Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Sobre um Método Geral para se obter Leis Fortes dos Grandes Números. por Grace Kelly Souza Carmo Goulart Brasília 2010 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de matemática Sobre um Método Geral para se obter Leis Fortes dos Grandes Números. por Grace Kelly Souza Carmo Goulart ∗ Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de MESTRE EM MATEMÁTICA Brasília, 10 de agosto de 2010 Comissão Examinadora: Prof. Ary Vasconcelos Medino - UnB - (Orientador) Prof. Leandro Martins Cioletti - UnB - (Membro) Profa . Sílvia Regina Costa Lopes - UFRGS - (Membro) ∗ A autora foi bolsista do CNPQ durante a elaboração deste trabalho. Ao meu esposo Claudiney, minha filha Yasmim e meus pais Wilson e Eunice. Agradecimentos Primeiramente, gostaria de agradecer a Deus, que com sua infinita bondade, sempre me dá mais do que mereço. Ao meu esposo, pela paciência e ajuda em todos os momentos, não existem palavras para agradecer tudo de bom que ele faz por mim, ele é muito mais que um companheiro, é um amigo, um pai, um irmão. À minha filha, por ter aceitado minha ausência durante todo o mestrado. Aos meus pais Wilson e Eunice, meus irmãos Gil César e Kadygia, pelo apoio em todos os momentos, que sempre acreditaram em minha capacidade. Ao meu sogro Osório e minha sogra Maria das Mercês, que me acolheram como uma filha. Aos meus cunhados Cláudio Marzo, Claudiano e Cláudio Goulart. Ao professor orientador Ary Vasconcelos Medino, pela paciência e ajuda, sem ele, não teria conseguido desenvolver este trabalho. Aos membros da banca Leandro e Sílvia, pela disponibilidade e pelas valiosas sugestões. Aos meus colegas de turma do segundo semestre de 2008, Tarcísio e Weslley, por terem me dado o apoio no início do semestre. Também aos colegas Bruno Nunes, Bruno César, Eduardo, Thaynara e Wembesom, pela amizade e ajuda com as disciplinas. Aos queridos amigos da turma do primeiro semestre de 2009, Elis, Hudson, Jairo, Joaby e Thiago Lima, pela amizade e pelos estudos em conjunto. Em especial as amigas, Mônica, Laura e Mariana, pela ajuda em tudo que precisei, sempre dispostas em ajudar, e me dar apoio sempre. Aos colegas Renato e Andrey, pelo incentivo, em procurar o professor Ary para me orientar, e pelas dúvidas tiradas com eles. Aos professores que ministraram disciplinas em especial à professora Cátia e ao professor Marcelo. Ao professor Elves, pela amizade. Aos amigos que me deram apoio e ajuda, Anyelle, Manuela, Thiago Gonçalves, Dayanne, Ricardo, Eunice, Kéllem ,Walter, Luciene, Danielle, Kaliana, Regina e André Caldas. Aos professores de graduação Fabiano, Luciana e Tonires, por me incentivarem em fazer Mestrado e pela ajuda, sempre que precisei. Aos professores Iron, Jaqueline e Marta, muito queridos, da época da graduação. Aos amigos da graduação, Flávio, Marta Regina, Murilo e Marlise. Aos amigos de Jataí, Taís, Andrea, Marco Aurélio e Zilda, muito obrigada pela amizade de todos vocês. A todas as pessoas, que de alguma forma, me ajudaram a chegar aqui, nesta fase tão importante em minha vida. Enfim, agradeço ao CNPQ, pelo suporte financeiro. iii Resumo Nesta dissertação, iremos apresentar um Método Geral para se obter Leis Fortes dos Grandes Números e aplicá-lo em sequências de variáveis aleatórias Positivamente e Negativamente Associadas. Faremos uma comparação entre a demonstração de um teorema clássico de Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias independentes e suas versões para variáveis aleatórias Positivamente e Negativamente Associadas. ApresentareSn , no caso de variáveis aleatórias mos um resultado sobre a taxa de convergência de n Positivamente Associadas. Palavras chave: Lei Forte dos Grandes Números, Variáveis Aleatórias Associadas, Taxa de convergência. iv Abstract In this dissertation we will present a General Method in order to obtain Strong Laws of Large Numbers and we will apply it in sequences of positively and negatively associated random variables . We will make a comparison among the proof of a classical Strong Law of Large Numbers Theorem for independent random variables and its versions for positively and negatively associated random variables. We will present a result on the Sn , in the case of positively associated random variables. convergence rate of n Key words: Strong Law of Large Numbers, Associated Random Variables, Convergence rate. v Sumário Lista de Notações 1 Introdução 2 1 Um Método Geral para a Lei Forte dos Grandes Números 6 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Variáveis Aleatórias Positivamente Associadas e Lei Forte dos Grandes Números 19 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares . . 20 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Taxa de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Variáveis Aleatórias Negativamente Associadas e Lei Forte dos Grandes Números 41 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências . . . . . . . . 48 Apêndice 53 A Demonstração do Teorema de Lei Forte dos Grandes Números para v.a.’s Independentes Bibliografia 53 56 Lista de Notações v.a.’s - variáveis aleatórias. L.F.G.N. - Lei Forte dos Grandes Números. h(x) ց - h(x) é não-crescente. h(x) ր - h(x) é não-decrescente. PA - Positivamente Associadas (Definição pag. 20 ). NA - Negativamente Associadas (Definição pag. 40 ). Introdução O conceito de variáveis aleatórias Positivamente Associadas (associadas, na terminologia original) foi introduzido na literatura estatística por Lehmann [22] em 1966. Em 1967, devido à sua aplicação em Teoria da Confiabilidade, Esary et. al. [17] no artigo Association of Random Variables, with Applications, também introduziram a noção de associação. O mesmo conceito foi usado em Mecânica Estatística sob o nome de desigualdades FKG, iniciais dos autores Fortuin, Kasteleyn, Ginibre em 1971 [19]. Discussões extensas sobre associação também podem ser encontradas em livros recentes e monografias, por exemplo Cohen e Sackrowitz [14, 15]. Newman [23] foi o primeiro a estabelecer o Teorema do Limite Central para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. Outros importantes trabalhos do mesmo autor, individualmente ou em conjunto são Newman [24] e Newman e Wright [25, 26]. Há uma melhoria significativa no número de contribuições do ponto de vista de probabilidade e estatística. Algumas delas são representadas pelos artigos de Cox e Grimmett [16], Birkel [4, 5, 6], Bagai e Prakasa Rao [2, 3], Roussas [28, 29, 30, 31, 32], Yu [35] e Cai e Roussas [7, 8, 9, 10]. ∗ Este trabalho é baseado principalmente no artigo A General Method to the Strong Law of Large Numbers and its Applications, dos autores Shanchao Yang, Chun Su e Keming Yu [34]. O objetivo é descrever um resultado geral sobre a Lei Forte dos Grandes Números e aplicá-lo em sequências de variáveis aleatórias Positivamente Associadas e Negativamente Associadas. Para isso, consideraremos versões do seguinte teorema para variáveis aleatórias independentes: ∗ As referências deste parágrafo, foram tiradas da Introdução de [20]. Introdução 3 Teorema 0.1. Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes com EXn = 0 para cada n, e 0 < bn ↑ ∞. Seja ϕ : R −→ R+ uma função par e contínua em R tal que ϕ(x) ր, |x| Então n 1 X Xj → 0 bn j=1 ϕ(x) ց, quando |x| ↑ ∞ e x2 ∞ X E(ϕ(Xn )) n=1 ϕ(bn ) < ∞. q.c. Observe que no teorema acima, se considerarmos ϕ(x) = x2 e bn = n obtemos a 1a Lei Forte de Kolmogorov, que é clássica nos estudos de probabilidade. Ela é um dos casos mais práticos de Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias independentes. Mas nem sempre é possível se ter a independência das variáveis aleatórias, por isso há diversos estudos sobre variáveis aleatórias dependentes. Em nosso trabalho, iremos tratar de um tipo de dependência. Apresentaremos versões do teorema acima para variáveis aleatórias Positivamente Associadas e Negativamente Associadas: (i) Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente Associadas com EXn = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, com lim ϕ(x) = ∞, e x→∞ tal que (a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e (b) ϕ(x) ց, x → ∞ ou x ϕ(x) ϕ(x) րe ց, x → ∞. x x2 Suponha que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos que satis∞ X 1 b2n ≤ c < ∞, para algum c > 1, para todo n ≥ 1, e que u 2 (2i ) < ∞ faça 1 ≤ bn i=1 X Cov(Xi , Xj ). Adicionalmente suponha que onde u(n) = sup i≥1 ∞ X b−2 n j:j−i≥n < ∞, n=1 Então Sn → 0 q.c. bn ∞ X E(ϕ(Xn )) n=1 ϕ(bn ) <∞ e ∞ X n=1 b−2 n b2j E(ϕ(Xj )) < ∞. max 1≤j≤n ϕ(bj ) Introdução 4 (ii) Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas com EXn = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, com lim ϕ(x) = ∞, e x→∞ tal que (a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e ϕ(x) ց, x → ∞ ou x ϕ(x) ϕ(x) րe ց, x → ∞. x x2 Suponha que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos que satis(b) faça 1 ≤ b2n ≤ c < ∞, para algum c > 1, para todo n ≥ 1, e que bn ∞ X E(ϕ(Xj )) j=1 Então, ϕ(bj ) ∞ X <∞ e n−1 b−2 n n=1 n X b2j E(ϕ(Xj ) < ∞. ϕ(b ) j j=1 Sn → 0 q.c. bn No Capítulo 1, apresentaremos um método eficaz para se obter a Lei Forte dos Grandes Números. Neste método, em nenhum momento vamos mencionar sobre a dependência das variáveis aleatórias envolvidas. Este método é muito importante para o nosso trabalho, pois ele é a chave principal das demonstrações dos teoremas sobre Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas e Negativamente Associadas. Em tal método, vamos considerar {bn } uma sequência não-decrescente de números posib2n tivos com 1 ≤ ≤ c < ∞, para algum c>1, e se para um dado ε > 0, bn ∞ X n=1 −1 n P max |Sj | ≥ bn ε 1≤j≤n ≤ K < ∞, onde K > 0 é uma constante, então max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn = 0 q.c. Como implicações deste método, provaremos que ele também vale se {αj : j ≥ 1} é não-decrescente e as condições r X n ∞ X αj < ∞, E max |Sk | ≤ αj e r 1≤k≤n b j j=1 j=1 valem, para r > 0, e para bn = nα l(n), onde α > 0 e l(n) é uma sequência não- Introdução 5 l(tn) → 1, quando t → ∞. l(t) b2n Demonstraremos também uma versão deste método para o caso em que é crescente e bn decrescente definida em (0, ∞) e lentamente variante, isto é, ilimitada. No Capítulo 2, Seção 2.1, apresentaremos a definição de variáveis aleatórias Positivamente Associadas e alguns resultados preliminares, como por exemplo o Lema 2.3 que será de grande importância na demonstração do Teorema 2.5. Na Seção 2.2, demonstraremos o teorema da Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas, que nada mais é do que uma versão do Teorema 0.1. Para tal demonstração, precisaremos da noção de sequências equivalentes que é apresentada na Definição 2.7. Após sua demonstração, faremos uma observação interessante, a qual iremos comparar as demonstrações do teorema para variáveis aleatórias Positivamente Associadas com o Teorema 0.1. Em seguida, vamos mostrar algumas consequências, como a prova de um resultado para variáveis aleatórias independentes usando o teorema para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. Isto é possível pois variáveis aleatórias independentes são Positivamente Associadas. Finalmente, na Seção 2.3, faremos uma discussão Sn sobre a taxa de convergência de . n No Capítulo 3, Seção 3.1, apresentaremos a definição de variáveis aleatórias Negativamente Associadas e alguns resultados preliminares, como o lema que nos auxiliará na demonstração do Teorema 3.8. Para a demonstração deste lema, utilizamos resultados sobre variáveis aleatórias Negativamente Associadas que podem ser encontrados em [33, 11]. Na Seção 3.2, demonstraremos o Teorema 3.8, que como no Capítulo 2, é uma versão do Teorema 0.1 para variáveis aleatórias Negativamente Associadas. Capítulo 1 Um Método Geral para a Lei Forte dos Grandes Números Neste capítulo vamos apresentar um método eficaz para obter Leis Fortes dos Grandes Números. Em tal método, precisamos apenas que {bn } seja uma sequência não-decrescente b2n ≤ c < ∞, para algum c>1 e que de números positivos com 1 ≤ bn ∞ X n=1 −1 n P max |Sj | ≥ bn ε 1≤j≤n ≤ K < ∞, para ε > 0 e K > 0 (constante). Como consequências desse Método, demonstraremos dois corolários. Além disso, vamos demonstrar uma versão deste método para uma sequência ! b2n é crescente e ilimitada . de números positivos {bn } geometricamente crescente isto é, bn Em todo o trabalho, {Xj , j ≥ 1} denotará uma sequência de v.a.’s definidas no espaço n X de probabilidade (Ω, F, P ) e Sn = Xj . j=1 Neste e nos próximos capítulos, vamos considerar, a menos que se diga o contrário, b2n que {bn } é uma sequência não-decrescente de números positivos com 1 ≤ ≤ c < ∞, bn para algum c > 1, para todo n ≥ 1. 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 7 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências O teorema a seguir é um método geral da Lei Forte dos Grandes Números. A grande importância deste método é que não é necessário ter como hipótese a dependência ou independência das v.a.’s envolvidas. Teorema 1.1. (Método Geral) Suponha que {bn } satisfaça as condições acima e que para um dado ε > 0, ∞ X −1 n P n=1 max |Sj | ≥ bn ε ≤ K < ∞, (1.1) 1≤j≤n onde K > 0, é uma constante. Então max |Sj | lim 1≤j≤n Demonstração: Vamos provar inicialmente que ∞ X P k=1 X k −1 (2 ) 2k ≤ n< 2k+1 = 2k+1 X−1 n=2k Então, ∞ ∞ X X = P max |Sj | > ε b2k k=1 1≤j≤2k k=1 = ∞ X k=1 + 2k ≤ max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k k=1 < ∞. Observe que, 1 1 = k (2k+1 − 2k ) = 2 − 1 = 1. k 2 2 X (2 ) P X k −1 n< k −1 2k+1 (2 ) P 2k ≤ n< 2k+1 n par ∞ X (1.2) q.c. =0 bn n→∞ X k −1 max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k max |Sj | > ε b2k + 1≤j≤2k (2 ) P 2k ≤ n< 2k+1 n ímpar max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k Usando o fato que 2k ≤ n, temos ⇒ max |Sj | ≤ max |Sj | ⇒ max |Sj | > ε b2k ⊂ max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k 1≤j≤n P Consequentemente, 1≤j≤n 1≤j≤2k max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k ≤P max |Sj | > ε b2k . 1≤j≤n 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências ∞ X P k=1 max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k ≤ ∞ X k=1 + X 8 k −1 (2 ) P 2k ≤ n< 2k+1 n par ∞ X k=1 X max |Sj | > ε b2k + 1≤j≤n k −1 (2 ) P 2k ≤ n< 2k+1 n ímpar max |Sj | > ε b2k 1≤j≤n Observe agora que: 2k ≤ n < 2k+1 2k + 1 ≤ n + 1 ≤ 2k+1 ⇒ n+1 2k+1 ≤ 2 2 ⇒ ⇒ n+1 ≤ 2k 2 n n+1 n < ≤ 2k . Usando a desigualdade < 2k , podemos concluir que se 2 2 2 max |Sj | > ε b2k então max |Sj | > ε b n2 , daí e logo, 1≤j≤n 1≤j≤n P max |Sj | > ε b2k 1≤j≤n Agora, usando a desigualdade ≤P max |Sj | > ε b n2 1≤j≤n . n+1 ≤ 2k , teremos 2 max |Sj | > ε b2k ⇒ 1≤j≤n max |Sj | > ε b n+1 1≤j≤n 2 e portanto P max |Sj | > ε b2k 1≤j≤n Assim, ∞ ∞ X X ≤ P max |Sj | > ε b2k k=1 1≤j≤2k k=1 + b n2 ≤ bn ≤ c b n2 X 2k ≤ n< 2k+1 n par ∞ X k=1 Observe que: ≤P X max |Sj | > ε b n+1 1≤j≤n n −1 2 2k ≤ n< 2k+1 n ímpar 2 P n −1 2 max |Sj | > ε b n2 1≤j≤n P ⇒ b n2 ≥ c−1 bn ⇒ ε b n2 ≥ ε c−1 bn max |Sj | > ε b n2 ⇒ max |Sj | > ε c−1 bn =⇒ 1≤j≤n + max |Sj | > ε b n+1 1≤j≤n então, 1≤j≤n . 2 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências max |Sj | > ε b n2 1≤j≤n P Também temos, max |Sj | > ε b n2 1≤j≤n b n+1 ≤ bn+1 ≤ c b n+1 2 2 ⊂ 9 max |Sj | > ε c −1 1≤j≤n ≤ P bn max |Sj | > ε c =⇒ −1 bn . 1≤j≤n ⇒ b n+1 ≥ c−1 bn+1 ⇒ ε b n+1 ≥ ε c−1 bn+1 2 2 Desenvolvendo como acima, chegamos a: P max |Sj | > ε b n+1 1≤j≤n 2 Então: ∞ ∞ X X ≤ 2 P max |Sj | > ε b2k k=1 1≤j≤2k k=1 + 2 ≤ P max |Sj | > ε c 1≤j≤n X −1 n P 2k ≤ n< 2k+1 n par ∞ X k=1 −1 X bn+1 . max |Sj | > ε c −1 1≤j≤n −1 n P 2k ≤ n< 2k+1 n ímpar bn + −1 max |Sj | > ε c bn+1 . 1≤j≤n Como bn é uma sequência não-decrescente de números positivos, segue que bn ≤ bn+1 ⇒ ε c−1 bn ≤ ε c−1 bn+1 =⇒ max |Sj | > ε c−1 bn+1 ⇒ max |Sj | > ε c−1 bn =⇒ 1≤j≤n P max |Sj | > ε c −1 1≤j≤n bn+1 Portanto, ∞ ∞ X X ≤ 2 P max |Sj | > ε b2k k=1 1≤j≤2k k=1 + 2 k=1 ≤ 2 ≤ P X max |Sj | > ε c 1≤j≤n −1 n P 2k ≤ n< 2k+1 n par ∞ X ∞ X 1≤j≤n X −1 n P k=1 2k ≤ n< 2k+1 −1 n P bn . max |Sj | > ε c 1≤j≤n 2k ≤ n< 2k+1 n ímpar X −1 −1 bn + −1 max |Sj | > ε c bn 1≤j≤n −1 max |Sj | > ε c bn 1≤j≤n 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências ∞ X k=1 P max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k X ≤ 2 −1 10 max |Sj | > ε c bn + 2≤n<4 X −1 −1 n P max |Sj | > ε c bn + + 2 1≤j≤n 4≤n<8 X −1 −1 + 2 n P max |Sj | > ε c bn + · · · n P 1≤j≤n 1≤j≤n 8≤n<16 = 2 ∞ X −1 n P n=2 Pelo Lema de Borel-Cantelli, P max |Sj | > ε b2k 1≤j≤2k −1 =0 ⇒ P quando k → ∞. −1 max |Sj | > ε c bn 1≤j≤n < ∞ por (1.1). Sj Sj max > ε = 0 ⇒ max → 0 q.c. 1≤j≤2k b2k 1≤j≤2k b2k Sj Sj Além disso, max max ≤ max max pois como n ≤ 2k , temos 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn 2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k bn Sj Sj max ≤ max . 1≤j≤n bn 1≤j≤2k bn Agora veja que k−1 2 < n ⇒ b2k−1 ≤ bn logo, Sj Sj ⇒ max ≤ max 1≤j≤2k bn 1≤j≤2k b2k−1 Observe agora que: Sj Sj ⇒ ≤ bn b2k−1 Sj Sj . max max ≤ max max 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn 2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k b2k−1 b2k−1 ≤ b2k ≤ c b2k−1 ⇒ c−1 b2k ≤ b2k−1 ⇒ Sj b k−1 ≤ c 2 Então, Sj max max ≤ c 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn Sj ⇒ b k 2 Sj ≤ c max Sj . max 1≤j≤2k b2k−1 1≤j≤2k b2k Sj Sj max max = c max → 0 q.c (k → ∞). 1≤j≤2k b2k 2k−1 <n≤2k 1≤j≤2k b2k Sj Observe que max depende apenas do termo j, enquanto que 1≤j≤n bn Sj max max 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 11 Sj depende dos termos n e j. Logo, max é uma subsequência de 1≤j≤n bn portanto, Sj max → 0 q.c (n → ∞). 1≤j≤n bn Sj max max e 2k−1 <n≤2k 1≤j≤n bn Como consequências do teorema acima, vamos demonstrar dois corolários. Corolário 1.2. Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6) e que existam r > 0 (r ∈ R) e uma sequência {αj : j ≥ 1} não-decrescente tais que r X n ∞ X αj E max |Sk | ≤ αj e < ∞, 1≤k≤n br j=1 j=1 j então max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n q.c. =0 bn Demonstração: Pela desigualdade de Markov e a primeira condição acima, temos que P max |Sk | > bn ε 1≤k≤n E ≤ ≤ = r max |Sk | 1≤k≤n 1 εr brn 1 εr brn εr n X αj j=1 n X αj b−r n . j=1 Assim, ∞ X n=1 −1 n P max |Sk | > bn ε 1≤k≤n ≤ ∞ X n=1 n −1 n 1 X αj b−r n εr j=1 ∞ n 1 XX αj n−1 b−r = r n ε n=1 j=1 n ∞ 1 X −1 −r X = r αj n bn ε n=1 j=1 (1.3) (1.4) 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 12 e como {αj : j ≥ 1} é não-decrescente, temos n X (1.5) αj = α1 + α2 + · · · + αn ≤ nαn j=1 Substituindo (1.5) em (1.4) temos n ∞ ∞ ∞ X X 1 X −1 −r X −1 −r αj ≤ n bn nαn = n bn αn b−r n < ∞, pela segunda condição. εr n=1 n=1 n=1 j=1 Portanto, como ∞ X −1 n P n=1 max |Sk | > bn ε 1≤k≤n < ∞, pelo Teorema 1.1, temos que max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn = 0 q.c. Corolário 1.3. Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6) e que para bn = nα l(n) as condições r X n ∞ X αj E max |Sk | ≤ αj e < ∞, 1≤k≤n br j=1 j=1 j valem, para r > 0, para algum α > 0 e onde l(n) é uma sequência não-decrescente definida em (0, ∞) e lentamente variante, isto é, l(tn) → 1, quando t → ∞. Então l(t) max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn =0 q.c. Para a demonstração deste corolário, vamos enunciar o seguinte resultado que pode ser encontrado em [18]. Teorema 1.4. Seja Z > 0 lentamente variante. Então p < −1 e diverge, se p > −1. Z x ∞ y p Z(y) dy converge, se 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 13 Demonstração do Corolário 1.3 : α r j l(j) Dado j ≥ 1, seja k(n) = . Então, k(n) é lentamente variante, pois para l(n) todo t ≥ 1, k(tn) = k(t) l(n) j α l(j) · α l(tn) j l(j) r = l(n) l(tn) r → 1, quando t → ∞. Assim, pelo teste da integral e o Teorema 1.4, ∞ X n−1−αr k(n) < ∞, pois − 1 − αr < −1. n=1 Portanto, como {bn } satisfaz as condições fixadas no preâmbulo deste capítulo (pag. 6), ∞ X n −1 n=j ∞ X j α l(j) nα l(n) r ≤ ∞ X n−1−αr k(n) ⇒ n=1 n−1 n−αr (l(n))−r ≤ Cj −αr (l(j))−r ⇒ n=j ∞ X −r n−1 b−r n ≤ Cbj . (1.6) n=j E assim, ∞ X n X −1 −r αj n−1 b−r = 1−1 b−r b2 (α1 + α2 )+ 1 (α1 ) + 2 n n=1 j=1 + 3−1 b−r 3 (α1 + α2 + α3 ) + · · · + + k −1 b−r k (α1 + α2 + · · · + αk ) + · · · = α1 ∞ X n −1 b−r n + α2 n=1 + αk = ∞ X j=1 αj ∞ X n=2 ∞ X n=k ∞ X n −1 b−r n + α3 ∞ X n=3 n−1 b−r n + ··· n−1 b−r n n=j E usando (1.6) ∞ X n ∞ X X −1 −r αj n bn ≤ C αj b−r j < ∞, pela segunda condição. n=1 j=1 j=1 n−1 b−r n + ···+ 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 14 Portanto, como de (1.3) ∞ X n=1 temos que −1 n P ∞ n 1 XX max |Sk | > bn ε ≤ r αj n−1 b−r n , 1≤k≤n ε n=1 j=1 ∞ X −1 n P n=1 e pelo Teorema 1.1, max |Sk | > bn ε < ∞ 1≤k≤n max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn = 0 q.c. Agora, vamos verificar a validade do limite, max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn = 0 q.c. quando bn for geometricamente crescente. Um exemplo de uma sequência geometricab2n mente crescente, é o seguinte: bn = ρn para algum ρ > 1. Teremos que é crescente, bn mas ilimitada. Mas antes, vamos enunciar e provar o seguinte Lema 1.5. Sejam x1 , x2 , · · · , xn ≥ 0. Então, para 0 < r ≤ 1, vale (x1 + x2 + · · · + xn )r ≤ xr1 + xr2 + · · · + xrn Demonstração: Se r = 1, temos que a desigualdade é satisfeita. Vamos então demonstrar para o caso em que 0 < r < 1. Seja f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn . Vamos mostrar que f (x1 ) ≤ 0 para todo x1 ≥ 0 e x2 , ..., xn constantes. Se n = 2, temos: f (x1 ) = (x1 + x2 )r − xr1 − xr2 , x1 ≥ 0. Observe que f (0) = xr2 − xr2 = 0 e f ′ (x1 ) = r(x1 + x2 )r−1 − rx1r−1 = r[(x1 + x2 )r−1 − x1r−1 ] e como x1 + x2 ≥ x1 e 0 < r < 1 implica em −1 < r − 1 < 0, isto é, r − 1 < 0, então (x1 + x2 )r−1 ≤ x1r−1 , para todo x1 ≥ 0. Portanto, f ′ (x1 ) < 0, ou seja, f (x1 ) é decrescente. 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 15 Logo, f (x1 ) ≤ f (0) = 0, para todo x1 ≥ 0. Logo, (x1 + x2 )r ≤ xr1 + xr2 . Se n = 3, temos: f (x1 ) = (x1 + x2 + x3 )r − xr1 − xr2 − xr3 , x1 ≥ 0. Observe que f (0) = (x2 +x3 )r −xr2 −xr3 ≤ xr2 +xr3 −xr2 −xr3 = 0 e ainda que f ′ (x1 ) = r(x1 + x2 +x3 )r−1 −rx1r−1 = r[(x1 +x2 +x3 )r−1 −x1r−1 ]. Como x1 +x2 +x3 ≥ x1 e r −1 < 0, então (x1 +x2 +x3 )r−1 ≤ x1r−1 , para todo x1 ≥ 0. Portanto, f ′ (x1 ) < 0, isto é, f (x1 ) é decrescente. Então f (x1 ) ≤ f (0) ≤ 0, para todo x1 ≥ 0. Logo, (x1 + x2 + x3 )r ≤ xr1 + xr2 + xr3 . Suponha agora por indução que o resultado seja válido para n termos. Então f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn ≤ 0, para todo x1 ≥ 0. Vamos provar que é válido para n + 1. Temos que, f (x1 ) = (x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r − xr1 − xr2 − · · · − xrn − xrn+1 . Observe que f (0) = (x2 + · · · + xn + xn+1 )r − xr2 − · · · − xrn − xrn+1 ≤ 0, pela hipótese de indução e que f ′ (x1 ) = r[(x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r−1 − x1r−1 ] < 0, para todo x1 ≥ 0, logo f é decrescente. Então, f (x1 ) ≤ f (0) ≤ 0, para todo x1 ≥ 0. Portanto, (x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r ≤ xr1 + xr2 + · · · + xrn + xrn+1 . Teorema 1.6. Seja {bn } uma sequência não-decrescente de números positivos tal que é crescente e ilimitada. Se sup E|Xj |r < ∞ para algum 0 < r < 1, então b2n bn j≥1 max |Sj | lim n→∞ 1≤j≤n bn =0 q.c. Demonstração: b2n Como é crescente e ilimitada, temos que para cada M > 0, existe no = no (M ) bn b2n ≥ M, para todo n ≥ no . Sem perda de generalidade, vamos assumir que tal que bn b2k ≥ M, para cada k > 1 então, b2k−1 b2k ≥ M b2k−1 ≥ M 2 b2k−2 ≥ M 3 b2k−3 ≥ · · · ≥ M k b1 . (1.7) 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 16 Pela Desigualdade de Markov, temos: ∞ X P max |Sj | > ε bn ≤ ∞ E X r max |Sj | 1≤j≤n εr brn r ∞ 1 X −r b E max |Sj | . = r 1≤j≤n ε n=1 n r Observe que a função f (x) = x para x ≥ 0 é estritamente crescente. Logo como |Sj | ≥ 0, r temos que max |Sj | = max |Sj |r , para todo r > 0, e assim, n=1 1≤j≤n 1≤j≤n n=1 1≤j≤n ∞ X P n=1 Afirmação 1.7. E max |Sj | > ε bn 1≤j≤n max |Sj |r 1≤j≤n ≤ E ∞ 1 X −r r ≤ r b E max |Sj | . 1≤j≤n ε n=1 n n X |Xj |r j=1 ! (1.8) , onde 0 < r < 1. r r De fato, seja J = min 1 ≤ jo ≤ n; max |Sj | = |Sjo | . Para J = jo , temos que 1≤j≤n r r r r max |Sj | = |Sjo | e para 1 ≤ j < jo , max |Sj | > |Sj | . ! 1≤j≤n n n X X r r |Xj | = E E |Xj |r E E max |Sj | J eE 1≤j≤n 1≤j≤n j=1 E j=1 max |Sj |r 1≤j≤n ≤ E 1≤j≤n r E E |Sjo | J = jo ≤E Então, se mostrarmos que n X E 1≤j≤n j=1 E n X j=1 E n X j=1 ! |Xj |r J = jo n X j=1 = ⇔ !! !! r Como E max |Sj | 1≤j≤n !! , então J r |Xj | J r |Xj | J = jo E |Sjo |r | J = jo ≤ E |Xj |r j=1 r E E max |Sj | J ≤E r ≤E E E max |Sj | J = jo n X !! ⇔ para todo jo = 1, ..., n ⇔ para todo jo = 1, ..., n. |Xj |r J = jo ! 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências 17 completamos a prova da afirmação. Observe que: E (|Sjo |r | J = jo ) = E (|X1 + · · · + Xjo |r | J = jo ) ≤ E [(|X1 | + · · · + |Xjo |)r | J = jo ] ≤ E [(|X1 |r + · · · + |Xjo |r ) | J = jo ] pelo Lema 1.5 ≤ E [(|X1 |r + · · · + |Xjo |r + |Xjo +1 |r + · · · + |Xn |r ) | J = jo ] ! n X = E |Xj |r J = jo , j=1 portanto, E r max |Sj | 1≤j≤n n X ≤ E P n=1 |Xj | j=1 finalizando a prova da afirmação. Logo, voltando à equação (1.8), ∞ X r max |Sj | > ε bn 1≤j≤n ! = n X E (|Xj |r ) , j=1 n ∞ 1 X −r X E (|Xj |r ) . b εr n=1 n j=1 ≤ Observe agora que n X E (|Xj |r ) = E|X1 |r + E|X2 |r + · · · + E|Xn |r ≤ n sup E (|Xj |r ) < ∞ j≥1 j=1 por hipótese. Então, chamando N = sup E (|Xj |r ) , teremos: j≥1 ∞ X P n=1 max |Sj | > ε bn 1≤j≤n ∞ X 1 ≤ r N n b−r n ε n=1 Veja que: ∞ X X n b−r n n=1 k=1 2k−1 ≤n<2k e então, ∞ X n=1 = 1 X P n b−r n + 3 X n=2 max |Sj | > ε bn 1≤j≤n n b−r n + 7 X n b−r n + ··· = n=4 ∞ NX ≤ r ε k=1 ∞ X n b−r n n=1 X n b−r n . 