livros recentes e monografias, por exemplo
Cohen e Sackrowitz [14, 15]. Newman [23] foi o primeiro a estabelecer o Teorema do
Limite Central para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. Outros importantes
trabalhos do mesmo autor, individualmente ou em conjunto são Newman [24] e Newman
e Wright [25, 26]. Há uma melhoria significativa no número de contribuições do ponto de
vista de probabilidade e estatística. Algumas delas são representadas pelos artigos de Cox
e Grimmett [16], Birkel [4, 5, 6], Bagai e Prakasa Rao [2, 3], Roussas [28, 29, 30, 31, 32],
Yu [35] e Cai e Roussas [7, 8, 9, 10]. ∗
Este trabalho é baseado principalmente no artigo A General Method to the Strong
Law of Large Numbers and its Applications, dos autores Shanchao Yang, Chun Su e
Keming Yu [34]. O objetivo é descrever um resultado geral sobre a Lei Forte dos Grandes
Números e aplicá-lo em sequências de variáveis aleatórias Positivamente Associadas e
Negativamente Associadas. Para isso, consideraremos versões do seguinte teorema para
variáveis aleatórias independentes:
∗
As referências deste parágrafo, foram tiradas da Introdução de [20].
Introdução
3
Teorema 0.1. Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes
com EXn = 0 para cada n, e 0 < bn ↑ ∞. Seja ϕ : R −→ R+ uma função par e contínua
em R tal que
ϕ(x)
ր,
|x|
Então
n
1 X
Xj → 0
bn j=1
ϕ(x)
ց, quando |x| ↑ ∞ e
x2
∞
X
E(ϕ(Xn ))
n=1
ϕ(bn )
< ∞.
q.c.
Observe que no teorema acima, se considerarmos ϕ(x) = x2 e bn = n obtemos a 1a
Lei Forte de Kolmogorov, que é clássica nos estudos de probabilidade. Ela é um dos casos
mais práticos de Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias independentes.
Mas nem sempre é possível se ter a independência das variáveis aleatórias, por isso há
diversos estudos sobre variáveis aleatórias dependentes.
Em nosso trabalho, iremos tratar de um tipo de dependência. Apresentaremos versões
do teorema acima para variáveis aleatórias Positivamente Associadas e Negativamente
Associadas:
(i) Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente Associadas
com EXn = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, com lim ϕ(x) = ∞, e
x→∞
tal que
(a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e
(b)
ϕ(x)
ց, x → ∞ ou
x
ϕ(x)
ϕ(x)
րe
ց, x → ∞.
x
x2
Suponha que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos que satis∞
X
1
b2n
≤ c < ∞, para algum c > 1, para todo n ≥ 1, e que
u 2 (2i ) < ∞
faça 1 ≤
bn
i=1
X
Cov(Xi , Xj ). Adicionalmente suponha que
onde u(n) = sup
i≥1
∞
X
b−2
n
j:j−i≥n
< ∞,
n=1
Então
Sn
→ 0 q.c.
bn
∞
X
E(ϕ(Xn ))
n=1
ϕ(bn )
<∞ e
∞
X
n=1
b−2
n
b2j E(ϕ(Xj ))
< ∞.
max
1≤j≤n
ϕ(bj )
Introdução
4
(ii) Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas
com EXn = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, com lim ϕ(x) = ∞, e
x→∞
tal que
(a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e
ϕ(x)
ց, x → ∞ ou
x
ϕ(x)
ϕ(x)
րe
ց, x → ∞.
x
x2
Suponha que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos que satis(b)
faça 1 ≤
b2n
≤ c < ∞, para algum c > 1, para todo n ≥ 1, e que
bn
∞
X
E(ϕ(Xj ))
j=1
Então,
ϕ(bj )
∞
X
<∞ e
n−1 b−2
n
n=1
n
X
b2j E(ϕ(Xj )
< ∞.
ϕ(b
)
j
j=1
Sn
→ 0 q.c.
bn
No Capítulo 1, apresentaremos um método eficaz para se obter a Lei Forte dos Grandes
Números. Neste método, em nenhum momento vamos mencionar sobre a dependência das
variáveis aleatórias envolvidas. Este método é muito importante para o nosso trabalho,
pois ele é a chave principal das demonstrações dos teoremas sobre Lei Forte dos Grandes
Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas e Negativamente Associadas.
Em tal método, vamos considerar {bn } uma sequência não-decrescente de números posib2n
tivos com 1 ≤
≤ c < ∞, para algum c>1, e se para um dado ε > 0,
bn
∞
X
n=1
−1
n P
max |Sj | ≥ bn ε
1≤j≤n
≤ K < ∞,
onde K > 0 é uma constante, então
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
= 0 q.c.
Como implicações deste método, provaremos que ele também vale se {αj : j ≥ 1} é
não-decrescente e as condições
r X
n
∞
X
αj
< ∞,
E max |Sk | ≤
αj e
r
1≤k≤n
b
j
j=1
j=1
valem, para r > 0, e para bn = nα l(n), onde α > 0 e l(n) é uma sequência não-
Introdução
5
l(tn)
→ 1, quando t → ∞.
l(t)
b2n
Demonstraremos também uma versão deste método para o caso em que
é crescente e
bn
decrescente definida em (0, ∞) e lentamente variante, isto é,
ilimitada.
No Capítulo 2, Seção 2.1, apresentaremos a definição de variáveis aleatórias Positivamente Associadas e alguns resultados preliminares, como por exemplo o Lema 2.3 que
será de grande importância na demonstração do Teorema 2.5. Na Seção 2.2, demonstraremos o teorema da Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente
Associadas, que nada mais é do que uma versão do Teorema 0.1. Para tal demonstração,
precisaremos da noção de sequências equivalentes que é apresentada na Definição 2.7.
Após sua demonstração, faremos uma observação interessante, a qual iremos comparar
as demonstrações do teorema para variáveis aleatórias Positivamente Associadas com
o Teorema 0.1. Em seguida, vamos mostrar algumas consequências, como a prova de
um resultado para variáveis aleatórias independentes usando o teorema para variáveis
aleatórias Positivamente Associadas. Isto é possível pois variáveis aleatórias independentes são Positivamente Associadas. Finalmente, na Seção 2.3, faremos uma discussão
Sn
sobre a taxa de convergência de
.
n
No Capítulo 3, Seção 3.1, apresentaremos a definição de variáveis aleatórias Negativamente Associadas e alguns resultados preliminares, como o lema que nos auxiliará na
demonstração do Teorema 3.8. Para a demonstração deste lema, utilizamos resultados sobre variáveis aleatórias Negativamente Associadas que podem ser encontrados em [33, 11].
Na Seção 3.2, demonstraremos o Teorema 3.8, que como no Capítulo 2, é uma versão do
Teorema 0.1 para variáveis aleatórias Negativamente Associadas.
Capítulo
1
Um Método Geral para a Lei Forte dos
Grandes Números
Neste capítulo vamos apresentar um método eficaz para obter Leis Fortes dos Grandes
Números. Em tal método, precisamos apenas que {bn } seja uma sequência não-decrescente
b2n
≤ c < ∞, para algum c>1 e que
de números positivos com 1 ≤
bn
∞
X
n=1
−1
n P
max |Sj | ≥ bn ε
1≤j≤n
≤ K < ∞,
para ε > 0 e K > 0 (constante). Como consequências desse Método, demonstraremos dois
corolários. Além disso, vamos demonstrar uma versão deste método para uma sequência
!
b2n
é crescente e ilimitada .
de números positivos {bn } geometricamente crescente isto é,
bn
Em todo o trabalho, {Xj , j ≥ 1} denotará uma sequência de v.a.’s definidas no espaço
n
X
de probabilidade (Ω, F, P ) e Sn =
Xj .
j=1
Neste e nos próximos capítulos, vamos considerar, a menos que se diga o contrário,
b2n
que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos com 1 ≤
≤ c < ∞,
bn
para algum c > 1, para todo n ≥ 1.
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
7
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
O teorema a seguir é um método geral da Lei Forte dos Grandes Números. A grande
importância deste método é que não é necessário ter como hipótese a dependência ou
independência das v.a.’s envolvidas.
Teorema 1.1. (Método Geral) Suponha que {bn } satisfaça as condições acima e que
para um dado ε > 0,
∞
X
−1
n P
n=1
max |Sj | ≥ bn ε ≤ K < ∞,
(1.1)
1≤j≤n
onde K > 0, é uma constante. Então
max |Sj |
lim
1≤j≤n
Demonstração:
Vamos provar inicialmente que
∞
X
P
k=1
X
k −1
(2 )
2k ≤ n< 2k+1
=
2k+1
X−1
n=2k
Então,
∞
∞
X
X
=
P max |Sj | > ε b2k
k=1
1≤j≤2k
k=1
=
∞
X
k=1
+
2k ≤
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
k=1
< ∞. Observe que,
1
1
= k (2k+1 − 2k ) = 2 − 1 = 1.
k
2
2
X
(2 ) P
X
k −1
n<
k −1
2k+1
(2 ) P
2k ≤ n< 2k+1
n par
∞
X
(1.2)
q.c.
=0
bn
n→∞
X
k −1
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
max |Sj | > ε b2k +
1≤j≤2k
(2 ) P
2k ≤ n< 2k+1
n ímpar
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
Usando o fato que 2k ≤ n, temos
⇒
max |Sj | ≤ max |Sj | ⇒
max |Sj | > ε b2k ⊂ max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
1≤j≤n
P
Consequentemente,
1≤j≤n
1≤j≤2k
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
≤P
max |Sj | > ε b2k .
1≤j≤n
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
∞
X
P
k=1
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
≤
∞
X
k=1
+
X
8
k −1
(2 ) P
2k ≤ n< 2k+1
n par
∞
X
k=1
X
max |Sj | > ε b2k +
1≤j≤n
k −1
(2 ) P
2k ≤ n< 2k+1
n ímpar
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤n
Observe agora que:
2k ≤ n < 2k+1
2k + 1 ≤ n + 1 ≤ 2k+1
⇒
n+1
2k+1
≤
2
2
⇒
⇒
n+1
≤ 2k
2
n
n+1
n
<
≤ 2k . Usando a desigualdade
< 2k , podemos concluir que se
2
2
2
max |Sj | > ε b2k então max |Sj | > ε b n2 , daí
e logo,
1≤j≤n
1≤j≤n
P
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤n
Agora, usando a desigualdade
≤P
max |Sj | > ε b n2
1≤j≤n
.
n+1
≤ 2k , teremos
2
max |Sj | > ε b2k
⇒
1≤j≤n
max |Sj | > ε b n+1
1≤j≤n
2
e portanto
P
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤n
Assim,
∞
∞
X
X
≤
P max |Sj | > ε b2k
k=1
1≤j≤2k
k=1
+
b n2 ≤ bn ≤ c b n2
X
2k ≤ n< 2k+1
n par
∞
X
k=1
Observe que:
≤P
X
max |Sj | > ε b n+1
1≤j≤n
n −1
2
2k ≤ n< 2k+1
n ímpar
2
P
n −1
2
max |Sj | > ε b n2
1≤j≤n
P
⇒ b n2 ≥ c−1 bn ⇒ ε b n2 ≥ ε c−1 bn
max |Sj | > ε b n2 ⇒ max |Sj | > ε c−1 bn =⇒
1≤j≤n
+
max |Sj | > ε b n+1
1≤j≤n
então,
1≤j≤n
.
2
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
max |Sj | > ε b n2
1≤j≤n
P
Também temos,
max |Sj | > ε b n2
1≤j≤n
b n+1 ≤ bn+1 ≤ c b n+1
2
2
⊂
9
max |Sj | > ε c
−1
1≤j≤n
≤ P
bn
max |Sj | > ε c
=⇒
−1
bn .
1≤j≤n
⇒ b n+1 ≥ c−1 bn+1 ⇒ ε b n+1 ≥ ε c−1 bn+1
2
2
Desenvolvendo como acima, chegamos a:
P
max |Sj | > ε b n+1
1≤j≤n
2
Então:
∞
∞
X
X
≤ 2
P max |Sj | > ε b2k
k=1
1≤j≤2k
k=1
+ 2
≤ P
max |Sj | > ε c
1≤j≤n
X
−1
n P
2k ≤ n< 2k+1
n par
∞
X
k=1
−1
X
bn+1 .
max |Sj | > ε c
−1
1≤j≤n
−1
n P
2k ≤ n< 2k+1
n ímpar
bn +
−1
max |Sj | > ε c bn+1 .