2k−1 ≤n<2k Temos agora que se n < 2k então n ≤ 2k e também, se 2k−1 ≤ n então b2k−1 ≤ bn , pois bn 1.1 Um Método Geral e algumas Consequências é não-decrescente. Logo, ∞ X P n=1 18 1 1 ≤ portanto, bnr b2rk−1 max |Sj | > ε bn 1≤j≤n ∞ NX εr k=1 ≤ X 2k b−r 2k−1 2k−1 ≤n<2k Desenvolvendo o segundo somatório da desigualdade anterior, obtemos X 22k−1 2k 2k−1 (2 − 1) = b−r 2k (2k − 2k−1 ) = b−r = b−r 2k b−r 2k−1 2k−1 2k−1 2k−1 2k−1 ≤n<2k 2 b−r 22k−2 = 2 b−r 22(k−1) 2k−1 2k−1 = e assim, ∞ X P n=1 max |Sj | > ε bn 1≤j≤n De (1.7), M b2k−1 ≥ M k b1 e então, b2k−1 ≥ M k−1 b1 ⇒ 1 b2rk−1 ≤ ∞ 2N X −r ≤ b k−1 22(k−1) εr k=1 2 1 (M k−1 b1 )r ⇒ b−r ≤ M −r(k−1) b−r 1 2k−1 o que implica em ∞ X P n=1 max |Sj | > ε bn 1≤j≤n ∞ X 2N b−r 1 ≤ M −r(k−1) 22(k−1) εr k=1 k−1 ∞ X 4 2N = . (b1 ε)r k=1 M r 1 Finalmente, tomando M = 5 r , teremos ∞ X n=1 P max |Sj | > ε bn 1≤j≤n ∞ k−1 2N 4 16 2N X 4 = 1+ + + ··· ≤ (b1 ε)r k=1 5 (b1 ε)r 5 25 2N 1 10N 2N = .5 = <∞ = 4 r r (b1 ε) 1 − 5 (b1 ε) (b1 ε)r Portanto pelo Lema de Borel-Cantelli, obtemos: Sj max → 0 q.c. (n → ∞) 1≤j≤n bn Capítulo 2 Variáveis Aleatórias Positivamente Associadas e Lei Forte dos Grandes Números Na terminologia original, variáveis aleatórias Positivamente Associadas eram chamadas apenas de variáveis aleatórias Associadas. Este conceito, foi introduzido na literatura estatística por Lehmann [22] em 1966. Esary et. al. [17] em 1967, também introduziram o conceito de associação apresentando vários resultados sobre variáveis aleatórias Positivamente Associadas e algumas aplicações em probabilidade e estatística. A motivação destes autores decorreu da grande importância da Teoria da Confiabilidade. Por exemplo, se assumirmos que os tempos de duração dos componentes de um determinado equipamento são variáveis aleatórias, as mesmas são independentes, mas em alguns casos é mais interessante assumir algum tipo de dependência entre as variáveis, pois a falha de um determinado componente pode afetar o desempenho dos outros. Então é necessário propor um modelo para a confiabilidade, de um sistema que resulta em componentes com um tipo de dependência. Em Mecânica Estatística, este mesmo conceito foi usado sob o nome de desigualdades FKG, tirado das iniciais dos autores Fortuin, Kasteleyn, Ginibre em 1971 [19]. Este capítulo está dividido em três seções, na primeira definiremos variáveis aleatórias Positivamente Associadas e iremos provar alguns resultados preliminares. Na segunda seção, aplicaremos o Teorema 1.1 para provar a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. Em seguida, apresentaremos algumas implicações do referido teorema. Na terceira seção, iremos discutir sobre a taxa de convergência 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares de 20 Sn . n 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares Nesta seção vamos definir variáveis aleatórias Positivamente Associadas e demonstrar dois lemas, onde o segundo, é de grande importância para a demonstração do teorema da próxima seção. Definição 2.1. As v.a.’s X1 , ..., Xn são ditas Positivamente Associadas (PA) se para cada n e f, g : Rn −→ R crescentes em cada coordenada Cov(f (X1 , X2 , ..., Xn ), g(X1 , X2 , ..., Xn )) ≥ 0, sempre que existir a covariância. Lema 2.2. Sejam {Xj , 1 ≤ j ≤ n} variáveis aleatórias Positivamente Associadas, com EXj = 0 e EXj2 < ∞. Então E max 1≤j≤n Sj2 ≤ E(Sn2 ) onde, Sn = X1 + · · · + Xn . Demonstração: 2 2 Seja J = min 1 ≤ jo ≤ n; max Sj = Sjo . Para J = jo , temos que max Sj2 = Sj2o e 1≤j≤n 1≤j≤n para 1 ≤ j < jo , max Sj2 > Sj2 . Como E 1≤j≤n 2 E E(Sn | J) , então E max 1≤j≤n Sj2 ≤ E(Sn2 ) max Sj2 1≤j≤n 2 = E E max Sj J e E(Sn2 ) = 1≤j≤n 2 ⇔ E E max Sj J ≤ E E(Sn2 | J) ⇔ 1≤j≤n 2 E E max Sj J = jo ≤ E E(Sn2 | J = jo ) para todo jo = 1, ..., n ⇔ 1≤j≤n E E Sj2o J = jo ≤ E E(Sn2 | J = jo ) para todo jo = 1, ..., n. 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares 21 Então, se mostrarmos que 2 E Sjo J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ), o lema ficará provado. Observe que: E Sj2o J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ) ⇔ E (X1 + · · · + Xjo )2 | J = jo ≤ E (X1 + · · · + Xjo + · · · + Xn )2 | J = jo ⇔ jo X E(Xi2 | J = jo ) + 2 i=1 + E(X1 Xjo + E(X2 Xjo ≤ jo X + + + + + n X | J = jo ) + n X E(Xi2 | J = jo )+ i=jo +1 E(X1 X2 | J = jo ) + E(X1 X3 | J = jo ) + · · · + E(X1 Xjo | J = jo ) + · · · + E(X1 Xn | J = jo ) + E(X2 X3 | J = jo ) + E(X2 X4 | J = jo ) + · · · + E(X2 Xjo | J = jo ) + · · · + E(X2 Xn | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xjo | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xn | J = jo ) + E(Xjo Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo Xn | J = jo ) + · · · + E(Xn−1 Xn | J = jo ) ⇔ i=1 +2 + E(Xi2 E(X1 X2 | J = jo ) + E(X1 X3 | J = jo ) + · · · + | J = jo ) + E(X2 X3 | J = jo ) + E(X2 X4 | J = jo ) + · · · + | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xjo | J = jo ) ≤ i=jo +1 E(Xi2 | J = jo ) + 2 E(X1 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(X1 Xn | J = jo ) + + E(X2 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(X2 Xn | J = jo ) + · · · + + E(Xjo −1 Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo −1 Xn | J = jo ) + + E(Xjo Xjo +1 | J = jo ) + · · · + E(Xjo Xn | J = jo ) + · · · + + E(Xn−1 Xn | J = jo ) ≥ 0. Na expressão acima, observe que E(Xi2 | J = jo ) ≥ 0 e logo, n X E(Xi2 | J = jo ) ≥ 0 i=jo +1 e temos E(Xi Xk | J = jo ) = Cov[(Xi , Xj ) | J = jo ] ≥ 0, pois as variáveis aleatórias {Xj } são Positivamente Associadas. Portanto, todas as parcelas entre chaves, da expressão 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares 22 acima, são maiores que ou iguais a zero. Logo, 2 E Sjo J = jo ≤ E(Sn2 | J = jo ), e assim, E max 1≤j≤n Sj2 ≤ E(Sn2 ) Lema 2.3. Sejam {Xj , 1 ≤ j ≤ n} variáveis aleatórias Positivamente Associadas, com ∞ X X 1 2 Cov(Xi , Xj ). EXj = 0 e EXj < ∞. Suponha que u 2 (2i ) < ∞, onde u(n) = sup i≥1 i=1 j:j−i≥n Então existe uma constante C, que não depende de n, tal que E max 1≤j≤n Sj2 ≤C n max 1≤j≤n EXj2 +1 (2.1) Demonstração: Para cada n ≥ 1 dado, vamos definir: Yj = ( Xj se 1 ≤ j ≤ n 0 se j>n onde Y1 , ..., Yn têm as mesmas estruturas de dependência que X1 , ..., Xn . Denotaremos por k+n X 1 ||Y ||2 = (EY 2 ) 2 , Sk (n) = Yi e σm = sup ||Sk (m)||2 . k≥0 i=k+1 Afirmação 2.4. σ12 = max E(Xj2 ). 1≤j≤n De fato, 1 σ1 = sup ||Sk (1)||2 = sup[E(Sk (1))2 ] 2 = sup E k≥0 k≥0 k≥0 Chamando j = k + 1, teremos que j ≥ 1 e logo 1 k+1 X i=k+1 !2 12 1 Yi = sup(E(Yk+1 )2 ) 2 . k≥0 1 σ1 = sup(E(Yj )2 ) 2 = sup (E(Xj )2 ) 2 . j≥1 1≤j≤n (2.2) 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares 23 1 Como a função f (x) = x 2 é estritamente crescente e EXj2 ≥ 0, segue que Então, σ1 = 12 1 = sup (E(Xj )2 ) 2 . sup (E(Xj ) ) 2 1≤j≤n 1≤j≤n 12 sup (E(Xj ) ) e como sup (E(Xj )2 ) é assumido, segue que 2 1≤j≤n 1≤j≤n σ12 = max (E(Xj )2 ), 1≤j≤n completando a prova da Afirmação 2.4. Seja agora l ≥ 1, temos que (2.3) Sk (2m) = Sk (m) + Sk+m+l (m) + Sk+m (l) − Sk+2m (l). De fato, note que Sk+m (l) + Sk+m+l (m) − Sk+2m (l) = = k+m+l X Yi + Yi − i=k+m+1 i=k+m+l+1 k+2m+l X k+2m+l X Yi − i=k+m+1 = k+2m+l X k+2m X k+2m+l X Yi i=k+2m+1 Yi i=k+2m+1 Yi . i=k+m+1 Assim, Sk (2m) = k+2m X Yi = Yk+1 + Yk+2 + · · · + Yk+m + Yk+m+1 + · · · + Yk+2m i=k+1 = k+m X i=k+1 Yi + k+2m X Yi i=k+m+1 = Sk (m) + Sk+m (l) + Sk+m+l (m) − Sk+2m (l). Portanto, de (2.3), segue que: ||Sk (2m)||2 = ||Sk (m) + Sk+m+l (m) + Sk+m (l) − Sk+2m (l)||2 ≤ ||Sk (m) + Sk+m+l (m)||2 + ||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2 onde a última expressão segue da desigualdade de Minkowski. Observe agora que, (2.4) 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares = ||Sk+2m (l)||2 Yi ≤ k+2m+l X i=k+2m+1 2 k+2m+l X ||Yi ||2 ≤ i=k+2m+1 k+2m+l X i=k+2m+1 1 = l sup ||Yj ||2 = l sup(EYj2 ) 2 = l σ1 j≥1 24 sup ||Yj ||2 j≥1 de (2.2) j≥1 Analogamente, ||Sk+m (l)||2 k+m+l X = Yi ≤ i=k+m+1 2 k+m+l X ||Yi ||2 ≤ i=k+m+1 k+m+l X i=k+m+1 sup ||Yj ||2 j≥1 = l sup ||Yj ||2 = l σ1 . j≥1 Logo, temos: ||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2 ≤ 2l σ1 . (2.5) Vamos agora desenvolver, 2 E Sk (m) + Sk+m+l (m) = = E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 + 2E(Sk (m)Sk+m+l (m)) (2.6) Observe que, 2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) = 2 E k+m X k+2m+l X Yi Yj i=k+1 j=k+m+l+1 k+m X = 2 k+2m+l X ! E(Yi Yj ). i=k+1 j=k+m+l+1 Como Cov(Yi , Yj ) = E(Yi Yj ) − E(Yi ) E(Yj ) = E(Yi Yj ), pois, por hipótese, EXj = 0 e da definição da variável aleatória Yj , segue que EYj = 0. Então, k+m X 2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) = 2 k+2m+l X Cov(Yi , Yj ) i=k+1 j=k+m+l+1 ≤ 2 k+m X ∞ X Cov(Yi , Yj ) i=k+1 j=k+m+l+1 onde a última desigualdade é verdadeira pois Cov(Yi , Yj ) ≥ 0 por hipótese. Observe agora que j − i ≥ k + m + l + 1 − (k + m) = l + 1 ≥ l, logo ∞ ∞ ∞ X X X Cov(Yi , Yj ) = Cov(Yi , Yj ) Cov(Yi , Yj ) ≤ sup j=k+m+l+1 j:j−i≥l = sup i≥1 ∞ X j:j−i≥l i≥1 Cov(Xi , Xj ) j:j−i≥l 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares 25 onde a última igualdade segue da definição da variável aleatória Yj . Então, como u(l) = ∞ X X sup Cov(Xi , Xj ), segue que Cov(Yi , Yj ) ≤ u(l). Logo, i≥1 j:j−i≥l j=k+m+l+1 2 E(Sk (m)Sk+m+l (m)) ≤ 2 k+m X u(l) = 2m u(l). (2.7) i=k+1 Observe agora que, E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 = ||Sk (m))||22 + ||Sk+m+l (m))||22 e temos 2 2 σm = sup ||Sk (m)||2 = sup ||Sk (m)||22 , pois ||Sk (m)||2 ≥ 0 e a função f (x) = x2 é k≥0 k≥0 crescente para x ≥ 0. Logo, 2 ||Sk (m)||22 ≤ sup ||Sk (m)||22 = σm k≥0 e da mesma forma, temos também que 2 ||Sk+m+l (m)||22 ≤ σm pois chamando k+m+l=q, temos 2 σm = sup ||Sq (m)||2 q≥0 2 = sup ||Sq (m)||22 . Então, q≥0 2 2 2 E(Sk (m))2 + E(Sk+m+l (m))2 ≤ σm + σm = 2 σm (2.8) Portanto, substituindo (2.7) e (2.8) em (2.6), obtemos: 2 E(Sk (m) + Sk+m+l (m))2 ≤ 2 σm + 2 m u(l) Voltando agora à expressão (2.4): ||Sk (2m)||2 ≤ ||Sk (m) + Sk+m+l (m)||2 + ||Sk+m (l)||2 + ||Sk+2m (l)||2 1 ≤ [E(Sk (m) + Sk+m+l (m))2 ] 2 + 2 l σ1 1 2 ≤ [2 σm + 2 m u(l)] 2 + 2 l σ1 de (2.5) de (2.9) 1 1 ≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 + 2 l σ1 1 1 1 2 pois pelo Lema (1.5), [2 σm + 2 m u(l)] 2 ≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 . Logo, 1 1 σ2m = sup ||Sk (2m)||2 ≤ 2 2 σm + [2 m u(l)] 2 + 2 l σ1 . k≥0 (2.9) 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares 1 1 26 1 Chamando l = [m 3 ] (função maior inteiro) e sabendo que [m 3 ] ≤ m 3 , teremos 1 1 1 1 σ2m ≤ 2 2 σm + [2 m u([m 3 ])] 2 + 2 m 3 σ1 . Tomando m = 2r−1 , segue que 1 σ2r ≤ 2 2 σ2r−1 + [2r u([2 1 = 2 2 σ2r−1 + 2 . 2 r−1 3 r−1 3 1 ])] 2 + 2 . 2 r r−1 3 1 σ1 + 2 2 u 2 ([2 σ1 r−1 3 ]). Observe agora que, se substituirmos σ2r−1 na equação acima, teremos: 1 1 σ2r ≤ 2 2 {2 2 σ2r−2 + 2 . 2 1 r−2 3 1 1 = 2 2 2 2 σ2r−2 + 2 2 2 . 2 r 1 + 2 2 u 2 ([2 1 r−1 3 σ1 + 2 r−2 3 r−1 2 1 u 2 ([2 1 σ1 + 2 2 2 r−1 2 r−2 3 ])} + 2 . 2 1 u 2 ([2 r−2 3 r−1 3 r 1 σ1 + 2 2 u 2 ([2 ]) + 2 . 2 r−1 3 r−1 3 ]) σ1 + ]) 1 1 = 2 2 2 2 σ2r−2 + 2 σ1 [2 2 2 r−2 3 +2 r−1 3 r 1 ] + 2 2 {u 2 ([2 r−2 3 1 ]) + u 2 ([2 r−1 3 ])} se substituirmos agora σ2r−2 na equação acima: 1 1 1 2 σ2r ≤ 2 2 2 2 2 2 σ2r−3 + 2 σ1 [2 2 2 1 + u 2 ([2 r−2 3 1 ]) + u 2 ([2 r−1 3 r−3 3 1 + 22 2 r−2 3 +2 r−1 3 r 1 ] + 2 2 {u 2 ([2 r−3 3 ])+ ])}. Repetindo este processo, chegaremos a: r σ2r ≤ 2 2 σ1 + 2 σ1 [2 r r−1 2 +2 1 r−2 2 1 2 23 + · · · + 22 2 1 1 r−1−i 2 i 3 1 + 2 2 {u 2 ([20 ]) + u 2 ([2 3 ]) + · · · + u 2 ([2 r 2 ≤ 2 σ1 + 2 σ1 r−1 X 2 2 +2 r 2 r−1 X 1 r−3 3 r−3 3 1 + 22 2 1 r−2 3 ]) + u 2 ([2 +2 r−2 3 i 1 2 j 3 u ([2 ]) = i=0 j=3i = 2 X j=0 ∞ X 1 2 j 3 u ([2 ]) + 5 X 1 2 j 3 u ([2 ]) + j=3 1 j 1 j u 2 ([2 3 ]) j=0 ≥ r−1 X u 2 ([2 3 ]) j=0 pois u(n) ≥ 0. Então, voltando à expressão (2.10): 8 X j=6 1 r−1 3 ])} (2.10) u 2 ([2 3 ]) Observe que: ∞ 3i+2 X X ]+ ]) + u 2 ([2 i=0 i=0 r−1 3 1 j u 2 ([2 3 ]) + · · · 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares r 2 σ2r ≤ 2 σ1 + 2 σ1 r−1 X 2 r−1−i 2 i 3 2 +2 r 2 i=0 " r = σ1 2 2 + 2 . 2 r−1 2 ∞ 3i+2 X X r−1 X i i # r 2− 2 + 3 + 2 2 ∞ h X 1 3i+1 3 1 u 2 ([2i ]) + u 2 ([2 1 ]) + u 2 ([2 i=0 Como u(n) é decrescente com respeito a n, 3i+1 3 j 1 u 2 ([2 3 ]) i=0 j=3i i=0 [2i ] ≤ [2 27 ] ⇒ u([2i ]) ≥ u([2 3i+1 3 1 1 ]) ⇒ u 2 ([2i ]) ≥ u 2 ([2 3i+1 3 3i+2 3 i ]) . ]) e o mesmo ocorre em 1 1 u 2 ([2i ]) ≥ u 2 ([2 3i+2 3 ]). Portanto, " r 2 σ2r ≤ σ1 2 + 2 ∞ X Por hipótese, 1 2 r+1 2 r−1 X − 6i 2 i=0 # r + 22 . 3 i u (2 ) ≤ C1 < ∞, e observe também que r−1 X − 6i 2 ≤ i=0 " r 2 σ2r ≤ σ1 2 + 2 ∞ X 1 u 2 (2i ). i=0 i=0 Como ∞ X r+1 2 ∞ X i=0 − 6i 2 # ∞ X i 2− 6 , logo i=0 r + 3 C1 2 2 . i 2− 6 ≤ C2 < ∞, segue que i=0 i h i h r r 1 r r 1 r σ2r ≤ σ1 2 2 + 2 2 2 2 C2 + 3 C1 2 2 = 2 2 σ1 1 + 2 2 C2 + 3 C1 ≤ Co 2 2 (σ1 + 1) n o 1 2 onde Co = max 1 + 2 C2 , 3 C1 . Portanto, como ambos os membros da desigualdade são maiores que ou iguais a zero, r σ2r ≤ Co 2 2 (σ1 + 1) ⇒ σ22r ≤ Co2 2r (σ1 + 1)2 = Co2 2r (σ12 + 1 + 2σ1 ) = Co2 2r (σ12 + 1) + Co2 2r 2σ1 2σ1 = Co2 2r (σ12 + 1) + Co2 2r 2 σ2 + 1 σ1 + 1 1 r 2 2 2 2σ1 . = 2 (σ1 + 1) Co + Co 2 σ1 + 1 2.1 Definição de v.a.’s Positivamente Associadas e Resultados Preliminares Como 28 2σ1 ≤ 1, segue que +1 σ12 σ22r ≤ 2r (σ12 + 1) 2 Co2 = C̄ 2r (σ12 + 1) (2.11) onde C̄ = 2 Co2 . Sabemos que para cada n ≥ 1 dado, existe um inteiro positivo r ≥ 0 tal que, 2r ≤ n < 2r+1 . Então, E(Sn )2 ≤ E(S2r+1 )2 . De fato, observe que E(Y1 + · · · + Yn )2 ≤ E(Y1 + · · · + Yn + · · · + Y2r+1 )2 ⇔ n X E(Yi )2 + 2[(E Y1 Y2 + E Y1 Y3 + · · · + E Y1 Yn )+ i=1 ≤ + (E Y2 Y3 + E Y2 Y4 + · · · + E Y2 Yn ) + · · · + E Yn−1 Yn ] ≤ r+1 n 2 X X 2 E(Yi ) + E(Yi )2 + i=1 i=n+1 + 2[(E Y1 Y2 + E Y1 Y3 + · · · + E Y1 Yn + · · · + E Y1 Y2r+1 )+ + (E Y2 Y3 + E Y2 Y4 + · · · + E Y2 Yn + · · · + E Y2 Y2r+1 ) + · · · + + (E Yn Yn+1 + · · · + E Yn Y2r+1 ) + (E Yn+1 Yn+2 + · · · + E Yn+1 Y2r+1 ) + · · · + + E Y2r+1 −1 Y2r+1 ] r+1 2 X ⇔ E(Yi )2 + 2[(E Y1 Yn+1 + · · · + E Y1 Y2r+1 )+ i=n+1 + (E Y2 Yn+1 + · · · + E Y2 Y2r+1 ) + · · · + (E Yn Yn+1 + · · · + E Yn Y2r+1 )+ + (E Yn+1 Yn+2 + · · · + E Yn+1 Y2r+1 ) + · · · + E Y2r+1 −1 Y2r+1 ] ≥ 0. Temos que E(Yi )2 ≥ 0 e logo, r+1 2 X E(Yi )2 ≥ 0 e como E(Yi Yj ) = Cov(Yi , Yj ) ≥ 0, segue i=n+1 que todas as parcelas entre os colchetes, da equação acima, são maiores que ou iguais a zero. Então, E(Sn )2 ≤ E(S2r+1 )2 = E(So (2r+1 ))2 ≤ sup E(Sk (2r+1 ))2 = σ22r+1 k≥0 r+1 ≤ C̄ 2 (σ12 + 1) = C̄ 2r . 2 (σ12 + 1). por (2.11) 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 29 Como 2r ≤ n e chamando 2 C̄ = C, temos: E(Sn )2 ≤ C n (σ12 + 1) onde C é uma constante que não depende de n. Logo, pelo Lema 2.2 E max 1≤j≤n Sj2 ≤ E(Sn2 ) ≤C n (σ12 + 1) = C n max 1≤j≤n E(Xj2 ) + 1 onde a última igualdade segue da Afirmação 2.4. 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências Nesta seção, iremos demonstrar o teorema sobre a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Positivamente Associadas, utilizando resultados sobre sequências equivalentes, Lema de Kronecker, Desigualdade de Chebyschev e o Método Geral do Capítulo 1. Apresentaremos um corolário que altera algumas hipóteses do teorema sobre a Lei Forte dos Grandes Números. Em seguida, provaremos que variáveis aleatórias independentes são Positivamente Associadas, para depois demonstrar um resultado para variáveis aleatórias independentes, usando o referido corolário. Teorema 2.5. Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente Associadas com E(Xn ) = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, tal que lim ϕ(x) = ∞, e x→∞ (a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e (b) ϕ(x) ց, x → ∞ ou x ϕ(x) ϕ(x) րe ց, x → ∞. x x2 Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo do Capítulo 1 (pag. 6) e X Cov(Xi , Xj ) satisfaz as condições do Lema 2.3 (pag. 22). Adique u(n) = sup i≥1 j:j−i≥n cionalmente suponha que ∞ X b−2 n < ∞, (2.12) n=1 ∞ X E(ϕ(Xn )) n=1 ϕ(bn ) <∞ e (2.13) 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências ∞ X n=1 Então bn−2 30 b2j E(ϕ(Xj )) < ∞. max 1≤j≤n ϕ(bj ) Sn −→ 0 q.c. bn (2.14) (2.15) Observação 2.6. Pela Desigualdade de Chebyschev, temos ∞ 2 X b2j E(ϕ(Xj )) −2 b P (|X | > b ) ≤ b max b−2 max j j j n n 1≤j≤n 1≤j≤n ϕ(bj ) n=1 n=1 ∞ X e de I[|Xj |≤bj ] ≤ 1, ∞ X ∞ 2 X b E ϕ(X ) I b2j E(ϕ(Xj )) j [|X |≤b ] j j j −2 bn max ≤ . b−2 max n 1≤j≤n 1≤j≤n ϕ(bj ) ϕ(bj ) n=1 n=1 Então como a condição (2.14) implica nas condições ∞ X n=1 ∞ X n=1 2 b−2 n max bj P (|Xj | > bj ) < ∞ e b−2 n 1≤j≤n b2j E ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] < ∞. max 1≤j≤n ϕ(bj ) (2.16) (2.17) podemos substituí-las no Teorema 2.5. Para a demonstração deste teorema, vamos precisar de alguns resultados, que podem ser encontrados em [13]. Definição 2.7. Duas sequências de variáveis aleatórias {Xn } e {Zn } são ditas equiva∞ X lentes quando P (Xn 6= Zn ) < ∞. n=1 Teorema 2.8. Se {Xn } e {Zn } são equivalentes, então n 1 X ainda, se bn ↑ ∞ então (Xj − Zj ) → 0 q.c. bn j=1 ∞ X (Xn − Zn ) converge q.c. Mais n=1 Lema de Kronecker. Sejam {xk } uma sequência de números reais, {ak } uma sequência 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências de números reais positivos e ak ↑ ∞. Se ∞ X xn n=1 an 31 < ∞ então n 1 X xj → 0. an j=1 Demonstração do Teorema 2.5 : Inicialmente, observe que em (b), ϕ é não-decrescente em [0, ∞), isto é, se 0 < x < y então, ϕ(x) ≤ ϕ(y), pois, caso contrário, suponha que exista 0 < x < y tal que 1 ϕ(y) ϕ(x) ϕ(x) 1 < , ou seja, é não-crescente, ϕ(x) > ϕ(y). Como 0 < < , segue que y x y x x contrariando a primeira hipótese em (b). Seja agora Zj := Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] . Temos que {Xj } e {Zj } são sequências equivalentes. De fato, ∞ X j=1 P (Xj 6= Zj ) = ∞ X P (|Xj | > bj ) ≤ j=1 ∞ X E(ϕ(Xj )) j=1 ϕ(bj ) < ∞, pela hipótese (2.13), onde, na penúltima desigualdade, usamos a Desigualdade de Chebyschev, pois ϕ é não∞ X decrescente em [0, ∞) em (a) e (b). Então, como P (Xj 6= Zj ) < ∞ segue que {Xj } j=1 n 1 X e {Zj } são sequências equivalentes, e logo, pelo Teorema 2.8, (Xj − Zj ) → 0 q.c. bn j=1 n 1 X Zj → 0 q.c., o teorema ficará provado. Assim, se mostrarmos que bn j=1 Observe que: n n n 1 X 1 X 1 X Zj = EZj + (Zj − E Zj ). bn j=1 bn j=1 bn j=1 n 1 X Afirmação 2.9. E(Zj ) → 0. bn j=1 ϕ(x) ց, então sempre que |Xj | ≤ bj , x ϕ(bj ) ϕ(|Xj |) |Xj | ϕ(|Xj |) |Xj | ϕ(Xj ) temos ≤ e assim, ≤ e como ϕ é par, ≤ . Observe bj |Xj | bj ϕ(bj ) bj ϕ(bj ) agora que: |Zj | = |Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] | ≤ |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] = |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj (I[Xj <−bj ] + I[Xj >bj ] ) = |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ]∪[Xj >bj ] = |Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] . De fato, se ϕ(x) satisfaz a condição (a), isto é, Então, 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 32 |EZj | ≤ E|Zj | ≤ E(|Xj |I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] ) = E(|Xj |I[|Xj |≤bj ] ) + bj E(I[|Xj |>bj ] ) |Xj | = bj E I[|Xj |≤bj ] + bj P (|Xj | > bj ) bj ϕ(Xj ) Pela Desigualdade de Chebyschev, temos que P (|Xj | > bj ) ≤ E logo, ϕ(bj ) |Xj | ϕ(Xj ) |EZj | ≤ bj E I[|Xj |≤bj ] + bj E bj ϕ(bj ) ϕ(Xj ) ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] + bj E ≤ bj E ϕ(bj ) ϕ(bj ) ϕ(Xj ) ϕ(Xj ) + bj E ≤ bj E ϕ(bj ) ϕ(bj ) ϕ(Xj ) = 2 bj E . ϕ(bj ) ϕ(x) ր, então sempre que bj < |Xj |, Agora, se