1≤j≤n
Como bn é uma sequência não-decrescente de números positivos, segue que
bn ≤ bn+1 ⇒ ε c−1 bn ≤ ε c−1 bn+1 =⇒
max |Sj | > ε c−1 bn+1 ⇒
max |Sj | > ε c−1 bn =⇒
1≤j≤n
P
max |Sj | > ε c
−1
1≤j≤n
bn+1
Portanto,
∞
∞
X
X
≤ 2
P max |Sj | > ε b2k
k=1
1≤j≤2k
k=1
+ 2
k=1
≤ 2
≤ P
X
max |Sj | > ε c
1≤j≤n
−1
n P
2k ≤ n< 2k+1
n par
∞
X
∞
X
1≤j≤n
X
−1
n P
k=1 2k ≤ n< 2k+1
−1
n P
bn .
max |Sj | > ε c
1≤j≤n
2k ≤ n< 2k+1
n ímpar
X
−1
−1
bn +
−1
max |Sj | > ε c bn
1≤j≤n
−1
max |Sj | > ε c bn
1≤j≤n
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
∞
X
k=1
P
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
X
≤ 2
−1
10
max |Sj | > ε c bn +
2≤n<4
X
−1
−1
n P max |Sj | > ε c bn +
+ 2
1≤j≤n
4≤n<8
X
−1
−1
+ 2
n P max |Sj | > ε c bn + · · ·
n P
1≤j≤n
1≤j≤n
8≤n<16
= 2
∞
X
−1
n P
n=2
Pelo Lema de Borel-Cantelli,
P
max |Sj | > ε b2k
1≤j≤2k
−1
=0 ⇒ P
quando k → ∞.
−1
max |Sj | > ε c bn
1≤j≤n
< ∞ por (1.1).
Sj Sj max > ε = 0 ⇒ max → 0 q.c.
1≤j≤2k b2k
1≤j≤2k b2k
Sj Sj Além disso, max max ≤ max max pois como n ≤ 2k , temos
2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn
2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k bn
Sj Sj max ≤ max .
1≤j≤n bn
1≤j≤2k bn
Agora veja que
k−1
2
< n ⇒ b2k−1 ≤ bn
logo,
Sj Sj ⇒
max ≤ max 1≤j≤2k bn
1≤j≤2k b2k−1
Observe agora que:
Sj Sj ⇒ ≤
bn
b2k−1 Sj Sj .
max max ≤ max max 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn
2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k b2k−1
b2k−1 ≤ b2k ≤ c b2k−1 ⇒ c−1 b2k ≤ b2k−1 ⇒
Sj b k−1 ≤ c
2
Então,
Sj max max ≤ c
2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn
Sj ⇒
b k 2
Sj ≤ c max Sj .
max 1≤j≤2k b2k−1
1≤j≤2k b2k
Sj Sj max max = c max → 0 q.c (k → ∞).
1≤j≤2k b2k
2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k b2k
Sj Observe que max depende apenas do termo j, enquanto que
1≤j≤n bn
Sj max max 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
11
Sj depende dos termos n e j. Logo, max é uma subsequência de
1≤j≤n bn
portanto,
Sj max → 0 q.c (n → ∞).
1≤j≤n bn
Sj max max e
2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn
Como consequências do teorema acima, vamos demonstrar dois corolários.
Corolário 1.2. Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6) e que existam r > 0 (r ∈ R) e uma sequência {αj : j ≥ 1} não-decrescente
tais que
r X
n
∞
X
αj
E max |Sk | ≤
αj e
< ∞,
1≤k≤n
br
j=1
j=1 j
então
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
q.c.
=0
bn
Demonstração:
Pela desigualdade de Markov e a primeira condição acima, temos que
P
max |Sk | > bn ε
1≤k≤n
E
≤
≤
=
r
max |Sk |
1≤k≤n
1
εr
brn
1
εr
brn εr
n
X
αj
j=1
n
X
αj b−r
n .
j=1
Assim,
∞
X
n=1
−1
n P
max |Sk | > bn ε
1≤k≤n
≤
∞
X
n=1
n
−1
n
1 X
αj b−r
n
εr j=1
∞
n
1 XX
αj n−1 b−r
= r
n
ε n=1 j=1
n
∞
1 X −1 −r X
= r
αj
n bn
ε n=1
j=1
(1.3)
(1.4)
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
12
e como {αj : j ≥ 1} é não-decrescente, temos
n
X
(1.5)
αj = α1 + α2 + · · · + αn ≤ nαn
j=1
Substituindo (1.5) em (1.4) temos
n
∞
∞
∞
X
X
1 X −1 −r X
−1 −r
αj ≤
n bn nαn =
n bn
αn b−r
n < ∞, pela segunda condição.
εr n=1
n=1
n=1
j=1
Portanto, como
∞
X
−1
n P
n=1
max |Sk | > bn ε
1≤k≤n
< ∞,
pelo Teorema 1.1, temos que
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
= 0 q.c.
Corolário 1.3. Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6) e que para bn = nα l(n) as condições
r X
n
∞
X
αj
E max |Sk | ≤
αj e
< ∞,
1≤k≤n
br
j=1
j=1 j
valem, para r > 0, para algum α > 0 e onde l(n) é uma sequência não-decrescente definida
em (0, ∞) e lentamente variante, isto é,
l(tn)
→ 1, quando t → ∞. Então
l(t)
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
=0
q.c.
Para a demonstração deste corolário, vamos enunciar o seguinte resultado que pode
ser encontrado em [18].
Teorema 1.4. Seja Z > 0 lentamente variante. Então
p < −1 e diverge, se p > −1.
Z
x
∞
y p Z(y) dy converge, se
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
13
Demonstração do Corolário 1.3 :
α
r
j l(j)
Dado j ≥ 1, seja k(n) =
. Então, k(n) é lentamente variante, pois para
l(n)
todo t ≥ 1,
k(tn)
=
k(t)
l(n)
j α l(j)
· α
l(tn) j l(j)
r
=
l(n)
l(tn)
r
→ 1, quando t → ∞.
Assim, pelo teste da integral e o Teorema 1.4,
∞
X
n−1−αr k(n) < ∞, pois − 1 − αr < −1.
n=1
Portanto, como {bn } satisfaz as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6),
∞
X
n
−1
n=j
∞
X
j α l(j)
nα l(n)
r
≤
∞
X
n−1−αr k(n) ⇒
n=1
n−1 n−αr (l(n))−r ≤ Cj −αr (l(j))−r ⇒
n=j
∞
X
−r
n−1 b−r
n ≤ Cbj .
(1.6)
n=j
E assim,
∞ X
n
X
−1 −r
αj n−1 b−r
= 1−1 b−r
b2 (α1 + α2 )+
1 (α1 ) + 2
n
n=1 j=1
+ 3−1 b−r
3 (α1 + α2 + α3 ) + · · · +
+ k −1 b−r
k (α1 + α2 + · · · + αk ) + · · ·
= α1
∞
X
n
−1
b−r
n
+ α2
n=1
+ αk
=
∞
X
j=1
αj
∞
X
n=2
∞
X
n=k
∞
X
n
−1
b−r
n
+ α3
∞
X
n=3
n−1 b−r
n + ···
n−1 b−r
n
n=j
E usando (1.6)
∞ X
n
∞
X
X
−1 −r
αj n bn ≤ C
αj b−r
j < ∞, pela segunda condição.
n=1 j=1
j=1
n−1 b−r
n + ···+
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
14
Portanto, como de (1.3)
∞
X
n=1
temos que
−1
n P
∞
n
1 XX
max |Sk | > bn ε ≤ r
αj n−1 b−r
n ,
1≤k≤n
ε n=1 j=1
∞
X
−1
n P
n=1
e pelo Teorema 1.1,
max |Sk | > bn ε < ∞
1≤k≤n
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
= 0 q.c.
Agora, vamos verificar a validade do limite,
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
= 0 q.c.
quando bn for geometricamente crescente. Um exemplo de uma sequência geometricab2n
mente crescente, é o seguinte: bn = ρn para algum ρ > 1. Teremos que
é crescente,
bn
mas ilimitada. Mas antes, vamos enunciar e provar o seguinte
Lema 1.5. Sejam x1 , x2 , · · · , xn ≥ 0. Então, para 0 < r ≤ 1, vale
(x1 + x2 + · · · + xn )r ≤ xr1 + xr2 + · · · + xrn
Demonstração:
Se r = 1, temos que a desigualdade é satisfeita. Vamos então demonstrar para o caso
em que 0 < r < 1. Seja f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn . Vamos mostrar
que f (x1 ) ≤ 0 para todo x1 ≥ 0 e x2 , ..., xn constantes. Se n = 2, temos:
f (x1 ) = (x1 + x2 )r − xr1 − xr2 ,
x1 ≥ 0.
Observe que f (0) = xr2 − xr2 = 0 e f ′ (x1 ) = r(x1 + x2 )r−1 − rx1r−1 = r[(x1 + x2 )r−1 − x1r−1 ]
e como x1 + x2 ≥ x1 e 0 < r < 1 implica em −1 < r − 1 < 0, isto é, r − 1 < 0, então
(x1 + x2 )r−1 ≤ x1r−1 , para todo x1 ≥ 0. Portanto, f ′ (x1 ) < 0, ou seja, f (x1 ) é decrescente.
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
15
Logo, f (x1 ) ≤ f (0) = 0, para todo x1 ≥ 0. Logo, (x1 + x2 )r ≤ xr1 + xr2 . Se n = 3, temos:
f (x1 ) = (x1 + x2 + x3 )r − xr1 − xr2 − xr3 ,
x1 ≥ 0.
Observe que f (0) = (x2 +x3 )r −xr2 −xr3 ≤ xr2 +xr3 −xr2 −xr3 = 0 e ainda que f ′ (x1 ) = r(x1 +
x2 +x3 )r−1 −rx1r−1 = r[(x1 +x2 +x3 )r−1 −x1r−1 ]. Como x1 +x2 +x3 ≥ x1 e r −1 < 0, então
(x1 +x2 +x3 )r−1 ≤ x1r−1 , para todo x1 ≥ 0. Portanto, f ′ (x1 ) < 0, isto é, f (x1 ) é decrescente.
Então f (x1 ) ≤ f (0) ≤ 0, para todo x1 ≥ 0. Logo, (x1 + x2 + x3 )r ≤ xr1 + xr2 + xr3 . Suponha
agora por indução que o resultado seja válido para n termos. Então
f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn ≤ 0, para todo x1 ≥ 0.
Vamos provar que é válido para n + 1. Temos que,
f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn − xrn+1 .
Observe que f (0) = (x2 + · · · + xn + xn+1 )r − xr2 − · · · − xrn − xrn+1 ≤ 0, pela hipótese de
indução e que f ′ (x1 ) = r[(x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r−1 − x1r−1 ] < 0, para todo x1 ≥ 0,
logo f é decrescente. Então, f (x1 ) ≤ f (0) ≤ 0, para todo x1 ≥ 0. Portanto,
(x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r ≤ xr1 + xr2 + · · · + xrn + xrn+1 .
Teorema 1.6. Seja {bn } uma sequência não-decrescente de números positivos tal que
é crescente e ilimitada. Se sup E|Xj |r < ∞ para algum 0 < r < 1, então
b2n
bn
j≥1
max |Sj |
lim
n→∞
1≤j≤n
bn
=0
q.c.
Demonstração:
b2n
Como
é crescente e ilimitada, temos que para cada M > 0, existe no = no (M )
bn
b2n
≥ M, para todo n ≥ no . Sem perda de generalidade, vamos assumir que
tal que
bn
b2k
≥ M, para cada k > 1 então,
b2k−1
b2k ≥ M b2k−1 ≥ M 2 b2k−2 ≥ M 3 b2k−3 ≥ · · · ≥ M k b1 .
(1.7)
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
16
Pela Desigualdade de Markov, temos:
∞
X
P
max |Sj | > ε bn
≤
∞ E
X
r
max |Sj |
1≤j≤n
εr brn
r
∞
1 X −r
b E max |Sj | .
= r
1≤j≤n
ε n=1 n
r
Observe que a função f (x) = x para x ≥ 0 é estritamente crescente. Logo como |Sj | ≥ 0,
r
temos que max |Sj | = max |Sj |r , para todo r > 0, e assim,
n=1
1≤j≤n
1≤j≤n
n=1
1≤j≤n
∞
X
P
n=1
Afirmação 1.7. E
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
max |Sj |r
1≤j≤n
≤ E
∞
1 X −r
r
≤ r
b E max |Sj | .
1≤j≤n
ε n=1 n
n
X
|Xj |r
j=1
!
(1.8)
, onde 0 < r < 1.
r
r
De fato, seja J = min 1 ≤ jo ≤ n; max |Sj | = |Sjo | . Para J = jo , temos que
1≤j≤n
r
r
r
r
max |Sj | = |Sjo | e para 1 ≤ j < jo , max |Sj | > |Sj | .
! 1≤j≤n
n
n
X
X
r
r |Xj | = E E
|Xj |r
E E max |Sj | J
eE
1≤j≤n
1≤j≤n
j=1
E
j=1
max |Sj |r
1≤j≤n
≤ E
1≤j≤n
r E E |Sjo | J = jo
≤E
Então, se mostrarmos que
n
X
E
1≤j≤n
j=1
E
n
X
j=1
E
n
X
j=1
!
|Xj |r J = jo
n
X
j=1
=
⇔
!!
!!
r
Como E max |Sj |
1≤j≤n
!!
, então
J
r |Xj | J
r |Xj | J = jo
E |Sjo |r | J = jo ≤ E
|Xj |r
j=1
r E E max |Sj | J
≤E
r ≤E
E E max |Sj | J = jo
n
X
!!
⇔
para todo jo = 1, ..., n ⇔
para todo jo = 1, ..., n.
|Xj |r J = jo
!