ϕ(x) satisfaz a condição (b), ou seja, x ϕ(bj ) |Xj | ϕ(|Xj |) ϕ(Xj ) segue o que implica em . Então, ≤ ≤ bj |Xj | bj ϕ(bj ) Zj = Xj I[|Xj |≤bj ] − bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] ≤ Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[Xj <−bj ] + bj I[Xj >bj ] = Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] |E Zj | ≤ |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )| + |E(bj I[|Xj |>bj ] )| = |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )| + bj P (|Xj | > bj ) Observe que: I[|Xj |>bj ] = 1 − I[|Xj |≤bj ] ⇒ Xj I[|Xj |>bj ] = Xj − Xj I[|Xj |≤bj ] ⇒ E(Xj I[|Xj |>bj ] ) = E Xj − E(Xj I[|Xj |≤bj ] ) ⇒ |E(Xj I[|Xj |>bj ] )| = |E(Xj I[|Xj |≤bj ] )|. Logo, (2.18) 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 33 |EZj | ≤ |E(Xj I[|Xj |>bj ] )| + bj P (|Xj | > bj ) ≤ E(|Xj |I[|Xj |>bj ] ) + bj E ϕ(Xj ) |Xj | I[|Xj |>bj ] + bj E = bj E bj ϕ(bj ) ϕ(Xj ) ϕ(Xj ) I[|Xj |>bj ] + bj E ≤ bj E ϕ(bj ) ϕ(bj ) ϕ(Xj ) ϕ(Xj ) ≤ bj E + bj E ϕ(bj ) ϕ(bj ) ϕ(Xj ) . = 2 bj E ϕ(bj ) ϕ(Xj ) ϕ(bj ) Portanto, temos que: |EZj | ≤ 2 bj E ϕ(Xj ) ϕ(bj ) (2.19) em ambos os casos (a) e (b). De (2.13) e (2.19), temos: ∞ X |EZj | j=1 bj ∞ X 2 E(ϕ(Xj )) < ∞. ≤ ϕ(bj ) j=1 n 1 1 X |E(Zj )| → 0, quando n → ∞. Como Então, pelo Lema de Kronecker, bn j=1 bn n 1 X |E(Zj )|, segue que bn j=1 1 bn e portanto, Afirmação 2.10. n X E(Zj ) ≤ j=1 n X E(Zj ) → 0, quando n → ∞ j=1 n 1 X EZj → 0, quando n → ∞. bn j=1 n 1 X (Zj − EZj ) → 0. bn j=1 ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x) ց, então, se 0 < x ≤ y temos ≥ , e como xy ≤ y 2 x x y xy x2 ϕ(x) ϕ(y) y2 ≥ ≥ . Logo, 0 < x ≤ y implica em ≥ e portanto temos 2 ϕ(y) ϕ(y) ϕ(x) x y2 ϕ(x) ϕ(x) concluímos que ց . Em (b), temos o mesmo, ց . Então para |Xj | ≤ bj , 2 x x2 De fato, por (a), 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 34 Xj2 b2j ≤ e assim, ϕ(|Xj |) ϕ(bj ) Xj2 ϕ(Xj ) ≤ . 2 bj ϕ(bj ) (2.20) Observe agora que, de (2.18) Zj ≤ Xj I[|Xj |≤bj ] + bj I[|Xj |>bj ] e então, Zj2 ≤ Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j I[|Xj |>bj ] + 2Xj bj I[|Xj |≤bj ] I[|Xj |>bj ] . Sabemos que I[|Xj |≤bj ] I[|Xj |>bj ] = I[|Xj |≤bj ]∩[|Xj |>bj ] = I∅ ≡ 0. Logo, Zj2 ≤ Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j I[|Xj |>bj ] . Assim, E(Zj2 ) ≤ E Xj2 I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj ) 2 Xj 2 = bj E I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj ) b2j ϕ(Xj ) 2 I[|Xj |≤bj ] + b2j P (|Xj | > bj ) por (2.20) ≤ bj E ϕ(bj ) E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) = b2j + b2j P (|Xj | > bj ) ϕ(bj ) Agora, temos que: ∞ X n−1 P max n=1 ≤ = (2.21) k ! X (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n j=1 !2 k ∞ −1 X X n (Zj − EZj ) pela Desigualdade de Markov E max 2 ε2 1≤k≤n b n=1 n j=1 !2 k ∞ X X max (Zj − EZj ) ε−2 n−1 b−2 n E n=1 e pelo Lema 2.3 1≤k≤n j=1 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências ∞ X n−1 n=1 ≤ k ! X P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n j=1 ∞ X −2 −1 −2 2 ε n bn C n max E(Zj − EZj ) + 1 1≤j≤n n=1 = 35 Cε −2 ∞ X b−2 n n=1 max 1≤j≤n E(Zj2 ) 2 − (EZj ) +1 . Como E(Zj2 ) − (EZj )2 ≤ E(Zj2 ), então max E(Zj2 ) − (EZj )2 ≤ max E(Zj2 ) e por1≤j≤n 1≤j≤n tanto, ∞ X n−1 n=1 ≤ ≤ k ! X P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n j=1 ∞ X 2 −2 −2 max E(Zj ) + 1 Cε bn −2 Cε n=1 ∞ X 1≤j≤n b−2 n n=1 2 2 E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) + bj P (|Xj | > bj ) + 1 max bj 1≤j≤n ϕ(bj ) onde a última desigualdade segue de (2.21). Assim k ! ∞ X X n−1 P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n n=1 j=1 "∞ X b2j E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) + ≤ C ε−2 b−2 max n 1≤j≤n ϕ(b ) j n=1 # ∞ ∞ X 2 X −2 −2 + bn bn max bj P (|Xj | > bj ) + n=1 ≤ C ε−2 < ∞, 1≤j≤n " ∞ X n=1 ∞ b2j E(ϕ(Xj )) X −2 2 bn max + b−2 n 1≤j≤n ϕ(b ) j n=1 n=1 # devido às hipóteses (2.12) e (2.14). Então, pelo Teorema 1.1 (Método Geral), o que implica em k X 1 max (Zj − E Zj ) → 0 q.c. bn 1≤k≤n j=1 n X 1 (Zj − E Zj ) → 0 q.c. bn j=1 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências e portanto, 36 n 1 X (Zj − E Zj ) → 0 q.c. bn j=1 n 1 X Zj → 0 q.c. Portanto, das Afirmações 2.9 e 2.10, segue que bn j=1 Observação 2.11. Veja no Apêndice A, que as demonstrações do Teorema 2.5 e do Teorema 0.1, enunciado na Introdução desta dissertação se diferem apenas das Afirmações 2.10 e A.4, que são justamente o ponto da demonstração onde aplicamos o caso das variáveis aleatórias serem PA, usando o Lema 2.3 e o Método Geral, no Teorema 2.5 e das variáveis aleatórias serem independentes, usando o Critério de Convergência de Kolmogorov, no Teorema 0.1 . O corolário a seguir, é o Teorema 2.5, com algumas hipóteses modificadas, que será de grande auxílio para resultados posteriores. Corolário 2.12. No Teorema 2.5, se as condições (2.12) - (2.14) forem substituídas por sup E(ϕ(Xj )) < ∞ e (2.22) j≥1 ∞ X n=1 então, 1 < ∞, ϕ(bn ) (2.23) Sn → 0 q.c. bn Demonstração: ϕ(x) ց em ambos os casos (a) e x2 (b). Como bn é uma sequência não-decrescente de números positivos, então Na demonstração do Teorema 2.5, provamos que b1 ≤ bn ⇒ 0 < Observe que, como bj ≤ bn b2 b21 ≤ n . ϕ(b1 ) ϕ(bn ) (2.24) b2j b2 para todo 1 ≤ j ≤ n, então ≤ n e logo, ϕ(bj ) ϕ(bn ) b2j b2 = n . 1≤j≤n ϕ(bj ) ϕ(bn ) max (2.25) 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 37 Note que, para cada n, E(ϕ(Xn )) ≤ sup E(ϕ(Xj )) ⇒ j≥1 E(ϕ(Xn )) ≤ ϕ(bn ) sup E(ϕ(Xj )) j≥1 , ϕ(bn ) logo, ∞ X E(ϕ(Xn )) n=1 ϕ(bn ) ≤ ∞ sup E(ϕ(Xj )) X j≥1 ϕ(bn ) n=1 = sup E(ϕ(Xj )) j≥1 ∞ X n=1 1 < ∞, ϕ(bn ) devido às hipóteses (2.22) e (2.23). Observe agora que, de (2.24), b−2 n ≤ ∞ X b−2 n ≤ n=1 ∞ X ϕ(b1 ) n=1 b21 (2.26) ϕ(b1 ) então, ϕ(bn ) b21 ∞ ϕ(b1 ) X 1 1 = 2 < ∞. · ϕ(bn ) b1 n=1 ϕ(bn ) Temos agora que ∞ ∞ X X b2j b2j E(ϕ(Xj )) −2 −2 ≤ · max E(ϕ(Xj )) bn max bn max 1≤j≤n ϕ(bj ) 1≤j≤n 1≤j≤n ϕ(bj ) n=1 n=1 = = ≤ ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 b−2 n b2n max E(ϕ(Xj )) por (2.25) ϕ(bn ) 1≤j≤n 1 max E(ϕ(Xj )) ϕ(bn ) 1≤j≤n 1 sup E(ϕ(Xj )) < ∞, de (2.26) ϕ(bn ) j≥1 pois como E(ϕ(Xj )) ≤ sup E(ϕ(Xj )) < ∞, para todo j ≥ 1, então max E(ϕ(Xj )) ≤ j≥1 1≤j≤n sup E(ϕ(Xj )) < ∞, para todo n ≥ 1. Logo, o resultado segue do Teorema 2.5 j≥1 Antes de demonstrarmos uma consequência do Corolário 2.12 vamos provar o seguinte Teorema 2.13. (Teorema 2.1 [17]) Variáveis Aleatórias independentes são Positivamente Associadas (PA). Para tal demonstração, vamos utilizar duas propriedades sobre variáveis aleatórias Positivamente Associadas, suas demonstrações podem ser encontradas em [17]. 2.2 A Lei Forte dos Grandes Números e Consequências 38 (P1 )Se dois conjuntos de variáveis aleatórias Positivamente Associadas são independentes um do outro, então a sua união é um conjunto de variáveis aleatórias Positivamente Associadas. (P2 )O conjunto constituído por uma única variável aleatória é Positivamente Associado. Demonstração do Teorema 2.13 : Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes. Por (P2 ), X1 é PA e X2 também é PA. Então por (P1 ) X1 , X2 são PA. Sejam agora W = (X1 , X2 ) e X3 variáveis aleatórias independentes. Por (P2 ), W é PA e X3 é PA. Então por (P1 ) (W, X3 ) são PA, isto é, (X1 , X2 , X3 ) são PA. Suponha, por indução, que Y = (X1 , X2 , ..., Xn ) variáveis aleatórias independentes sejam PA. Suponha também que Y e Xn+1 sejam variáveis aleatórias independentes. Por (P2 ), Y é PA e Xn+1 é PA. Então por (P1 ) (Y, Xn+1 ) são PA, isto é, (X1 , X2 , ..., Xn , Xn+1 ) são PA. Portanto, variáveis aleatórias independentes são PA. O corolário a seguir, é uma consequência do Corolário 2.12, para variáveis aleatórias independentes. Corolário 2.14. Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Se existe k > 0 tal que E(Xn2 ) ≤ k, para todo n, então, Sn → 0 q.c. n Demonstração: Sejam {Xn , n ≥ 1} variáveis aleatórias independentes e tais que existe k > 0 tal que E(Xn2 ) ≤ k, para todo n. Pelo Teorema 2.13 temos que variáveis aleatórias independentes são Positivamente Associadas, logo fazendo bn = n e ϕ(x) = x2 no Corolário 2.12, temos: sup E(ϕ(Xj )) = sup E(Xj2 ) ≤ k < ∞ e j≥1 j≥1 ∞ X n=1 Logo, Sn → 0 q.c. n ∞ X 1 1 = < ∞. ϕ(bn ) n=1 n2 2.3 Taxa de Convergência 39 2.3 Taxa de Convergência Nesta seção, apresentaremos uma consequência do Corolário 2.12, e em seguida, a Sn conclusão sobre uma estimativa para a taxa de convergência de . n Corolário 2.15. Suponha que {Xj , j ≥ 1} é uma sequência de variáveis aleatórias Positivamente Associadas, E(Xj ) = 0, sup E|Xj |p < ∞ para algum 1 ≤ p ≤ 2 e que é satisfeita j≥1 a seguinte condição, ∞ X 1 u 2 (2i ) < ∞. Então, para cada δ > 1, temos i=1 Sn 1 (n log n (log log n)δ ) p → 0 q.c. Demonstração: 1 Tomando ϕ(x) = |x|p e bn = (n log n (log log n)δ ) p , n > 1, no Corolário 2.12, temos: sup E(ϕ(Xj )) = sup E(|Xj |p ) < ∞ (por hipótese). j≥1 A série, ∞ X n=1 j≥1 ∞ ∞ X 1 X 1 1 = < ∞, p = ϕ(bn ) n=1 bn n log n (log log n)δ n=1 pois, pelo Teste da Integral, para a > 1, Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 1 v −δ dv dx = du = δ δ x log x (log log x) u (log u) a log a log log a b −δ+1 b v 1 = lim = lim b→∞ −δ + 1 log log a b→∞ (−δ + 1)v δ−1 log log a = 1 −1 = < ∞. δ−1 (−δ + 1)(log log a) (δ − 1)(log log a)δ−1 Portanto, pelo Corolário 2.12, Sn 1 (n log n (log log n)δ ) p → 0 q.c. 2.3 Taxa de Convergência 40 Taxa de Convergência. Para o caso p = 2, o Corolário implica que a taxa de conSn 1 δ 1 é n− 2 (log n) 2 (log log n) 2 . De fato, como vergência de n Sn 1 (n log n (log log n)δ ) 2 → 0 q.c. segue-se que, Sn n → 0 q.c. 1 (n log n (log log n)δ ) 2 n logo, a taxa de convergência é 1 1 1 δ (n log n (log log n)δ ) 2 = n− 2 (log n) 2 (log log n) 2 . n Capítulo 3 Variáveis Aleatórias Negativamente Associadas e Lei Forte dos Grandes Números Desde o início dos estudos sobre variáveis aleatórias Positivamente Associadas, um grande número de artigos têm sido escrito sobre o assunto. A teoria e aplicação de variáveis aleatórias Negativamente Associadas não é simplesmente uma cópia da teoria e da aplicação de associação positiva, elas se diferem em aspectos importantes. Na verdade, variáveis aleatórias Negativamente Associadas são uma versão qualitativa de dependência negativa entre as variáveis aleatórias. Detalhes sobre essa teoria podem ser encontrados em [21]. O objetivo deste capítulo, é definir variáveis aleatórias Negativamente Associadas e provar alguns resultados preliminares para que, na segunda seção, possamos aplicar o Teorema 1.1 para provar a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Negativamente Associadas. 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares Nesta seção, iremos definir variáveis aleatórias Negativamente Associadas e demonstrar três lemas, onde o último será usado na demonstração do Teorema 3.8, que se encontra na próxima seção. Para a demonstração deste lema, serão utilizados os lemas anteriores e alguns resultados que só foram enunciados, suas demonstrações foram omitidas pois não são de nosso interesse nesta dissertação. 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 42 Definição 3.1. As v.a.’s X1 , ..., Xn são ditas Negativamente Associadas (NA) se para cada n e cada par de subconjuntos disjuntos A1 , A2 de {1, · · · , n}, Cov(f (Xi : i ∈ A1 ), g(Xj : j ∈ A2 )) ≤ 0, onde f e g são crescentes em cada coordenada e a covariância existe. Lema 3.2. Para quaisquer x ∈ R e 1 < p ≤ 2, |1 + x|p ≤ 1 + px + 22−p |x|p . (3.1) Demonstração: Para provar a desigualdade acima, vamos considerar a seguinte função f (x) = |1 + x|p − 1 − px − 22−p |x|p e provar que f (x) ≤ 0, para todo x, fazendo um estudo de seu gráfico. Temos que f não é derivável em x = 0 e x = −1, e que f (0) = 0 e f (−1) = −1 + p − 22−p ≤ 0, pois −1 + p ≤ 1 ≤ 22−p . Então, o nosso estudo será dividido em três casos. 1o Caso: x > 0. Para x > 0, f (x) fica f (x) = (1 + x)p − 1 − px − 22−p xp . ′ ′ Sua derivada é f (x) = p [(1 + x)p−1 − 1 − 22−p xp−1 ], então, se verificarmos que f (x) ≤ 0, então f é decrescente e logo f (x) ≤ f (0) = 0, para todo x > 0. Como 1 < p ≤ 2, então basta verificar que g(x) = (1 + x)p−1 − 1 − 22−p xp−1 ≤ 0. Para isto, calculando g ′ (x), temos: g ′ (x) = (p − 1)[(1 + x)p−2 − 22−p xp−2 ], e observe que x 1+x 2−p ≤ 22−p ⇒ (1 + x)p−2 ≤ 22−p xp−2 ⇒ (1 + x)p−2 − 22−p xp−2 ≤ 0. Portanto g(x) ≤ 0, para todo x > 0, e assim f é decrescente e f (x) ≤ 0, para todo x > 0, conforme a Figura 3.1. 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 43 2o Caso: x < −1. Para x < −1, f (x) fica f (x) = (−1 − x)p − 1 − px − 22−p (−x)p . Temos que ′ f (x) = p [−(−1 − x)p−1 − 1 + 22−p (−x)p−1 ] ′′ f (x) = p (p − 1) [(−1 − x)p−2 − 22−p (−x)p−2 ]. Seja ϕ(x) = (−1 − x)p−2 − 22−p (−x)p−2 . Temos que 0 ≤ 2 − p < 1, ϕ(−1) = −22−p < 0 e ϕ(−2) = 0. Reescrevendo ϕ(x), temos: " # 2−p 1 22−p 1 −x ϕ(x) = + = − 22−p (−1 − x)2−p (−x)2−p (−x)2−p −1 − x # " 2−p 1 1 2−p = −2 1+ . (−x)2−p −1 − x Observe agora que, • se −2 < x < −1, então 0 < −1 − x < 1 e logo, ϕ(x) > 0; • se x ≤ −2, então −1 − x ≥ 1 e logo, ϕ(x) ≤ 0. ′′ ′′ Logo, f (x) > 0 se −2 < x < −1 e f (x) ≤ 0 se x ≤ −2. Então, segue que x = 2 é um ponto de inflexão, isto é, no intervalo (−∞, −2] o gráfico de f é côncavo para baixo e no intervalo (−2, −1) é côncavo para cima. Veja Figura 3.1. 3o Caso: −1 < x < 0. Para −1 < x < 0, f (x) fica f (x) = (1 + x)p − 1 − px − 22−p (−x)p . Observe que ′ f (x) = p [(1 + x)p−1 − 1 + 22−p (−x)p−1 ] ′′ f (x) = p (p − 1) [(1 + x)p−2 − 22−p (−x)p−2 ]. Seja agora ψ(x) = (1 + x)p−2 − 22−p (−x)p−2 . Temos que ψ(−1) = −22−p < 0 e 2 ψ − 3 = 2 1− 3 p−2 2−p −2 2 − 3 p−2 = 0. 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 44 Reescrevendo ψ(x), como no caso anterior, chegamos a 1 ψ(x) = (−x)2−p " 1 −1 + 1+x 2−p # − 22−p . Então, temos 1 2 e logo, ψ(x) > 0; • se −1 < x < − , então 0 < 1 + x < 3 3 2 1 • se − ≤ x < 0, então ≤ 1 + x < 1 e logo, ψ(x) ≤ 0. 3 3 2 2 ′′ e f (x) ≤ 0 se − ≤ x < 0. Logo, temos 3 3 2 2 o gráfico de f é que x = − é um ponto de inflexão, isto é, no intervalo −1, − 3 3 2 côncavo para cima e no intervalo − , 0 é côncavo para baixo. Veja a figura abaixo. 3 ′′ Assim f (x) > 0 se −1 < x < − Finalmente, pelos três casos acima, temos que o gráfico de f se assemelha ao seguinte: x –5 –4 –3 –2 –1 1 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 3 Figura 3.1: Gráfico da função f (x) = |1 + x|p − 1 − px − 22−p |x|p , caso p = . 2 Portanto, f (x) ≤ 0, para todo x ∈ R. O que conclui o Lema 3.2. 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 45 Lema 3.3. Sejam X1 , ..., Xn variáveis aleatórias independentes com média zero. Então a desigualdade (3.1) implica em, 1 < p ≤ 2, n n X p X 2−p E|Xi |p . Xi ≤ 2 E i=1 i=1 Demonstração: No Lema 3.2, provamos que |1 + x|p ≤ 1 + px + 22−p |x|p , para qualquer x ∈ R e b (a 6= 0), temos a p p 1 + b ≤ 1 + p b + 22−p b ⇒ a a a 1 < p ≤ 2, então fazendo x = |a + b|p ≤ |a|p + p |a| p−1 |a| b + 22−p |b|p ⇒ a |a + b|p ≤ |a|p + sinal(a) p b |a|p−1 + 22−p |b|p . Se X1 , X2 são variáveis aleatórias independentes com EX1 = EX2 = 0, então fazendo a = X1 e b = X2 , na última desigualdade acima, temos E|X1 + X2 |p ≤ E|X1 |p + E(sinal(X1 ) p X2 |X1 |p−1 ) + 22−p E|X2 |p ≤ = E|X1 |p + sinal(X1 ) p E(X2 |X1 |p−1 ) + 22−p E|X2 |p = E|X1 |p + sinal(X1 ) p E(X2 ) E|X1 |p−1 + 22−p E|X2 |p (independência) = E|X1 |p + 22−p E|X2 |p (pois EX2 = 0) ≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p ). Seja agora X1 , X2 , X3 variáveis aleatórias independentes com EX1 = EX2 = EX3 = 0, então fazendo a = X1 + X2 e b = X3 , temos E |X1 + X2 + X3 |p ≤ ≤ E|X1 + X2 |p + sinal(X1 + X2 ) p E(X3 |X1 + X2 |p−1 ) + 22−p E|X3 |p ≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p ) + sinal(X1 + X2 ) p E(X3 ) E|X1 + X2 |p−1 + 22−p E|X3 |p = 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + E|X3 |p ). Suponha, por indução, que X1 , ..., Xn sejam independentes com EX1 = · · · = EXn = 0, então, E|X1 + X2 + · · · + Xn |p ≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p ). 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 46 Vamos mostrar que isto é válido para n + 1. Sejam então X1 , X2 , ..., Xn , Xn+1 independentes com EX1 = · · · = EXn+1 = 0. Assim fazendo a = X1 +X2 +· · ·+Xn e b = Xn+1 , temos E |X1 + X2 + · · · + Xn + Xn+1 |p ≤ ≤ E|X1 + X2 + · · · + Xn |p + + sinal(X1 + X2 + · · · + Xn ) p E(Xn+1 |X1 + X2 + · · · + Xn |p−1 )+ + 22−p E|Xn+1 |p ≤ 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p ) + 22−p E|Xn+1 |p = 22−p (E|X1 |p + E|X2 |p + · · · + E|Xn |p + E|Xn+1 |p ). n n X p X 2−p Portanto, E Xi ≤ 2 E|Xi |p . i=1 i=1 Lema 3.4. Sejam X1 , ..., Xn variáveis aleatórias Negativamente Associadas com média zero e E|Xi |p < ∞ onde 1 < p ≤ 2. Então E p max |Sk | 1≤k≤n 3−p ≤2 n X E|Xi |p . (3.2) i=1 Para a demonstração deste lema vamos utilizar alguns resultados que serão enunciados abaixo. Porém suas demonstrações não são de nosso interesse nesta dissertação e portanto serão omitidas. Teorema 3.5. [33] Seja {Xi , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas e seja {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes tal que Xi∗ e Xi tem a mesma distribuição para cada i = 1, 2, ..., n. Então se f é uma função convexa não-decrescente, E f max 1≤k≤n k X i=1 Xi ! ≤E f max 1≤k≤n k X i=1 Xi∗ ! (3.3) sempre que a esperança no lado direito existir. Teorema 3.6. [11] Seja φ uma função convexa não-decrescente definida em [0, ∞). Sejam X1 , X2 , ... variáveis aleatórias independentes com média zero. Então, para qualquer 3.1 Definição e alguns Resultados Preliminares 47 inteiro n ≥ 1 e a ∈ R, E φ max 0, max (Sk − a) ≤ 2 E φ [max (0, (Sn − a))] − φ(0), 1≤k≤n onde Sn = n X (3.4) Xi . i=1 Demonstração do Lema 3.4 : Seja {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes tal que Xi∗ e Xi tem a mesma distribuição para cada i = 1, 2, ..., n. Seja f (x) = [max(0, x)]p , para 1 < p ≤ 2. Temos que f é uma função convexa não-decrescente e então, pelo Teorema 3.5, " E max 0, max 1≤k≤n k X Xi i=1 !#p " ≤ E max 0, max 1≤k≤n k X Xi∗ i=1 !#p . Assim, fazendo φ(x) = xp e a = 0 no Teorema 3.6, segue que " E max 0, max Da mesma forma, " E max 0, max 1≤k≤n 1≤k≤n k X !