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
17
completamos a prova da afirmação. Observe que:
E (|Sjo |r | J = jo ) = E (|X1 + · · · + Xjo |r | J = jo )
≤ E [(|X1 | + · · · + |Xjo |)r | J = jo ]
≤ E [(|X1 |r + · · · + |Xjo |r ) | J = jo ] pelo Lema 1.5
≤ E [(|X1 |r + · · · + |Xjo |r + |Xjo +1 |r + · · · + |Xn |r ) | J = jo ]
!
n
X
= E
|Xj |r J = jo ,
j=1
portanto,
E
r
max |Sj |
1≤j≤n
n
X
≤ E
P
n=1
|Xj |
j=1
finalizando a prova da afirmação.
Logo, voltando à equação (1.8),
∞
X
r
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
!
=
n
X
E (|Xj |r ) ,
j=1
n
∞
1 X −r X
E (|Xj |r ) .
b
εr n=1 n j=1
≤
Observe agora que
n
X
E (|Xj |r ) = E|X1 |r + E|X2 |r + · · · + E|Xn |r ≤ n sup E (|Xj |r ) < ∞
j≥1
j=1
por hipótese. Então, chamando N = sup E (|Xj |r ) , teremos:
j≥1
∞
X
P
n=1
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
∞
X
1
≤ r N
n b−r
n
ε
n=1
Veja que:
∞
X
X
n
b−r
n
n=1
k=1 2k−1 ≤n<2k
e então,
∞
X
n=1
=
1
X
P
n
b−r
n
+
3
X
n=2
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
n
b−r
n
+
7
X
n
b−r
n
+ ··· =
n=4
∞
NX
≤ r
ε k=1
∞
X
n b−r
n
n=1
X
n b−r
n .
2k−1 ≤n<2k
Temos agora que se n < 2k então n ≤ 2k e também, se 2k−1 ≤ n então b2k−1 ≤ bn , pois bn
1.1 Um Método Geral e algumas Consequências
é não-decrescente. Logo,
∞
X
P
n=1
18
1
1
≤
portanto,
bnr
b2rk−1
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
∞
NX
εr k=1
≤
X
2k b−r
2k−1
2k−1 ≤n<2k
Desenvolvendo o segundo somatório da desigualdade anterior, obtemos
X
22k−1
2k 2k−1 (2 − 1) = b−r
2k (2k − 2k−1 ) = b−r
= b−r
2k b−r
2k−1
2k−1
2k−1
2k−1
2k−1 ≤n<2k
2 b−r
22k−2 = 2 b−r
22(k−1)
2k−1
2k−1
=
e assim,
∞
X
P
n=1
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
De (1.7), M b2k−1 ≥ M k b1 e então,
b2k−1 ≥ M k−1 b1
⇒
1
b2rk−1
≤
∞
2N X −r
≤
b k−1 22(k−1)
εr k=1 2
1
(M k−1
b1 )r
⇒
b−r
≤ M −r(k−1) b−r
1
2k−1
o que implica em
∞
X
P
n=1
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
∞
X
2N b−r
1
≤
M −r(k−1) 22(k−1)
εr
k=1
k−1
∞ X
4
2N
=
.
(b1 ε)r k=1 M r
1
Finalmente, tomando M = 5 r , teremos
∞
X
n=1
P
max |Sj | > ε bn
1≤j≤n
∞ k−1
2N
4 16
2N X 4
=
1+ +
+ ···
≤
(b1 ε)r k=1 5
(b1 ε)r
5 25
2N
1
10N
2N
=
.5 =
<∞
=
4
r
r
(b1 ε) 1 − 5
(b1 ε)
(b1 ε)r
Portanto pelo Lema de Borel-Cantelli, obtemos:
Sj max → 0 q.c. (n → ∞)
1≤j≤n bn
Capítulo
2
Variáveis Aleatórias Positivamente
Associadas e Lei Forte dos Grandes
Números
Na terminologia original, variáveis aleatórias Positivamente Associadas eram chamadas
apenas de variáveis aleatórias Associadas. Este conceito, foi introduzido na literatura estatística por Lehmann [22] em 1966. Esary et. al. [17] em 1967, também introduziram
o conceito de associação apresentando vários resultados sobre variáveis aleatórias Positivamente Associadas e algumas aplicações em probabilidade e estatística. A motivação
destes autores decorreu da grande importância da Teoria da Confiabilidade. Por exemplo,
se assumirmos que os tempos de duração dos componentes de um determinado equipamento são variáveis aleatórias, as mesmas são independentes, mas em alguns casos é mais
interessante assumir algum tipo de dependência entre as variáveis, pois a falha de um determinado componente pode afetar o desempenho dos outros. Então é necessário propor
um modelo para a confiabilidade, de um sistema que resulta em componentes com um
tipo de dependência.
Em Mecânica Estatística, este mesmo conceito foi usado sob o nome de desigualdades
FKG, tirado das iniciais dos autores Fortuin, Kasteleyn, Ginibre em 1971 [19].
Este capítulo está dividido em três seções, na primeira definiremos variáveis aleatórias
Positivamente Associadas e iremos provar alguns resultados preliminares. Na segunda
seção, aplicaremos o Teorema 1.1 para provar a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. Em seguida, apresentaremos algumas implicações do referido teorema. Na terceira seção, iremos discutir sobre a taxa de convergência
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
de
20
Sn
.
n
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
Nesta seção vamos definir variáveis aleatórias Positivamente Associadas e demonstrar
dois lemas, onde o segundo, é de grande importância para a demonstração do teorema da
próxima seção.
Definição 2.1. As v.a.’s X1 , ..., Xn são ditas Positivamente Associadas (PA) se para cada
n e f, g : Rn −→ R crescentes em cada coordenada
Cov(f (X1 , X2 , ..., Xn ), g(X1 , X2 , ..., Xn )) ≥ 0,
sempre que existir a covariância.
Lema 2.2. Sejam {Xj , 1 ≤ j ≤ n} variáveis aleatórias Positivamente Associadas, com
EXj = 0 e EXj2 < ∞. Então
E
max
1≤j≤n
Sj2
≤ E(Sn2 )
onde, Sn = X1 + · · · + Xn .
Demonstração:
2
2
Seja J = min 1 ≤ jo ≤ n; max Sj = Sjo . Para J = jo , temos que max Sj2 = Sj2o e
1≤j≤n
1≤j≤n
para 1 ≤ j < jo , max Sj2 > Sj2 . Como E
1≤j≤n
2
E E(Sn | J) , então
E
max
1≤j≤n
Sj2
≤
E(Sn2 )
max Sj2
1≤j≤n
2 = E E max Sj J
e E(Sn2 ) =
1≤j≤n
2 ⇔ E E max Sj J
≤ E E(Sn2 | J) ⇔
1≤j≤n
2 E E max Sj J = jo
≤ E E(Sn2 | J = jo ) para todo jo = 1, ..., n ⇔
1≤j≤n
E E Sj2o J = jo
≤ E E(Sn2 | J = jo ) para todo jo = 1, ..., n.
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
21
Então, se mostrarmos que
2 E Sjo J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ),
o lema ficará provado. Observe que:
E Sj2o J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ) ⇔
E (X1 + · · · + Xjo )2 | J = jo ≤ E (X1 + · · · + Xjo + · · · + Xn )2 | J = jo ⇔
jo
X
E(Xi2 | J = jo ) + 2
i=1
+ E(X1 Xjo
+ E(X2 Xjo
≤
jo
X
+
+
+
+
+
n
X
| J = jo ) +
n
X
E(Xi2 | J = jo )+
i=jo +1
E(X1 X2 | J = jo ) + E(X1 X3 | J = jo ) + · · · +
E(X1 Xjo | J = jo ) + · · · + E(X1 Xn | J = jo ) +
E(X2 X3 | J = jo ) + E(X2 X4 | J = jo ) + · · · +
E(X2 Xjo | J = jo ) + · · · + E(X2 Xn | J = jo ) + · · · +
E(Xjo −1 Xjo | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xn | J = jo ) +
E(Xjo Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo Xn | J = jo ) + · · · +
E(Xn−1 Xn | J = jo )
⇔
i=1
+2
+
E(Xi2
E(X1 X2 | J = jo ) + E(X1 X3 | J = jo ) + · · · +
| J = jo ) + E(X2 X3 | J = jo ) + E(X2 X4 | J = jo ) + · · · +
| J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xjo | J = jo ) ≤
i=jo +1
E(Xi2 | J = jo ) + 2
E(X1 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(X1 Xn | J = jo ) +
+ E(X2 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(X2 Xn | J = jo ) + · · · +
+ E(Xjo −1 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xn | J = jo ) +
+ E(Xjo Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo Xn | J = jo ) + · · · +
+ E(Xn−1 Xn | J = jo ) ≥ 0.
Na expressão acima, observe que E(Xi2 | J = jo ) ≥ 0 e logo,
n
X
E(Xi2 | J = jo ) ≥ 0
i=jo +1
e temos E(Xi Xk | J = jo ) = Cov[(Xi , Xj ) | J = jo ] ≥ 0, pois as variáveis aleatórias {Xj }
são Positivamente Associadas. Portanto, todas as parcelas entre chaves, da expressão
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
22
acima, são maiores que ou iguais a zero. Logo,
2 E Sjo J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ),
e assim,
E
max
1≤j≤n
Sj2
≤ E(Sn2 )
Lema 2.3. Sejam {Xj , 1 ≤ j ≤ n} variáveis aleatórias Positivamente Associadas, com
∞
X
X
1
2
Cov(Xi , Xj ).
EXj = 0 e EXj < ∞. Suponha que
u 2 (2i ) < ∞, onde u(n) = sup
i≥1
i=1
j:j−i≥n
Então existe uma constante C, que não depende de n, tal que
E
max
1≤j≤n
Sj2
≤C n
max
1≤j≤n
EXj2
+1
(2.1)
Demonstração:
Para cada n ≥ 1 dado, vamos definir:
Yj =
(
Xj se 1 ≤ j ≤ n
0 se
j>n
onde Y1 , ..., Yn têm as mesmas estruturas de dependência que X1 , ..., Xn . Denotaremos por
k+n
X
1
||Y ||2 = (EY 2 ) 2 , Sk (n) =
Yi e σm = sup ||Sk (m)||2 .
k≥0
i=k+1
Afirmação 2.4. σ12 = max E(Xj2 ).
1≤j≤n
De fato,

1
σ1 = sup ||Sk (1)||2 = sup[E(Sk (1))2 ] 2 = sup E
k≥0
k≥0
k≥0
Chamando j = k + 1, teremos que j ≥ 1 e logo
1
k+1
X
i=k+1
!2  12
1
Yi  = sup(E(Yk+1 )2 ) 2 .
k≥0
1
σ1 = sup(E(Yj )2 ) 2 = sup (E(Xj )2 ) 2 .
j≥1
1≤j≤n
(2.2)
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
23
1
Como a função f (x) = x 2 é estritamente crescente e EXj2 ≥ 0, segue que
Então, σ1 =
12
1
= sup (E(Xj )2 ) 2 .
sup (E(Xj ) )
2
1≤j≤n
1≤j≤n
12
sup (E(Xj ) )
e como sup (E(Xj )2 ) é assumido, segue que
2
1≤j≤n
1≤j≤n
σ12 = max (E(Xj )2 ),
1≤j≤n
completando a prova da Afirmação 2.4.
Seja agora l ≥ 1, temos que
(2.3)
Sk (2m) = Sk (m) + Sk+m+l (m) + Sk+m (l) − Sk+2m (l).
De fato, note que
Sk+m (l) + Sk+m+l (m) − Sk+2m (l) =
=
k+m+l
X
Yi +
Yi −
i=k+m+1
i=k+m+l+1
k+2m+l
X
k+2m+l
X
Yi −
i=k+m+1
=
k+2m+l
X
k+2m
X
k+2m+l
X
Yi
i=k+2m+1
Yi
i=k+2m+1
Yi .
i=k+m+1
Assim,
Sk (2m) =
k+2m
X
Yi = Yk+1 + Yk+2 + · · · + Yk+m + Yk+m+1 + · · · + Yk+2m
i=k+1
=
k+m
X
i=k+1
Yi +
k+2m
X
Yi
i=k+m+1
= Sk (m) + Sk+m (l) + Sk+m+l (m) − Sk+2m (l).
Portanto, de (2.3), segue que:
||Sk (2m)||2 = ||Sk (m) + Sk+m+l (m) + Sk+m (l) − Sk+2m (l)||2
≤ ||Sk (m) + Sk+m+l (m)||2 + ||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2
onde a última expressão segue da desigualdade de Minkowski. Observe agora que,
(2.4)
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
= ||Sk+2m (l)||2
Yi ≤
k+2m+l
X
i=k+2m+1
2
k+2m+l
X
||Yi ||2 ≤
i=k+2m+1
k+2m+l
X
i=k+2m+1
1
= l sup ||Yj ||2 = l sup(EYj2 ) 2 = l σ1
j≥1
24
sup ||Yj ||2
j≥1
de (2.2)
j≥1
Analogamente,
||Sk+m (l)||2
k+m+l X
= Yi ≤
i=k+m+1
2
k+m+l
X
||Yi ||2 ≤
i=k+m+1
k+m+l
X
i=k+m+1
sup ||Yj ||2
j≥1
= l sup ||Yj ||2 = l σ1 .
j≥1
Logo, temos:
||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2 ≤ 2l σ1 .
(2.5)
Vamos agora desenvolver,
2
E Sk (m) + Sk+m+l (m) =
= E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 + 2E(Sk (m)Sk+m+l (m))
(2.6)
Observe que,
2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) = 2 E
k+m
X
k+2m+l
X
Yi Yj
i=k+1 j=k+m+l+1
k+m
X
= 2
k+2m+l
X
!
E(Yi Yj ).
i=k+1 j=k+m+l+1
Como Cov(Yi , Yj ) = E(Yi Yj ) − E(Yi ) E(Yj ) = E(Yi Yj ), pois, por hipótese, EXj = 0 e
da definição da variável aleatória Yj , segue que EYj = 0. Então,
k+m
X
2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) = 2
k+2m+l
X
Cov(Yi , Yj )
i=k+1 j=k+m+l+1
≤ 2
k+m
X
∞
X
Cov(Yi , Yj )
i=k+1 j=k+m+l+1
onde a última desigualdade é verdadeira pois Cov(Yi , Yj ) ≥ 0 por hipótese. Observe
agora que j − i ≥ k + m + l + 1 − (k + m) = l + 1 ≥ l, logo
∞
∞
∞
X
X
X
Cov(Yi , Yj ) =
Cov(Yi , Yj )
Cov(Yi , Yj ) ≤ sup
j=k+m+l+1
j:j−i≥l
= sup
i≥1
∞
X
j:j−i≥l
i≥1
Cov(Xi , Xj )
j:j−i≥l
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
25
onde a última igualdade segue da definição da variável aleatória Yj . Então, como u(l) =
∞
X
X
sup
Cov(Xi , Xj ), segue que
Cov(Yi , Yj ) ≤ u(l). Logo,
i≥1
j:j−i≥l
j=k+m+l+1
2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) ≤ 2
k+m
X
u(l) = 2m u(l).
(2.7)
i=k+1
Observe agora que, E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 = ||Sk (m))||22 + ||Sk+m+l (m))||22 e temos
2
2
σm = sup ||Sk (m)||2
= sup ||Sk (m)||22 , pois ||Sk (m)||2 ≥ 0 e a função f (x) = x2 é
k≥0
k≥0
crescente para x ≥ 0. Logo,
2
||Sk (m)||22 ≤ sup ||Sk (m)||22 = σm
k≥0
e da mesma forma, temos também que
2
||Sk+m+l (m)||22 ≤ σm
pois chamando k+m+l=q, temos
2
σm
=
sup ||Sq (m)||2
q≥0
2
= sup ||Sq (m)||22 . Então,
q≥0
2
2
2
E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 ≤ σm
+ σm
= 2 σm
(2.8)
Portanto, substituindo (2.7) e (2.8) em (2.6), obtemos:
2
E(Sk (m) + Sk+m+l (m))2 ≤ 2 σm
+ 2 m u(l)
Voltando agora à expressão (2.4):
||Sk (2m)||2 ≤ ||Sk (m) + Sk+m+l (m)||2 + ||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2
1
≤ [E(Sk (m) + Sk+m+l (m))2 ] 2 + 2 l σ1
1
2
≤ [2 σm
+ 2 m u(l)] 2 + 2 l σ1
de (2.5)
de (2.9)
1
1
≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 + 2 l σ1
1
1
1
2
pois pelo Lema (1.5), [2 σm
+ 2 m u(l)] 2 ≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 . Logo,
1
1
σ2m = sup ||Sk (2m)||2 ≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 + 2 l σ1 .
k≥0
(2.9)
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
1
1
26
1
Chamando l = [m 3 ] (função maior inteiro) e sabendo que [m 3 ] ≤ m 3 , teremos
1
1
1
1
σ2m ≤ 2 2 σm + [2 m u([m 3 ])] 2 + 2 m 3 σ1 .
Tomando m = 2r−1 , segue que
1
σ2r ≤ 2 2 σ2r−1 + [2r u([2
1
= 2 2 σ2r−1 + 2 . 2
r−1
3
r−1
3
1
])] 2 + 2 . 2
r
r−1
3
1
σ1 + 2 2 u 2 ([2
σ1
r−1
3
]).
Observe agora que, se substituirmos σ2r−1 na equação acima, teremos:
1
1
σ2r ≤ 2 2 {2 2 σ2r−2 + 2 . 2
1
r−2
3
1
1
= 2 2 2 2 σ2r−2 + 2 2 2 . 2
r
1
+ 2 2 u 2 ([2
1
r−1
3
σ1 + 2
r−2
3
r−1
2
1
u 2 ([2
1
σ1 + 2 2 2
r−1
2
r−2
3
])} + 2 . 2
1
u 2 ([2
r−2
3
r−1
3
r
1
σ1 + 2 2 u 2 ([2
]) + 2 . 2
r−1
3
r−1
3
])
σ1 +
])
1
1
= 2 2 2 2 σ2r−2 + 2 σ1 [2 2 2
r−2
3
+2
r−1
3
r
1
] + 2 2 {u 2 ([2
r−2
3
1
]) + u 2 ([2
r−1
3
])}
se substituirmos agora σ2r−2 na equação acima:
1
1
1
2
σ2r ≤ 2 2 2 2 2 2 σ2r−3 + 2 σ1 [2 2 2
1
+ u 2 ([2
r−2
3
1
]) + u 2 ([2
r−1
3
r−3
3
1
+ 22 2
r−2
3
+2
r−1
3
r
1
] + 2 2 {u 2 ([2
r−3
3
])+
])}.
Repetindo este processo, chegaremos a:
r
σ2r ≤ 2 2 σ1 + 2 σ1 [2
r
r−1
2
+2
1
r−2
2
1
2
23 + · · · + 22 2
1
1
r−1−i
2
i
3
1
+ 2 2 {u 2 ([20 ]) + u 2 ([2 3 ]) + · · · + u 2 ([2
r
2
≤ 2 σ1 + 2 σ1
r−1
X
2
2 +2
r
2
r−1
X
1
r−3
3
r−3
3
1
+ 22 2
1
r−2
3
]) + u 2 ([2
+2
r−2
3
i
1
2
j
3
u ([2 ]) =
i=0 j=3i
=
2
X
j=0
∞
X
1
2
j
3
u ([2 ]) +
5
X
1
2
j
3
u ([2 ]) +
j=3
1
j
1
j
u 2 ([2 3 ])
j=0
≥
r−1
X
u 2 ([2 3 ])
j=0
pois u(n) ≥ 0. Então, voltando à expressão (2.10):
8
X
j=6
1
r−1
3
])}
(2.10)
u 2 ([2 3 ])
Observe que:
∞ 3i+2
X
X
]+
]) + u 2 ([2
i=0
i=0
r−1
3
1
j
u 2 ([2 3 ]) + · · ·
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
r
2
σ2r ≤ 2 σ1 + 2 σ1
r−1
X
2
r−1−i
2
i
3
2 +2
r
2
i=0
"
r
= σ1 2 2 + 2 . 2
r−1
2
∞ 3i+2
X
X
r−1
X
i
i
#
r
2− 2 + 3 + 2 2
∞ h
X
1
3i+1
3
1
u 2 ([2i ]) + u 2 ([2
1
]) + u 2 ([2
i=0
Como u(n) é decrescente com respeito a n,
3i+1
3
j
1
u 2 ([2 3 ])
i=0 j=3i
i=0
[2i ] ≤ [2
27
] ⇒ u([2i ]) ≥ u([2
3i+1
3
1
1
]) ⇒ u 2 ([2i ]) ≥ u 2 ([2
3i+1
3
3i+2
3
i
]) .
])
e o mesmo ocorre em
1
1
u 2 ([2i ]) ≥ u 2 ([2
3i+2
3
]).
Portanto,
"
r
2
σ2r ≤ σ1 2 + 2
∞
X
Por hipótese,
1
2
r+1
2
r−1
X
− 6i
2
i=0
#
r
+ 22 . 3
i
u (2 ) ≤ C1 < ∞, e observe também que
r−1
X
− 6i
2
≤
i=0
"
r
2
σ2r ≤ σ1 2 + 2
∞
X
1
u 2 (2i ).
i=0
i=0
Como
∞
X
r+1
2
∞
X
i=0
− 6i
2
#
∞
X
i
2− 6 , logo
i=0
r
+ 3 C1 2 2 .
i
2− 6 ≤ C2 < ∞, segue que
i=0
i
h i
h r
r 1
r
r
1
r
σ2r ≤ σ1 2 2 + 2 2 2 2 C2 + 3 C1 2 2 = 2 2 σ1 1 + 2 2 C2 + 3 C1 ≤ Co 2 2 (σ1 + 1)
n
o
1
2
onde Co = max 1 + 2 C2 , 3 C1 . Portanto, como ambos os membros da desigualdade
são maiores que ou iguais a zero,
r
σ2r ≤ Co 2 2 (σ1 + 1) ⇒
σ22r ≤ Co2 2r (σ1 + 1)2 = Co2 2r (σ12 + 1 + 2σ1 )
= Co2 2r (σ12 + 1) + Co2 2r 2σ1
2σ1
= Co2 2r (σ12 + 1) + Co2 2r 2
σ2 + 1
σ1 + 1 1
r
2
2
2 2σ1
.
= 2 (σ1 + 1) Co + Co 2
σ1 + 1
2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares
Como
28
2σ1
≤ 1, segue que
+1
σ12
σ22r ≤ 2r (σ12 + 1) 2 Co2 = C̄ 2r (σ12 + 1)
(2.11)
onde C̄ = 2 Co2 . Sabemos que para cada n ≥ 1 dado, existe um inteiro positivo r ≥ 0 tal
que, 2r ≤ n < 2r+1 . Então, E(Sn )2 ≤ E(S2r+1 )2 . De fato, observe que
E(Y1 + · · · + Yn )2 ≤ E(Y1 + · · · + Yn + · · · + Y2r+1 )2 ⇔
n
X
E(Yi )2 + 2[(E Y1 Y2 + E Y1 Y3 + · · · + E Y1 Yn )+
i=1
≤
+ (E Y2 Y3 + E Y2 Y4 + · · · + E Y2 Yn ) + · · · + E Yn−1 Yn ] ≤
r+1
n
2
X
X
2
E(Yi ) +
E(Yi )2 +
i=1
i=n+1
+ 2[(E Y1 Y2 + E Y1 Y3 + · · · + E Y1 Yn + · · · + E Y1 Y2r+1 )+
+ (E Y2 Y3 + E Y2 Y4 + · · · + E Y2 Yn + · · · + E Y2 Y2r+1 ) + · · · +
+ (E Yn Yn+1 + · · · + E Yn Y2r+1 ) + (E Yn+1 Yn+2 + · · · + E Yn+1 Y2r+1 ) + · · · +
+ E Y2r+1 −1 Y2r+1 ]
r+1
2
X
⇔
E(Yi )2 + 2[(E Y1 Yn+1 + · · · + E Y1 Y2r+1 )+
i=n+1
+ (E Y2 Yn+1 + · · · + E Y2 Y2r+1 ) + · · · + (E Yn Yn+1 + · · · + E Yn Y2r+1 )+
+ (E Yn+1 Yn+2 + · · · + E Yn+1 Y2r+1 ) + · · · + E Y2r+1 −1 Y2r+1 ] ≥ 0.
Temos que E(Yi )2 ≥ 0 e logo,
r+1
2
X
E(Yi )2 ≥ 0 e como E(Yi Yj ) = Cov(Yi , Yj ) ≥ 0, segue
i=n+1
que todas as parcelas entre os colchetes, da equação acima, são maiores que ou iguais a
zero.
Então,
E(Sn )2 ≤ E(S2r+1 )2 = E(So (2r+1 ))2 ≤ sup E(Sk (2r+1 ))2 = σ22r+1
k≥0
r+1
≤ C̄ 2
(σ12
+ 1)
= C̄ 2r . 2 (σ12 + 1).
por (2.11)
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
29
Como 2r ≤ n e chamando 2 C̄ = C, temos:
E(Sn )2 ≤ C n (σ12 + 1)
onde C é uma constante que não depende de n. Logo, pelo Lema 2.2
E
max
1≤j≤n
Sj2
≤
E(Sn2 )
≤C n
(σ12
+ 1) = C n
max
1≤j≤n
E(Xj2 )
+ 1
onde a última igualdade segue da Afirmação 2.4.
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
Nesta seção, iremos demonstrar o teorema sobre a Lei Forte dos Grandes Números
para variáveis aleatórias Positivamente Associadas, utilizando resultados sobre sequências equivalentes, Lema de Kronecker, Desigualdade de Chebyschev e o Método Geral
do Capítulo 1. Apresentaremos um corolário que altera algumas hipóteses do teorema
sobre a Lei Forte dos Grandes Números. Em seguida, provaremos que variáveis aleatórias
independentes são Positivamente Associadas, para depois demonstrar um resultado para
variáveis aleatórias independentes, usando o referido corolário.