#p (−Xi ) i=1 k X Xi i=1 !#p " " ≤ 2 E max 0, 1≤k≤n ≤ 2 E max 0, Logo, E Xi∗ i=1 ≤ E max 0, max " n X n X k X !#p . !#p (−Xi∗ ) i=1 !#p (−Xi∗ ) i=1 . k ! k # k !# " " X p X p X p max Xi = E max Xi = E max 0, max Xi 1≤k≤n 1≤k≤n 1≤k≤n i=1 i=1 i=1 n !#p " X ≤ 2 E max 0, Xi∗ n p i=1 X = 2E Xi∗ . (3.5) i=1 Assim, pelo Lema 3.3, segue que n n n X p X X E|Xi |p . E|Xi∗ |p = 22−p E Xi∗ ≤ 22−p i=1 i=1 i=1 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências 48 Portanto, p ! n k X X 2−p ≤ 2·2 E|Xi |p E max Xi 1≤k≤n i=1 = 23−p i=1 n X E|Xi |p , i=1 e o lema fica demonstrado. Observação 3.7. Temos o seguinte resultado sobre variáveis aleatórias independentes: (Exercício 5 página 361 de [12]) Se {Xn , n ≥ 1} são variáveis aleatórias independentes com EXn = 0, n ≥ 1 e p ∈ (1, 2], então para alguma constante finita C que depende apenas de p, k n X p X E max Xi ≤ C E|Xi |p . 1≤k≤n i=1 i=1 Na demonstração do lema anterior, podemos aplicar o exercício acima em vez de usar o Lema 3.3. De fato, por (3.5), temos k n X p X p E max Xi ≤ 2 E Xi∗ , 1≤k≤n i=1 e como i=1 n n X p X p Xi∗ ≤ max Xi∗ 1≤k≤n i=1 então, i=1 n X p E Xi∗ ≤ E i=1 e assim, E k ! X p max Xi ≤ 2 E 1≤k≤n i=1 n ! X p max Xi∗ , 1≤k≤n i=1 n ! n n X p X X ∗ ∗ p max Xi ≤ 2 C E|Xi | = C̄ E|Xi |p . 1≤k≤n i=1 i=1 i=1 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências O Teorema a seguir, é sobre a Lei Forte dos Grandes Números para variáveis aleatórias Negativamente Associadas. Uma parte de sua demonstração é análoga à demonstração do 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências 49 Teorema 2.5 para variáveis aleatórias Positivamente Associadas. O restante da demonstração segue do Lema 3.4, demonstrado na seção anterior. Teorema 3.8. Sejam {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas com E(Xn ) = 0 para todo n, e ϕ : R → R+ uma função par, tal que lim ϕ(x) = ∞, e x→∞ ϕ(x) ց, x → ∞ ou x (a) ϕ é não-decrescente em [0, ∞) e (b) ϕ(x) ϕ(x) րe ց, x → ∞. x x2 Suponha que {bn } satisfaça as condições fixadas no preâmbulo do Capítulo 1 (pag. 6) e que ∞ X E(ϕ(Xj )) ϕ(bj ) j=1 ∞ X n−1 b−2 n n=1 Então, <∞ e n X b2j E(ϕ(Xj )) < ∞. ϕ(b ) j j=1 (3.6) (3.7) Sn → 0 q.c. bn Observação 3.9. Da mesma forma que na Observação 2.6, a condição (3.7), implica as condições, ∞ X n−1 b−2 n n=1 ∞ X n=1 n−1 b−2 n n X b2j P (|Xj | > bj ) < ∞ e (3.8) j=1 n X j=1 b2j E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) < ∞. ϕ(bj ) (3.9) logo, podemos substituí-las no Teorema 3.8. Demonstração do Teorema 3.8 : Note que nos Teoremas 2.5 e 3.8 as hipóteses (a), (b) e (2.13) são análogas as hipóteses (a), (b) e (3.6) respectivamente. A demonstração do Teorema 3.8 será análoga à demonstração do Teorema 2.5 até a parte da demonstração da Afirmação 2.10, desigualdade (2.21). Iremos demonstrar o Teorema 3.8 a partir do momento em que as demonstrações tomam rumos diferentes, e isto ocorre, quando aplicamos o Lema 3.4. 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências 50 No Teorema 2.5, Afirmação 2.10, mostramos que E(Zj2 ) ≤ b2j E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) + b2j P (|Xj | > bj ). ϕ(bj ) Então, ∞ X n−1 P n=1 ≤ = k ! X max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n j=1 !2 ∞ k −1 X X n (Zj − EZj ) pela Desigualdade de Markov E max 2 ε2 1≤k≤n b n n=1 j=1 !2 ∞ k X X max ε−2 n−1 b−2 (Zj − EZj ) n E 1≤k≤n n=1 j=1 e pelo Lema 3.4 com p = 2, ∞ X k ! X max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n n−1 P n=1 j=1 ≤ ε ∞ X −2 n −1 b−2 n n X C n=1 ≤ ∞ X ε−2 −2 Cε E(Zj − EZj )2 j=1 n X n−1 b−2 n C n=1 ≤ (3.10) ∞ X n −1 b−2 n n=1 EZj2 j=1 n X b2j j=1 E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) 2 + bj P (|Xj | > bj ) ϕ(bj ) onde na última desigualdade substituímos a expressão (3.10). Assim, ! ∞ k X X n−1 P max (Zj − EZj ) > bn ε ≤ 1≤k≤n n=1 j=1 "∞ n X X E(ϕ(Xj ) I[|Xj |≤bj ] ) −2 −1 −2 + b2j ≤ Cε n bn ϕ(bj ) n=1 j=1 # n ∞ X X + b2j P (|Xj | > bj ) n−1 b−2 n n=1 j=1 −2 ≤ Cε < ∞, 2 ∞ X n=1 n−1 b−2 n n X b2j E(ϕ(Xj ) ϕ(bj ) j=1 por (3.7). Logo o resultado segue como no Teorema 2.5. 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências 51 Corolário 3.10. No Teorema 3.8, se as condições (3.6) e (3.7) forem substituídas por sup E(ϕ(Xj )) < ∞ e (3.11) j≥1 ∞ X n=1 então 1 < ∞, ϕ(bn ) (3.12) Sn → 0 q.c. bn Demonstração: Observe que do mesmo modo que na demonstração do Corolário 2.12, bj ≤ bn para b2j b2n ≤ . A prova da expressão (3.6) é análoga a do todo 1 ≤ j ≤ n, implica em ϕ(bj ) ϕ(bn ) Corolário 2.12. Observe agora que, n ∞ n ∞ X X X X b2j E(ϕ(Xj )) b2n −1 −2 n−1 b−2 ≤ E(ϕ(Xj )) n b n n ϕ(b ) ϕ(b ) j n n=1 n=1 j=1 j=1 = n ∞ X n−1 X E(ϕ(Xj )) ϕ(b ) n n=1 j=1 ∞ n X n−1 X ≤ sup E(ϕ(Xk )) ϕ(bn ) j=1 k≥1 n=1 ∞ X n−1 = n sup E(ϕ(Xk )) ϕ(bn ) k≥1 n=1 = sup E(ϕ(Xk )) k≥1 ∞ X n=1 Sn Portanto, pelo Teorema 3.8, → 0 q.c. bn 1 < ∞. ϕ(bn ) A seguir temos uma consequência do Corolário 3.10. Corolário 3.11. Suponha que {Xj , j ≥ 1} é uma sequência de variáveis aleatórias Negativamente Associadas, E(Xj ) = 0 e sup E(|Xj |p ) < ∞ para algum 1 ≤ p ≤ 2. Então, j≥1 para cada δ > 1, temos Sn 1 (n log n (log log n)δ ) p → 0 q.c. 3.2 A Lei Forte dos Grandes Números e algumas Consequências 52 Demonstração: Como as hipóteses (3.11) e (3.12) do corolário anterior são as mesmas hipóteses do Corolário 2.12, segue que a demonstração é análoga a do Corolário 2.15, para variáveis aleatórias Positivamene Associadas. Apêndice A Demonstração do Teorema de Lei Forte dos Grandes Números para v.a.’s Independentes Com o intuito de fazer uma comparação entre o Teorema 2.5 e o caso independente demonstraremos o seguinte Teorema A.1. (Correspondente ao Teorema 2.5, caso independente) Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequência de variáveis aleatórias independentes com EXn = 0 para cada n, e 0 < bn ↑ ∞. Seja ϕ : R → R+ uma função par e contínua em R tal que ϕ(x) ր, |x| e ϕ(x) ց quando |x| ↑ ∞ x2 ∞ X E(ϕ(Xn )) n=1 Então ϕ(bn ) n 1 X Xj → 0 bn j=1 (A.1) < ∞. (A.2) q.c. (A.3) Para a demonstração deste teorema, vamos utilizar o seguinte resultado 54 Teorema A.2. (Critério de Convergência de Kolmogorov [1]) Sejam {Xn , n ≥ 1} ∞ X variáveis aleatórias independentes com esperança finita. Se V arXn < ∞, então, n=1 ∞ X (Xn − EXn ) converge q.c. n=1 Demonstração do Teorema A.1 : Inicialmente, observe que, ϕ é não-decrescente em [0, ∞), isto é, se 0 < x < y então, ϕ(x) ≤ ϕ(y), pois, caso contrário, suponha que exista 0 < x < y tal que ϕ(x) > ϕ(y). 1 1 ϕ(y) ϕ(x) ϕ(x) Como 0 < < , segue que < , ou seja, é não-crescente, contrariando a y x y x x primeira hipótese sobre ϕ. ( Xn (ω) se |Xn (ω)| ≤ bn Seja Zn (ω) = . Temos que {Xj } e {Zj } são sequências 0 se |Xn (ω)| > bn equivalentes. De fato, ∞ X P (Xj 6= Zj ) = j=1 ∞ X P (|Xj | > bj ) ≤ j=1 ∞ X E(ϕ(Xj )) j=1 ϕ(bj ) < ∞, pela hipótese (A.2), onde, na penúltima desigualdade, usamos a Desigualdade de Chebyschev. Então, como ∞ X P (Xj 6= Zj ) < ∞ segue que {Xj } e {Zj } são sequências equivalentes, e logo, pelo j=1 n n 1 X 1 X (Xj − Zj ) → 0 q.c. Assim, se mostrarmos que Zj → 0 q.c., bn j=1 bn j=1 o teorema ficará provado. Observe que: ∞ ∞ ∞ X Zn X EZn X Zn − EZn = + . b b b n n n n=1 n=1 n=1 Teorema 2.8, Afirmação A.3. ∞ X EZn n=1 bn < ∞. ∞ ∞ X X 1 |EZn | E(Xn I[|Xn |≤bn ] ) , e como E(Xn I[|Xn |>bn ] ) = = De fato, temos bn b n=1 n n=1 E(Xn I[|Xn |≤bn ] ) , segue que X ∞ ∞ ∞ ∞ X X Xn |EZn | X 1 |X | n E(Xn I[|Xn |>bn ] ) ≤ = I[|Xn |>bn ] = I[|Xn |>bn ] . E E b b b bn n n n n=1 n=1 n=1 n=1 Pela primeira hipótese em (A.1), temos ϕ(x) ϕ(|Xn |) ր implica em, para |Xn | > bn , ≥ |x| |Xn | 55 ϕ(bn ) ϕ(Xn ) ϕ(bn ) |Xn | ϕ(Xn ) e como ϕ é par, ≥ . Então, ≤ , para |Xn | > bn . Logo, bn |Xn | bn bn ϕ(bn ) X ∞ ∞ ∞ X X |EZn | |Xn | ϕ(Xn ) I[|Xn |>bn ] ≤ I[|Xn |>bn ] ≤ E E b b ϕ(b ) n n n n=1 n=1 n=1 ≤ ∞ X E(ϕ(Xn )) ϕ(bn ) n=1 < ∞. E podemos então concluir que ∞ X E(Zn ) bn n=1 Afirmação A.4. ∞ X Zn − EZn De fato, E Zn2 b2n converge q.c. bn n=1 =E < ∞. Xn2 I[|Xn |≤bn ] b2n e logo, ∞ X E n=1 Zn2 b2n = ∞ X E n=1 Xn2 I[|Xn |≤bn ] . b2n ϕ(x) ց implica em, x2 ϕ(bn ) ϕ(|Xn |) ϕ(bn ) ϕ(Xn ) para |Xn | ≤ bn , 2 ≤ e como ϕ é par segue que ≤ . Então, 2 2 bn Xn bn Xn2 ϕ(Xn ) Xn2 ≤ , para |Xn | ≤ bn . Segue-se que: 2 bn ϕ(bn ) Observe agora que, pela segunda hipótese em (A.1), temos que ∞ X n=1 V ar Zn bn ≤ ≤ ∞ X n=1 ∞ X n=1 E E Zn2 b2n = ϕ(Xn ) ϕ(bn ) ∞ X n=1 = E ∞ X n=1 Xn2 I[|Xn |≤bn ] b2n ≤ ∞ X n=1 E ϕ(Xn ) I[|Xn |≤bn ] ϕ(bn ) E(ϕ(Xn )) < ∞ por (A.2). ϕ(bn ) Como as variáveis aleatórias Xn são independentes, então as Zn também são independentes. Zn Aplicando o Teorema A.2 para a sequência de variáveis aleatórias , temos de bn ∞ X Zn < ∞, que V ar b n n=1 ∞ X Zn − EZn n=1 bn converge q.c. Logo, das Afirmações A.3 e A.4, segue que ∞ X Zn n=1 bn converge q.c. Finalmente, pelo Lema de Kronecker, para cada ω em um conjunto de probabilidade um, teremos n 1 X Zj → 0 q.c. bn j=1 Referências Bibliográficas [1] Ash, R. B. e Doléans-Dade, C. 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