Teorema 2.5. Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente
Associadas com E(Xn ) = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, tal que
lim ϕ(x) = ∞, e
x→∞
(a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e
(b)
ϕ(x)
ց, x → ∞ ou
x
ϕ(x)
ϕ(x)
րe
ց, x → ∞.
x
x2
Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo do Capítulo 1 (pag. 6) e
X
Cov(Xi , Xj ) satisfaz as condições do Lema 2.3 (pag. 22). Adique u(n) = sup
i≥1
j:j−i≥n
cionalmente suponha que
∞
X
b−2
n < ∞,
(2.12)
n=1
∞
X
E(ϕ(Xn ))
n=1
ϕ(bn )
<∞ e
(2.13)
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
∞
X
n=1
Então
bn−2
30
b2j E(ϕ(Xj ))
< ∞.
max
1≤j≤n
ϕ(bj )
Sn
−→ 0 q.c.
bn
(2.14)
(2.15)
Observação 2.6. Pela Desigualdade de Chebyschev, temos
∞
2
X
b2j E(ϕ(Xj ))
−2
b
P
(|X
|
>
b
)
≤
b
max
b−2
max
j
j
j
n
n
1≤j≤n
1≤j≤n
ϕ(bj )
n=1
n=1
∞
X
e de I[|Xj |≤bj ] ≤ 1,
∞
X
∞
2
X
b
E
ϕ(X
)
I
b2j E(ϕ(Xj ))
j
[|X
|≤b
]
j
j
j
−2
bn max
≤
.
b−2
max
n
1≤j≤n
1≤j≤n
ϕ(bj )
ϕ(bj )
n=1
n=1
Então como a condição (2.14) implica nas condições
∞
X
n=1
∞
X
n=1
2
b−2
n max bj P (|Xj | > bj ) < ∞ e
b−2
n
1≤j≤n
b2j E ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ]
< ∞.
max
1≤j≤n
ϕ(bj )
(2.16)
(2.17)
podemos substituí-las no Teorema 2.5.
Para a demonstração deste teorema, vamos precisar de alguns resultados, que podem
ser encontrados em [13].
Definição 2.7. Duas sequências de variáveis aleatórias {Xn } e {Zn } são ditas equiva∞
X
lentes quando
P (Xn 6= Zn ) < ∞.
n=1
Teorema 2.8. Se {Xn } e {Zn } são equivalentes, então
n
1 X
ainda, se bn ↑ ∞ então
(Xj − Zj ) → 0 q.c.
bn j=1
∞
X
(Xn − Zn ) converge q.c. Mais
n=1
Lema de Kronecker. Sejam {xk } uma sequência de números reais, {ak } uma sequência
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
de números reais positivos e ak ↑ ∞. Se
∞
X
xn
n=1
an
31
< ∞ então
n
1 X
xj → 0.
an j=1
Demonstração do Teorema 2.5 :
Inicialmente, observe que em (b), ϕ é não-decrescente em [0, ∞), isto é, se 0 < x <
y então, ϕ(x) ≤ ϕ(y), pois, caso contrário, suponha que exista 0 < x < y tal que
1
ϕ(y)
ϕ(x)
ϕ(x)
1
<
, ou seja,
é não-crescente,
ϕ(x) > ϕ(y). Como 0 < < , segue que
y
x
y
x
x
contrariando a primeira hipótese em (b).
Seja agora Zj := Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] . Temos que {Xj } e {Zj } são
sequências equivalentes. De fato,
∞
X
j=1
P (Xj 6= Zj ) =
∞
X
P (|Xj | > bj ) ≤
j=1
∞
X
E(ϕ(Xj ))
j=1
ϕ(bj )
< ∞,
pela hipótese (2.13),
onde, na penúltima desigualdade, usamos a Desigualdade de Chebyschev, pois ϕ é não∞
X
decrescente em [0, ∞) em (a) e (b). Então, como
P (Xj 6= Zj ) < ∞ segue que {Xj }
j=1
n
1 X
e {Zj } são sequências equivalentes, e logo, pelo Teorema 2.8,
(Xj − Zj ) → 0 q.c.
bn j=1
n
1 X
Zj → 0 q.c., o teorema ficará provado.
Assim, se mostrarmos que
bn j=1
Observe que:
n
n
n
1 X
1 X
1 X
Zj =
EZj +
(Zj − E Zj ).
bn j=1
bn j=1
bn j=1
n
1 X
Afirmação 2.9.
E(Zj ) → 0.
bn j=1
ϕ(x)
ց, então sempre que |Xj | ≤ bj ,
x
ϕ(bj )
ϕ(|Xj |)
|Xj |
ϕ(|Xj |)
|Xj |
ϕ(Xj )
temos
≤
e assim,
≤
e como ϕ é par,
≤
. Observe
bj
|Xj |
bj
ϕ(bj )
bj
ϕ(bj )
agora que:
|Zj | = |Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] | ≤ |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ]
= |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj (I[Xj <−bj ] + I[Xj >bj ] ) = |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ]∪[Xj >bj ]
= |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] .
De fato, se ϕ(x) satisfaz a condição (a), isto é,
Então,
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
32
|EZj | ≤ E|Zj | ≤ E(|Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] ) = E(|Xj |I[|Xj |≤bj ] ) + bj E(I[|Xj |>bj ] )
|Xj |
= bj E
I[|Xj |≤bj ] + bj P (|Xj | > bj )
bj
ϕ(Xj )
Pela Desigualdade de Chebyschev, temos que P (|Xj | > bj ) ≤ E
logo,
ϕ(bj )
|Xj |
ϕ(Xj )
|EZj | ≤ bj E
I[|Xj |≤bj ] + bj E
bj
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
ϕ(Xj )
I[|Xj |≤bj ] + bj E
≤ bj E
ϕ(bj )
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
ϕ(Xj )
+ bj E
≤ bj E
ϕ(bj )
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
= 2 bj E
.
ϕ(bj )
ϕ(x)
ր, então sempre que bj < |Xj |,
Agora, se ϕ(x) satisfaz a condição (b), ou seja,
x
ϕ(bj )
|Xj |
ϕ(|Xj |)
ϕ(Xj )
segue
o que implica em
. Então,
≤
≤
bj
|Xj |
bj
ϕ(bj )
Zj = Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ]
≤ Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ]
= Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ]
|E Zj | ≤ |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )| + |E(bj I[|Xj |>bj ] )| = |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )| + bj P (|Xj | > bj )
Observe que:
I[|Xj |>bj ] = 1 − I[|Xj |≤bj ] ⇒ Xj I[|Xj |>bj ] = Xj − Xj I[|Xj |≤bj ] ⇒
E(Xj I[|Xj |>bj ] ) = E Xj − E(Xj I[|Xj |≤bj ] ) ⇒
|E(Xj I[|Xj |>bj ] )| = |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )|.
Logo,
(2.18)
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
33
|EZj | ≤ |E(Xj I[|Xj |>bj ] )| + bj P (|Xj | > bj ) ≤ E(|Xj |I[|Xj |>bj ] ) + bj E
ϕ(Xj )
|Xj |
I[|Xj |>bj ] + bj E
= bj E
bj
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
ϕ(Xj )
I[|Xj |>bj ] + bj E
≤ bj E
ϕ(bj )
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
ϕ(Xj )
≤ bj E
+ bj E
ϕ(bj )
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
.
= 2 bj E
ϕ(bj )
ϕ(Xj )
ϕ(bj )
Portanto, temos que:
|EZj | ≤ 2 bj E
ϕ(Xj )
ϕ(bj )
(2.19)
em ambos os casos (a) e (b). De (2.13) e (2.19), temos:
∞
X
|EZj |
j=1
bj
∞
X
2 E(ϕ(Xj ))
< ∞.
≤
ϕ(bj )
j=1
n
1
1 X
|E(Zj )| → 0, quando n → ∞. Como
Então, pelo Lema de Kronecker,
bn j=1
bn
n
1 X
|E(Zj )|, segue que
bn j=1
1
bn
e portanto,
Afirmação 2.10.
n
X
E(Zj ) ≤
j=1
n
X
E(Zj ) → 0, quando n → ∞
j=1
n
1 X
EZj → 0, quando n → ∞.
bn j=1
n
1 X
(Zj − EZj ) → 0.
bn j=1
ϕ(x)
ϕ(y)
ϕ(x)
ց, então, se 0 < x ≤ y temos
≥
, e como xy ≤ y 2
x
x
y
xy
x2
ϕ(x)
ϕ(y)
y2
≥
≥
. Logo, 0 < x ≤ y implica em
≥
e portanto
temos
2
ϕ(y)
ϕ(y)
ϕ(x)
x
y2
ϕ(x)
ϕ(x)
concluímos que
ց . Em (b), temos o mesmo,
ց . Então para |Xj | ≤ bj ,
2
x
x2
De fato, por (a),
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
34
Xj2
b2j
≤
e assim,
ϕ(|Xj |)
ϕ(bj )
Xj2
ϕ(Xj )
≤
.
2
bj
ϕ(bj )
(2.20)
Observe agora que, de (2.18)
Zj ≤ Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ]
e então,
Zj2 ≤ Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j I[|Xj |>bj ] + 2Xj bj I[|Xj |≤bj ] I[|Xj |>bj ] .
Sabemos que I[|Xj |≤bj ] I[|Xj |>bj ] = I[|Xj |≤bj ]∩[|Xj |>bj ] = I∅ ≡ 0. Logo,
Zj2 ≤ Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j I[|Xj |>bj ] .
Assim,
E(Zj2 ) ≤ E Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj )
2
Xj
2
= bj E
I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj )
b2j
ϕ(Xj )
2
I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj ) por (2.20)
≤ bj E
ϕ(bj )
E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
= b2j
+ b2j P (|Xj | > bj )
ϕ(bj )
Agora, temos que:
∞
X
n−1 P max
n=1
≤
=
(2.21)
k
!
X
(Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n j=1

!2 
k
∞
−1
X
X
n
(Zj − EZj )  pela Desigualdade de Markov
E  max
2 ε2
1≤k≤n
b
n=1 n
j=1

!2 
k
∞
X
X
 max
(Zj − EZj ) 
ε−2
n−1 b−2
n E
n=1
e pelo Lema 2.3
1≤k≤n
j=1
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
∞
X
n−1
n=1
≤
k
!
X
P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n j=1
∞
X
−2
−1 −2
2
ε
n bn C n max E(Zj − EZj ) + 1
1≤j≤n
n=1
=
35
Cε
−2
∞
X
b−2
n
n=1
max
1≤j≤n
E(Zj2 )
2
− (EZj )
+1 .
Como E(Zj2 ) − (EZj )2 ≤ E(Zj2 ), então max E(Zj2 ) − (EZj )2 ≤ max E(Zj2 ) e por1≤j≤n
1≤j≤n
tanto,
∞
X
n−1
n=1
≤
≤
k
!
X
P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n j=1
∞
X
2
−2
−2
max E(Zj ) + 1
Cε
bn
−2
Cε
n=1
∞
X
1≤j≤n
b−2
n
n=1
2
2 E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
+ bj P (|Xj | > bj ) + 1
max bj
1≤j≤n
ϕ(bj )
onde a última desigualdade
segue de (2.21). Assim
k
!
∞
X
X
n−1 P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n n=1
j=1
"∞
X
b2j E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
+
≤ C ε−2
b−2
max
n
1≤j≤n
ϕ(b
)
j
n=1
#
∞
∞
X
2
X
−2
−2
+
bn
bn max bj P (|Xj | > bj ) +
n=1
≤
C ε−2
<
∞,
1≤j≤n
"
∞
X
n=1
∞
b2j E(ϕ(Xj )) X
−2
2
bn max
+
b−2
n
1≤j≤n
ϕ(b
)
j
n=1
n=1
#
devido às hipóteses (2.12) e (2.14). Então, pelo Teorema 1.1 (Método Geral),
o que implica em
k
X
1
max (Zj − E Zj ) → 0 q.c.
bn 1≤k≤n j=1
n
X
1 (Zj − E Zj ) → 0 q.c.
bn j=1
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
e portanto,
36
n
1 X
(Zj − E Zj ) → 0 q.c.
bn j=1
n
1 X
Zj → 0 q.c.
Portanto, das Afirmações 2.9 e 2.10, segue que
bn j=1
Observação 2.11. Veja no Apêndice A, que as demonstrações do Teorema 2.5 e do
Teorema 0.1, enunciado na Introdução desta dissertação se diferem apenas das Afirmações
2.10 e A.4, que são justamente o ponto da demonstração onde aplicamos o caso das
variáveis aleatórias serem PA, usando o Lema 2.3 e o Método Geral, no Teorema 2.5
e das variáveis aleatórias serem independentes, usando o Critério de Convergência de
Kolmogorov, no Teorema 0.1 .
O corolário a seguir, é o Teorema 2.5, com algumas hipóteses modificadas, que será
de grande auxílio para resultados posteriores.
Corolário 2.12. No Teorema 2.5, se as condições (2.12) - (2.14) forem substituídas por
sup E(ϕ(Xj )) < ∞ e
(2.22)
j≥1
∞
X
n=1
então,
1
< ∞,
ϕ(bn )
(2.23)
Sn
→ 0 q.c.
bn
Demonstração:
ϕ(x)
ց em ambos os casos (a) e
x2
(b). Como bn é uma sequência não-decrescente de números positivos, então
Na demonstração do Teorema 2.5, provamos que
b1 ≤ bn ⇒ 0 <
Observe que, como bj ≤ bn
b2
b21
≤ n .
ϕ(b1 )
ϕ(bn )
(2.24)
b2j
b2
para todo 1 ≤ j ≤ n, então
≤ n e logo,
ϕ(bj )
ϕ(bn )
b2j
b2
= n .
1≤j≤n ϕ(bj )
ϕ(bn )
max
(2.25)
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
37
Note que, para cada n,
E(ϕ(Xn )) ≤ sup E(ϕ(Xj )) ⇒
j≥1
E(ϕ(Xn ))
≤
ϕ(bn )
sup E(ϕ(Xj ))
j≥1
,
ϕ(bn )
logo,
∞
X
E(ϕ(Xn ))
n=1
ϕ(bn )
≤
∞ sup E(ϕ(Xj ))
X
j≥1
ϕ(bn )
n=1
= sup E(ϕ(Xj ))
j≥1
∞
X
n=1
1
< ∞,
ϕ(bn )
devido às hipóteses (2.22) e (2.23). Observe agora que, de (2.24), b−2
n ≤
∞
X
b−2
n
≤
n=1
∞
X
ϕ(b1 )
n=1
b21
(2.26)
ϕ(b1 )
então,
ϕ(bn )
b21
∞
ϕ(b1 ) X 1
1
= 2
< ∞.
·
ϕ(bn )
b1 n=1 ϕ(bn )
Temos agora que
∞
∞
X
X
b2j
b2j E(ϕ(Xj ))
−2
−2
≤
· max E(ϕ(Xj ))
bn max
bn max
1≤j≤n ϕ(bj ) 1≤j≤n
1≤j≤n
ϕ(bj )
n=1
n=1
=
=
≤
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
b−2
n
b2n
max E(ϕ(Xj )) por (2.25)
ϕ(bn ) 1≤j≤n
1
max E(ϕ(Xj ))
ϕ(bn ) 1≤j≤n
1
sup E(ϕ(Xj )) < ∞, de (2.26)
ϕ(bn ) j≥1
pois como E(ϕ(Xj )) ≤ sup E(ϕ(Xj )) < ∞, para todo j ≥ 1, então max E(ϕ(Xj )) ≤
j≥1
1≤j≤n
sup E(ϕ(Xj )) < ∞, para todo n ≥ 1. Logo, o resultado segue do Teorema 2.5
j≥1
Antes de demonstrarmos uma consequência do Corolário 2.12 vamos provar o seguinte
Teorema 2.13. (Teorema 2.1 [17]) Variáveis Aleatórias independentes são Positivamente Associadas (PA).
Para tal demonstração, vamos utilizar duas propriedades sobre variáveis aleatórias
Positivamente Associadas, suas demonstrações podem ser encontradas em [17].
2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências
38
(P1 )Se dois conjuntos de variáveis aleatórias Positivamente Associadas são independentes um do outro, então a sua união é um conjunto de variáveis aleatórias Positivamente Associadas.
(P2 )O conjunto constituído por uma única variável aleatória é Positivamente Associado.
Demonstração do Teorema 2.13 :
Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes. Por (P2 ), X1 é PA e X2 também
é PA. Então por (P1 ) X1 , X2 são PA. Sejam agora W = (X1 , X2 ) e X3 variáveis aleatórias
independentes. Por (P2 ), W é PA e X3 é PA. Então por (P1 ) (W, X3 ) são PA, isto é,
(X1 , X2 , X3 ) são PA.
Suponha, por indução, que Y = (X1 , X2 , ..., Xn ) variáveis aleatórias independentes
sejam PA. Suponha também que Y e Xn+1 sejam variáveis aleatórias independentes. Por
(P2 ), Y é PA e Xn+1 é PA. Então por (P1 ) (Y, Xn+1 ) são PA, isto é, (X1 , X2 , ..., Xn , Xn+1 )
são PA.
Portanto, variáveis aleatórias independentes são PA.
O corolário a seguir, é uma consequência do Corolário 2.12, para variáveis aleatórias
independentes.
Corolário 2.14. Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes.
Se existe k > 0 tal que E(Xn2 ) ≤ k, para todo n, então,
Sn
→ 0 q.c.
n
Demonstração:
Sejam {Xn , n ≥ 1} variáveis aleatórias independentes e tais que existe k > 0 tal que
E(Xn2 ) ≤ k, para todo n. Pelo Teorema 2.13 temos que variáveis aleatórias independentes
são Positivamente Associadas, logo fazendo bn = n e ϕ(x) = x2 no Corolário 2.12, temos:
sup E(ϕ(Xj )) = sup E(Xj2 ) ≤ k < ∞ e
j≥1
j≥1
∞
X
n=1
Logo,
Sn
→ 0 q.c.
n
∞
X 1
1
=
< ∞.
ϕ(bn ) n=1 n2
2.3 Taxa de Convergência
39
2.3 Taxa de Convergência
Nesta seção, apresentaremos uma consequência do Corolário 2.12, e em seguida, a
Sn
conclusão sobre uma estimativa para a taxa de convergência de
.
n
Corolário 2.15. Suponha que {Xj , j ≥ 1} é uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente Associadas, E(Xj ) = 0, sup E|Xj |p < ∞ para algum 1 ≤ p ≤ 2 e que é satisfeita
j≥1
a seguinte condição,
∞
X
1
u 2 (2i ) < ∞. Então, para cada δ > 1, temos
i=1
Sn
1
(n log n (log log n)δ ) p
→ 0 q.c.
Demonstração:
1
Tomando ϕ(x) = |x|p e bn = (n log n (log log n)δ ) p , n > 1, no Corolário 2.12, temos:
sup E(ϕ(Xj )) = sup E(|Xj |p ) < ∞ (por hipótese).
j≥1
A série,
∞
X
n=1
j≥1
∞
∞
X 1
X
1
1
=
< ∞,
p =
ϕ(bn ) n=1 bn
n log n (log log n)δ
n=1
pois, pelo Teste da Integral, para a > 1,
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
1
v −δ dv
dx =
du =
δ
δ
x
log
x
(log
log
x)
u
(log
u)
a
log a
log log a
b
−δ+1 b
v
1
= lim
= lim
b→∞
−δ + 1 log log a b→∞ (−δ + 1)v δ−1 log log a
=
1
−1
=
< ∞.
δ−1
(−δ + 1)(log log a)
(δ − 1)(log log a)δ−1
Portanto, pelo Corolário 2.12,
Sn
1
(n log n (log log n)δ ) p
→ 0 q.c.
2.3 Taxa de Convergência
40
Taxa de Convergência. Para o caso p = 2, o Corolário implica que a taxa de conSn
1
δ
1
é n− 2 (log n) 2 (log log n) 2 . De fato, como
vergência de
n
Sn
1
(n log n (log log n)δ ) 2
→ 0 q.c.
segue-se que,
Sn
n
→ 0 q.c.
1
(n log n (log log n)δ ) 2
n
logo, a taxa de convergência é
1
1
1
δ
(n log n (log log n)δ ) 2
= n− 2 (log n) 2 (log log n) 2 .
n
Capítulo
3
Variáveis Aleatórias Negativamente
Associadas e Lei Forte dos Grandes
Números
Desde o início dos estudos sobre variáveis aleatórias Positivamente Associadas, um
grande número de artigos têm sido escrito sobre o assunto. A teoria e aplicação de
variáveis aleatórias Negativamente Associadas não é simplesmente uma cópia da teoria e
da aplicação de associação positiva, elas se diferem em aspectos importantes. Na verdade,
variáveis aleatórias Negativamente Associadas são uma versão qualitativa de dependência
negativa entre as variáveis aleatórias. Detalhes sobre essa teoria podem ser encontrados
em [21].
O objetivo deste capítulo, é definir variáveis aleatórias Negativamente Associadas e
provar alguns resultados preliminares para que, na segunda seção, possamos aplicar o
Teorema 1.1 para provar a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Negativamente Associadas.
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
Nesta seção, iremos definir variáveis aleatórias Negativamente Associadas e demonstrar
três lemas, onde o último será usado na demonstração do Teorema 3.8, que se encontra
na próxima seção. Para a demonstração deste lema, serão utilizados os lemas anteriores e
alguns resultados que só foram enunciados, suas demonstrações foram omitidas pois não
são de nosso interesse nesta dissertação.
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
42
Definição 3.1. As v.a.’s X1 , ..., Xn são ditas Negativamente Associadas (NA) se para
cada n e cada par de subconjuntos disjuntos A1 , A2 de {1, · · · , n},
Cov(f (Xi : i ∈ A1 ), g(Xj : j ∈ A2 )) ≤ 0,
onde f e g são crescentes em cada coordenada e a covariância existe.
Lema 3.2. Para quaisquer x ∈ R e 1 < p ≤ 2,
|1 + x|p ≤ 1 + px + 22−p |x|p .
(3.1)
Demonstração:
Para provar a desigualdade acima, vamos considerar a seguinte função
f (x) = |1 + x|p − 1 − px − 22−p |x|p
e provar que f (x) ≤ 0, para todo x, fazendo um estudo de seu gráfico. Temos que f não
é derivável em x = 0 e x = −1, e que f (0) = 0 e f (−1) = −1 + p − 22−p ≤ 0, pois
−1 + p ≤ 1 ≤ 22−p . Então, o nosso estudo será dividido em três casos.
1o Caso: x > 0.
Para x > 0, f (x) fica
f (x) = (1 + x)p − 1 − px − 22−p xp .
′
′
Sua derivada é f (x) = p [(1 + x)p−1 − 1 − 22−p xp−1 ], então, se verificarmos que f (x) ≤ 0,
então f é decrescente e logo f (x) ≤ f (0) = 0, para todo x > 0. Como 1 < p ≤ 2, então
basta verificar que g(x) = (1 + x)p−1 − 1 − 22−p xp−1 ≤ 0. Para isto, calculando g ′ (x),
temos:
g ′ (x) = (p − 1)[(1 + x)p−2 − 22−p xp−2 ],
e observe que
x
1+x
2−p
≤ 22−p ⇒ (1 + x)p−2 ≤ 22−p xp−2 ⇒ (1 + x)p−2 − 22−p xp−2 ≤ 0.
Portanto g(x) ≤ 0, para todo x > 0, e assim f é decrescente e f (x) ≤ 0, para todo
x > 0, conforme a Figura 3.1.
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
43
2o Caso: x < −1.
Para x < −1, f (x) fica
f (x) = (−1 − x)p − 1 − px − 22−p (−x)p .
Temos que
′
f (x) = p [−(−1 − x)p−1 − 1 + 22−p (−x)p−1 ]
′′
f (x) = p (p − 1) [(−1 − x)p−2 − 22−p (−x)p−2 ].
Seja ϕ(x) = (−1 − x)p−2 − 22−p (−x)p−2 . Temos que 0 ≤ 2 − p < 1, ϕ(−1) = −22−p < 0
e ϕ(−2) = 0. Reescrevendo ϕ(x), temos:
"
#
2−p
1
22−p
1
−x
ϕ(x) =
+
=
− 22−p
(−1 − x)2−p (−x)2−p
(−x)2−p
−1 − x
#
"
2−p
1
1
2−p
=
−2
1+
.
(−x)2−p
−1 − x
Observe agora que,
• se −2 < x < −1, então 0 < −1 − x < 1 e logo, ϕ(x) > 0;
• se x ≤ −2, então −1 − x ≥ 1 e logo, ϕ(x) ≤ 0.
′′
′′
Logo, f (x) > 0 se −2 < x < −1 e f (x) ≤ 0 se x ≤ −2. Então, segue que x = 2 é
um ponto de inflexão, isto é, no intervalo (−∞, −2] o gráfico de f é côncavo para baixo
e no intervalo (−2, −1) é côncavo para cima. Veja Figura 3.1.
3o Caso: −1 < x < 0.
Para −1 < x < 0, f (x) fica
f (x) = (1 + x)p − 1 − px − 22−p (−x)p .
Observe que
′
f (x) = p [(1 + x)p−1 − 1 + 22−p (−x)p−1 ]
′′
f (x) = p (p − 1) [(1 + x)p−2 − 22−p (−x)p−2 ].
Seja agora ψ(x) = (1 + x)p−2 − 22−p (−x)p−2 . Temos que
ψ(−1) = −22−p < 0 e
2
ψ −
3
=
2
1−
3
p−2
2−p
−2
2
−
3
p−2
= 0.
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
44
Reescrevendo ψ(x), como no caso anterior, chegamos a
1
ψ(x) =
(−x)2−p
"
1
−1 +
1+x
2−p
#
− 22−p .
Então, temos
1
2
e logo, ψ(x) > 0;
• se −1 < x < − , então 0 < 1 + x <
3
3
2
1
• se − ≤ x < 0, então
≤ 1 + x < 1 e logo, ψ(x) ≤ 0.
3
3
2
2
′′
e f (x) ≤ 0 se − ≤ x < 0. Logo, temos
3
3
2
2
o gráfico de f é
que x = − é um ponto de inflexão, isto é, no intervalo −1, −
3
3
2
côncavo para cima e no intervalo − , 0 é côncavo para baixo. Veja a figura abaixo.
3
′′
Assim f (x) > 0 se −1 < x < −
Finalmente, pelos três casos acima, temos que o gráfico de f se assemelha ao seguinte:
x
–5
–4
–3
–2
–1
1
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1.2
–1.4
3
Figura 3.1: Gráfico da função f (x) = |1 + x|p − 1 − px − 22−p |x|p , caso p = .
2
Portanto, f (x) ≤ 0, para todo x ∈ R. O que conclui o Lema 3.2.
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
45
Lema 3.3. Sejam X1 , ..., Xn variáveis aleatórias independentes com média zero. Então
a desigualdade (3.1) implica em, 1 < p ≤ 2,
n
n
X p
X
2−p
E|Xi |p .
Xi ≤ 2
E i=1
i=1
Demonstração:
No Lema 3.2, provamos que |1 + x|p ≤ 1 + px + 22−p |x|p , para qualquer x ∈ R e
b
(a 6= 0), temos
a
p
p
1 + b ≤ 1 + p b + 22−p b ⇒
a
a
a
1 < p ≤ 2, então fazendo x =
|a + b|p ≤ |a|p + p
|a| p−1
|a|
b + 22−p |b|p ⇒
a
|a + b|p ≤ |a|p + sinal(a) p b |a|p−1 + 22−p |b|p .
Se X1 , X2 são variáveis aleatórias independentes com EX1 = EX2 = 0, então fazendo
a = X1 e b = X2 , na última desigualdade acima, temos
E|X1 + X2 |p ≤ E|X1 |p + E(sinal(X1 ) p X2 |X1 |p−1 ) + 22−p E|X2 |p ≤
= E|X1 |p + sinal(X1 ) p E(X2 |X1 |p−1 ) + 22−p E|X2 |p
= E|X1 |p + sinal(X1 ) p E(X2 ) E|X1 |p−1 + 22−p E|X2 |p (independência)
= E|X1 |p + 22−p E|X2 |p (pois EX2 = 0)
≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p ).
Seja agora X1 , X2 , X3 variáveis aleatórias independentes com EX1 = EX2 = EX3 = 0,
então fazendo a = X1 + X2 e b = X3 , temos
E |X1 + X2 + X3 |p ≤
≤ E|X1 + X2 |p + sinal(X1 + X2 ) p E(X3 |X1 + X2 |p−1 ) + 22−p E|X3 |p
≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p ) + sinal(X1 + X2 ) p E(X3 ) E|X1 + X2 |p−1 + 22−p E|X3 |p
= 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + E|X3 |p ).
Suponha, por indução, que X1 , ..., Xn sejam independentes com EX1 = · · · = EXn = 0,
então,
E|X1 + X2 + · · · + Xn |p ≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p ).
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
46
Vamos mostrar que isto é válido para n + 1. Sejam então X1 , X2 , ..., Xn , Xn+1 independentes com EX1 = · · · = EXn+1 = 0. Assim fazendo a = X1 +X2 +· · ·+Xn e b = Xn+1 ,
temos
E |X1 + X2 + · · · + Xn + Xn+1 |p ≤
≤ E|X1 + X2 + · · · + Xn |p +
+ sinal(X1 + X2 + · · · + Xn ) p E(Xn+1 |X1 + X2 + · · · + Xn |p−1 )+
+ 22−p E|Xn+1 |p
≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p ) + 22−p E|Xn+1 |p
= 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p + E|Xn+1 |p ).
n
n
X p
X
2−p
Portanto, E Xi ≤ 2
E|Xi |p .
i=1
i=1
Lema 3.4. Sejam X1 , ..., Xn variáveis aleatórias Negativamente Associadas com média
zero e E|Xi |p < ∞ onde 1 < p ≤ 2. Então
E
p
max |Sk |
1≤k≤n
3−p
≤2
n
X
E|Xi |p .
(3.2)
i=1
Para a demonstração deste lema vamos utilizar alguns resultados que serão enunciados
abaixo. Porém suas demonstrações não são de nosso interesse nesta dissertação e portanto
serão omitidas.
Teorema 3.5. [33] Seja {Xi , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas e seja {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias
independentes tal que Xi∗ e Xi tem a mesma distribuição para cada i = 1, 2, ..., n. Então
se f é uma função convexa não-decrescente,
E f
max
1≤k≤n
k
X
i=1
Xi
!
≤E f
max
1≤k≤n
k
X
i=1
Xi∗
!
(3.3)
sempre que a esperança no lado direito existir.
Teorema 3.6. [11] Seja φ uma função convexa não-decrescente definida em [0, ∞). Sejam X1 , X2 , ... variáveis aleatórias independentes com média zero. Então, para qualquer
3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares
47
inteiro n ≥ 1 e a ∈ R,
E φ max 0, max (Sk − a)
≤ 2 E φ [max (0, (Sn − a))] − φ(0),
1≤k≤n
onde Sn =
n
X
(3.4)
Xi .
i=1
Demonstração do Lema 3.4 :
Seja {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes tal que Xi∗ e
Xi tem a mesma distribuição para cada i = 1, 2, ..., n. Seja f (x) = [max(0, x)]p , para 1 <
p ≤ 2. Temos que f é uma função convexa não-decrescente e então, pelo Teorema 3.5,
"
E max 0, max
1≤k≤n
k
X
Xi
i=1
!#p
"
≤ E max 0, max
1≤k≤n
k
X
Xi∗
i=1
!#p
.
Assim, fazendo φ(x) = xp e a = 0 no Teorema 3.6, segue que
"
E max 0, max
Da mesma forma,
"
E max 0, max
1≤k≤n
1≤k≤n
k
X
!#p
(−Xi )
i=1
k
X
Xi
i=1
!#p
"
"
≤ 2 E max 0,
1≤k≤n
≤ 2 E max 0,
Logo,
E
Xi∗
i=1
≤ E max 0, max
"
n
X
n
X
k
X
!#p
.
!#p
(−Xi∗ )
i=1
!#p
(−Xi∗ )
i=1
.
k
!
k
#
k
!#
"
"
X p
X p
X p
max Xi = E max Xi = E max 0, max Xi 1≤k≤n 1≤k≤n 1≤k≤n i=1
i=1
i=1
n
!#p
"
X ≤ 2 E max 0, Xi∗ n
p i=1
X = 2E Xi∗ .
(3.5)
i=1
Assim, pelo Lema 3.3, segue que
n
n
n
X p
X
X
E|Xi |p .
E|Xi∗ |p = 22−p
E Xi∗ ≤ 22−p
i=1
i=1
i=1
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
48
Portanto, p !
n
k
X
X
2−p
≤ 2·2
E|Xi |p
E max Xi 1≤k≤n i=1
= 23−p
i=1
n
X
E|Xi |p ,
i=1
e o lema fica demonstrado.
Observação 3.7. Temos o seguinte resultado sobre variáveis aleatórias independentes:
(Exercício 5 página 361 de [12]) Se {Xn , n ≥ 1} são variáveis aleatórias independentes com EXn = 0, n ≥ 1 e p ∈ (1, 2], então para alguma constante finita C que
depende apenas de p,
k
n
X p
X
E max Xi ≤ C
E|Xi |p .
1≤k≤n i=1
i=1
Na demonstração do lema anterior, podemos aplicar o exercício acima em vez de usar o
Lema 3.3. De fato, por (3.5), temos
k
n
X p
X p
E max Xi ≤ 2 E Xi∗ ,
1≤k≤n i=1
e como
i=1
n
n
X p
X p
Xi∗ ≤ max Xi∗ 1≤k≤n i=1
então,
i=1
n
X p
E
Xi∗ ≤ E
i=1
e assim,
E
k
!
X p
max Xi ≤ 2 E
1≤k≤n i=1
n
!
X p
max Xi∗ ,
1≤k≤n i=1
n
!
n
n
X p
X
X
∗
∗ p
max Xi ≤ 2 C
E|Xi | = C̄
E|Xi |p .
1≤k≤n i=1
i=1
i=1
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
O Teorema a seguir, é sobre a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias
Negativamente Associadas. Uma parte de sua demonstração é análoga à demonstração do
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
49
Teorema 2.5 para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. O restante da demonstração segue do Lema 3.4, demonstrado na seção anterior.
Teorema 3.8. Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente
Associadas com E(Xn ) = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, tal que
lim ϕ(x) = ∞, e
x→∞
ϕ(x)
ց, x → ∞ ou
x
(a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e
(b)
ϕ(x)
ϕ(x)
րe
ց, x → ∞.
x
x2
Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo do Capítulo 1 (pag. 6) e
que
∞
X
E(ϕ(Xj ))
ϕ(bj )
j=1
∞
X
n−1 b−2
n
n=1
Então,
<∞ e
n
X
b2j E(ϕ(Xj ))
< ∞.
ϕ(b
)
j
j=1
(3.6)
(3.7)
Sn
→ 0 q.c.
bn
Observação 3.9. Da mesma forma que na Observação 2.6, a condição (3.7), implica as
condições,
∞
X
n−1 b−2
n
n=1
∞
X
n=1
n−1 b−2
n
n
X
b2j P (|Xj | > bj ) < ∞ e
(3.8)
j=1
n
X
j=1
b2j
E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
< ∞.
ϕ(bj )
(3.9)
logo, podemos substituí-las no Teorema 3.8.
Demonstração do Teorema 3.8 :
Note que nos Teoremas 2.5 e 3.8 as hipóteses (a), (b) e (2.13) são análogas as hipóteses
(a), (b) e (3.6) respectivamente. A demonstração do Teorema 3.8 será análoga à demonstração do Teorema 2.5 até a parte da demonstração da Afirmação 2.10, desigualdade
(2.21). Iremos demonstrar o Teorema 3.8 a partir do momento em que as demonstrações
tomam rumos diferentes, e isto ocorre, quando aplicamos o Lema 3.4.
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
50
No Teorema 2.5, Afirmação 2.10, mostramos que
E(Zj2 ) ≤ b2j
E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
+ b2j P (|Xj | > bj ).
ϕ(bj )
Então,
∞
X
n−1 P
n=1
≤
=
k
!
X
max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n j=1

!2 
∞
k
−1
X
X
n
(Zj − EZj )  pela Desigualdade de Markov
E  max
2 ε2
1≤k≤n
b
n
n=1
j=1

!2 
∞
k
X
X
 max
ε−2
n−1 b−2
(Zj − EZj ) 
n E
1≤k≤n
n=1
j=1
e pelo Lema 3.4 com p = 2,
∞
X
k
!
X
max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n n−1 P
n=1
j=1
≤
ε
∞
X
−2
n
−1
b−2
n
n
X
C
n=1
≤
∞
X
ε−2
−2
Cε
E(Zj − EZj )2
j=1
n
X
n−1 b−2
n C
n=1
≤
(3.10)
∞
X
n
−1
b−2
n
n=1
EZj2
j=1
n X
b2j
j=1
E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
2
+ bj P (|Xj | > bj )
ϕ(bj )
onde na última desigualdade substituímos a expressão (3.10). Assim,
!
∞
k
X
X
n−1 P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤
1≤k≤n n=1
j=1
"∞
n
X
X
E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] )
−2
−1 −2
+
b2j
≤ Cε
n bn
ϕ(bj )
n=1
j=1
#
n
∞
X
X
+
b2j P (|Xj | > bj )
n−1 b−2
n
n=1
j=1
−2
≤
Cε
<
∞,
2
∞
X
n=1
n−1 b−2
n
n
X
b2j E(ϕ(Xj )
ϕ(bj )
j=1
por (3.7). Logo o resultado segue como no Teorema 2.5.
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
51
Corolário 3.10. No Teorema 3.8, se as condições (3.6) e (3.7) forem substituídas por
sup E(ϕ(Xj )) < ∞ e
(3.11)
j≥1
∞
X
n=1
então
1
< ∞,
ϕ(bn )
(3.12)
Sn
→ 0 q.c.
bn
Demonstração:
Observe que do mesmo modo que na demonstração do Corolário 2.12, bj ≤ bn para
b2j
b2n
≤
. A prova da expressão (3.6) é análoga a do
todo 1 ≤ j ≤ n, implica em
ϕ(bj )
ϕ(bn )
Corolário 2.12. Observe agora que,
n
∞
n
∞
X
X
X
X
b2j E(ϕ(Xj ))
b2n
−1 −2
n−1 b−2
≤
E(ϕ(Xj ))
n
b
n
n
ϕ(b
)
ϕ(b
)
j
n
n=1
n=1
j=1
j=1
=
n
∞
X
n−1 X
E(ϕ(Xj ))
ϕ(b
)
n
n=1
j=1
∞
n
X
n−1 X
≤
sup E(ϕ(Xk ))
ϕ(bn ) j=1 k≥1
n=1
∞
X
n−1
=
n sup E(ϕ(Xk ))
ϕ(bn )
k≥1
n=1
= sup E(ϕ(Xk ))
k≥1
∞
X
n=1
Sn
Portanto, pelo Teorema 3.8,
→ 0 q.c.
bn
1
< ∞.
ϕ(bn )
A seguir temos uma consequência do Corolário 3.10.
Corolário 3.11. Suponha que {Xj , j ≥ 1} é uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas, E(Xj ) = 0 e sup E(|Xj |p ) < ∞ para algum 1 ≤ p ≤ 2. Então,
j≥1
para cada δ > 1, temos
Sn
1
(n log n (log log n)δ ) p
→ 0 q.c.
3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências
52
Demonstração:
Como as hipóteses (3.11) e (3.12) do corolário anterior são as mesmas hipóteses do
Corolário 2.12, segue que a demonstração é análoga a do Corolário 2.15, para variáveis
aleatórias Positivamene Associadas.
Apêndice
A
Demonstração do Teorema de Lei Forte
dos Grandes Números para v.a.’s
Independentes
Com o intuito de fazer uma comparação entre o Teorema 2.5 e o caso independente
demonstraremos o seguinte
Teorema A.1. (Correspondente ao Teorema 2.5, caso independente)
Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes com EXn = 0 para
cada n, e 0 < bn ↑ ∞. Seja ϕ : R → R+ uma função par e contínua em R tal que
ϕ(x)
ր,
|x|
e
ϕ(x)
ց quando |x| ↑ ∞
x2
∞
X
E(ϕ(Xn ))
n=1
Então
ϕ(bn )
n
1 X
Xj → 0
bn j=1
(A.1)
< ∞.
(A.2)
q.c.
(A.3)
Para a demonstração deste teorema, vamos utilizar o seguinte resultado
54
Teorema A.2. (Critério de Convergência de Kolmogorov [1]) Sejam {Xn , n ≥ 1}
∞
X
variáveis aleatórias independentes com esperança finita. Se
V arXn < ∞, então,
n=1
∞
X
(Xn − EXn ) converge q.c.
n=1
Demonstração do Teorema A.1 :
Inicialmente, observe que, ϕ é não-decrescente em [0, ∞), isto é, se 0 < x < y então,
ϕ(x) ≤ ϕ(y), pois, caso contrário, suponha que exista 0 < x < y tal que ϕ(x) > ϕ(y).
1
1
ϕ(y)
ϕ(x)
ϕ(x)
Como 0 < < , segue que
<
, ou seja,
é não-crescente, contrariando a
y
x
y
x
x
primeira hipótese sobre ϕ.
(
Xn (ω) se |Xn (ω)| ≤ bn
Seja Zn (ω) =
. Temos que {Xj } e {Zj } são sequências
0
se |Xn (ω)| > bn
equivalentes. De fato,
∞
X
P (Xj 6= Zj ) =
j=1
∞
X
P (|Xj | > bj ) ≤
j=1
∞
X
E(ϕ(Xj ))
j=1
ϕ(bj )
< ∞,
pela hipótese (A.2),
onde, na penúltima desigualdade, usamos a Desigualdade de Chebyschev. Então, como
∞
X
P (Xj 6= Zj ) < ∞ segue que {Xj } e {Zj } são sequências equivalentes, e logo, pelo
j=1
n
n
1 X
1 X
(Xj − Zj ) → 0 q.c. Assim, se mostrarmos que
Zj → 0 q.c.,
bn j=1
bn j=1
o teorema ficará provado.
Observe que:
∞
∞
∞
X
Zn X EZn X Zn − EZn
=
+
.
b
b
b
n
n
n
n=1
n=1
n=1
Teorema 2.8,
Afirmação A.3.
∞
X
EZn
n=1
bn
< ∞.
∞
∞
X
X
1 |EZn |
E(Xn I[|Xn |≤bn ] ) , e como E(Xn I[|Xn |>bn ] ) =
=
De fato, temos
bn
b
n=1 n
n=1
E(Xn I[|Xn |≤bn ] ) , segue que
X
∞
∞
∞
∞
X
X
Xn
|EZn | X 1 |X
|
n
E(Xn I[|Xn |>bn ] ) ≤
=
I[|Xn |>bn ] =
I[|Xn |>bn ] .
E
E b
b
b
bn
n
n
n
n=1
n=1
n=1
n=1
Pela primeira hipótese em (A.1), temos
ϕ(x)
ϕ(|Xn |)
ր implica em, para |Xn | > bn ,
≥
|x|
|Xn |
55
ϕ(bn )
ϕ(Xn )
ϕ(bn )
|Xn |
ϕ(Xn )
e como ϕ é par,
≥
. Então,
≤
, para |Xn | > bn . Logo,
bn
|Xn |
bn
bn
ϕ(bn )
X
∞
∞
∞
X
X
|EZn |
|Xn |
ϕ(Xn )
I[|Xn |>bn ]
≤
I[|Xn |>bn ] ≤
E
E
b
b
ϕ(b
)
n
n
n
n=1
n=1
n=1
≤
∞
X
E(ϕ(Xn ))
ϕ(bn )
n=1
< ∞.
E podemos então concluir que
∞
X
E(Zn )
bn
n=1
Afirmação A.4.
∞
X
Zn − EZn
De fato, E
Zn2
b2n
converge q.c.
bn
n=1
=E
< ∞.
Xn2
I[|Xn |≤bn ]
b2n
e logo,
∞
X
E
n=1
Zn2
b2n
=
∞
X
E
n=1
Xn2
I[|Xn |≤bn ] .
b2n
ϕ(x)
ց implica em,
x2
ϕ(bn )
ϕ(|Xn |)
ϕ(bn )
ϕ(Xn )
para |Xn | ≤ bn , 2 ≤
e como ϕ é par segue que
≤
. Então,
2
2
bn
Xn
bn
Xn2
ϕ(Xn )
Xn2
≤
, para |Xn | ≤ bn . Segue-se que:
2
bn
ϕ(bn )
Observe agora que, pela segunda hipótese em (A.1), temos que
∞
X
n=1
V ar
Zn
bn
≤
≤
∞
X
n=1
∞
X
n=1
E
E
Zn2
b2n
=
ϕ(Xn )
ϕ(bn )
∞
X
n=1
=
E
∞
X
n=1
Xn2
I[|Xn |≤bn ]
b2n
≤
∞
X
n=1
E
ϕ(Xn )
I[|Xn |≤bn ]
ϕ(bn )
E(ϕ(Xn ))
< ∞ por (A.2).
ϕ(bn )
Como as variáveis aleatórias Xn são independentes, então as Zn também são independentes.
Zn
Aplicando o Teorema A.2 para a sequência de variáveis aleatórias
, temos de
bn
∞
X
Zn
< ∞, que
V ar
b
n
n=1
∞
X
Zn − EZn
n=1
bn
converge q.c.
Logo, das Afirmações A.3 e A.4, segue que
∞
X
Zn
n=1
bn
converge q.c. Finalmente, pelo
Lema de Kronecker, para cada ω em um conjunto de probabilidade um, teremos
n
1 X
Zj → 0 q.c.
bn j=1
Referências Bibliográficas
[1] Ash, R. B. e Doléans-Dade, C. A., Probability and Measure Theory, 2nd Ed, Academic
Press, New York, 2000.
[2] Bagai, I. e Prakasa Rao, B.L.S., Estimation of the Survival Function for Stationary
Associated Processes, Statist. Probab. Lett. 12, 1991, 385-391.
[3] Bagai, I. e Prakasa Rao, B.L.S., Kernel-type Density and Failure Rate Estimation
for Associated Sequences, Ann. Inst. Statist. Math. 47, 1995, 253-266.
[4] Birkel, T., Moment Bounds for Associated Sequences, Ann. Probab. 16, 1988a, 11841193.
[5] Birkel, T., On the Convergence Rate in the Central Limit Theorem for Associated
Processes, Ann. Probab. 16, 1988b, 1685-1698.
[6] Birkel, T., A Note on the Strong Law of Large Numbers for Positively Dependent
Random Variables, Statist. Probab. Lett. 7, 1989, 17-20.
[7] Cai, Z.W. e Roussas, G.G., Efficient Estimation of a Distribution Function Under
Quadrant Dependence, Scand. J. Statist. 24, 1997a, 1-14.
[8] Cai, Z.W. e Roussas, G.G., Smooth Estimate of Quantiles Under Association, Statist.
Probab. Lett. 36, 1997b, 275-287.
[9] Cai, Z.W. e Roussas, G.G., Berry-Esseen Bounds for Smooth Estimator of a Distribution Function Under Association, J. Nonparametric Statist., 1998a. to appear.
[10] Cai, Z.W. e Roussas, G.G., Kaplan-Meier Estimator Under Association. J. Multivariate Anal., 1998b. to appear.
Bibliografia
57
[11] Choi, K. P. e Klass, M. J. Some Best Possible Prophet Inequalities for Convex
Functions of Sums of Independent Variates and Unordered Martingale Difference
Sequences, The Annals of Probability 25 (2), 1997, 803-811.
[12] Chow, Y. S. e Teicher, H., Probability Theory: Independence, Interchangeability Martingales, 3nd Ed, Springer, New York, 2003.
[13] Chung, K. L., A Course of Probability Theory, 3nd Ed, Academic Press, New York,
2001.
[14] Cohen, A. e Sackrowitz, H.B., Some Remarks on a Notion of Positive Dependence,
Association, and Unbiased Testing, In: Shaked, M., Tong, Y.L. (Eds.), Stochastic
Inequalities, IMS, Lecture Notes-Monograph Series, vol. 22, 1992.
[15] Cohen, A. e Sackrowitz, H.B., Association and Unbiased Tests in Statistics, In:
Shaked, M., Shanthikumar, J.G. (Eds.), Stochastic Orders and Their Applications,
Academic Press, Boston, 1994.
[16] Cox, J.T. e Grimmett, G., Central Limit Theorem for Associated Random Variables
and the Percolation Model. Ann. Probab. 12, 1984, 514-528.
[17] Esary, J. D., Proschan F. e Walkup, D. W., Association of Random Variables, with
Applications, The Annals of Mathematical Statistics, 1967, 1466-1474.
[18] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 2nd Ed, John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1971.
[19] Fortuin, C.M., Kasteleyn e P.W., Ginibre, J., Correlation Inequalities on some Partially Ordered Sets, Commun. Math. Phys. 22, 1971, 89-103.
[20] Ioannides, D.A. e Roussas, G.G., Exponential Inequality for Associated Random Variables, Statist. Probab. Lett. 42, 1999, 423-431.
[21] Joag-Dev, K. e Proschan, F., Negative Association of Random Variables with Applications, The Annals of Statistics 11 (1), 1983, 286-295.
[22] Lehmann, E.L., Some concepts of dependence, The Annals of Mathematical Statistics
43 1996, 1137-1153.
[23] Newman, C.M., Normal fluctuations and the FKG inequalities, Commun. Math.
Phys. 74,1980, 119-128.
Bibliografia
58
[24] Newman, C.M., Asymptotic Independence and Limit Theorems for Positively and
Negatively Dependent Random Variables, In: Tong, Y.L. (Ed.), Inequalities in Statistics and Probability, IMS Lecture Notes-Monograph Series, vol. 5, pp. 127-140, Hayward, CA, 1984.
[25] Newman, C.M. e Wright, A.L., An Invariance Principle for Certain Dependent Sequences, Ann. Probab. 9,1981, 671-675.
[26] Newman, C.M. e Wright, A.L., Associated Random Variables and Martingale Inequalities, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 59,1982, 361-371.
[27] Oliveira, P.E., An Exponential Inequality for Associated Variables, Statist. Probab.
Lett. 73, 2005, 189-197.
[28] Roussas, G.G., Kernel Estimates Under Association: Strong Uniform Consistency,
Statist. Probab. Lett. 12, 1991, 393-403.
[29] Roussas, G.G., Curve Estimation in Random Fields of Associated Processes, J. Nonparametric Statist. 2, 1993, 215-224.
[30] Roussas, G.G., Asymptotic Normality of Random Fields of Positively or Negatively
Associated Processes, J. Multivariate Anal. 50, 1994, 152-173.
[31] Roussas, G.G., Asymptotic Normality of a Smooth Estimate of a Random Field Distribution Function Under Association, Statist. Probab. Lett. 24, 1995, 77-90.
[32] Roussas, G.G., Exponential Probability Inequalities with some Applications, In: Ferguson, T.S., Shapely, L.S., MacQueen, J.B. (Eds.), Statistics, Probability and Game
Theory, IMS Lecture Notes-Monograph Series, vol. 30, pp. 303-319, Hayward, CA,
1996.
[33] Shao, Q. A Comparison Theorem on Moment Inequalities Between Negatively Associated and Independent Random Variables, Journal of Theoretical Probability 13
(2), 2000, 343-356.
[34] Yang, S., Su, C. e Yu, K., A General Method to the Strong Law of Large Numbers
and its Applications, Statistics & Probability Letters 78, 2008, 794-803.
[35] Yu, H., A Glivenko-Cantelli Lemma and Weak Convergence for Empirical Processes
of Associated Sequences, Probab. Theory Relat. Fields 95, 1993, 357-370.
Download