DETERMINAÇÃO DA CORRENTE DE PROBABILIDADE EM UM PROBLEMA DE ESPALHAMENTO EM BILHARES QUÂNTICOS Johnni Xavier Padilha (ICV-UNICENTRO), Eduardo Vicentini (Pesquisador), Pedro Pablo González Borrero (Orientador), e-mail: [email protected]. Universidade Estadual do Centro-Oeste, Setor de Ciências Exatas e Tecnologia, Departamento de Física, Guarapuava, Paraná. Palavras-chave: Bilhares Quânticos, Corrente de Probabilidade, Fluxo de Energia, Método de Contorno de Paredes, Nanoestruturas. Resumo: A transmissão de energia em sistemas com nanoestruturas é um tema muito abordado recentemente. Neste trabalho é analisado um problema de espalhamento quântico em um sistema bidimensional com a presença de um bilhar triangular. Determinou-se a função de onda deste sistema para diferentes valores de energia e foi calculado o fluxo de probabilidade, que pode ser relacionado a um fluxo de energia. Introdução O problema da transmissão de energia em nanoestruturas tem recebido muito interesse teórico e experimental nas últimas décadas. A engenharia de sistemas quânticos foi capaz de criar sobre superfícies metálicas muros feitos de poucos átomos, conhecidos como “currais quânticos” [1]. Nanoestruturas deste tipo podem ser modeladas por bilhares quânticos, que são sistemas bidimensionais fechados por uma barreira de potencial infinita, com espectro de energia discreto. A energia em sistemas em nanoescala é transferida por meio de portadores, que podem ser fótons, fônons ou elétrons. No caso de sólidos, todos estes portadores contribuem, mas com destaque para os fônons em semicondutores e os elétrons em condutores [2]. Um sistema quântico é , que é uma função complexa, e seu descrito por uma função de onda módulo ao quadrado, que é uma função real, é chamado de densidade de , e está associado com a probabilidade de encontrar a probabilidade partícula quântica em uma posição no instante de tempo . Pode-se também associar , em uma determinada posição, com uma concentração de partículas. A grandeza chamada densidade de corrente de probabilidade, ou densidade de corrente , é dada por [3]: . (1) Da forma que , pode-se associar a uma densidade de corrente de partículas. Neste trabalho foi definida a corrente de probabilidade i ou Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO 11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358 fluxo de probabilidade como a integral de em uma superfície A. No caso bidimensional, como os sistemas estudados neste trabalho, i é dada por: (2) um elemento de comprimento. Esta corrente de probabilidade Sendo pode ser associada a um fluxo de partículas que representam os portadores de energia do sistema. O objetivo deste trabalho foi investigar o espalhamento de uma função de onda associada à interação de um elétron com paredes e um bilhar, visando entender o efeito de nanoestruturas no fluxo de energia. A função de onda foi determinada utilizando-se o Método de Contorno de Paredes, detalhado nas referências [1] e [4]. Metodologia Na primeira etapa foi definida a configuração do sistema como bidimensional, contendo duas barreiras, que limitam o espaço em sua parte superior e inferior. Apesar de o sistema ser bidimensional, a existência das barreiras acaba priorizando uma direção, e considera-se que o sistema é aproximadamente unidimensional, como um “canal” ou “túnel”. A transmissão de energia por meio de um fluxo de partículas ocorrerá, então, através desse canal. Para observar o efeito do espalhamento dos elétrons no bilhar quântico sobre o fluxo de probabilidade, foram simulados dois casos. No primeiro, um feixe de elétrons, representado por uma função de onda com número de onda k, atravessa o canal entre as duas barreiras. No segundo caso, um bilhar na forma de um triângulo equilátero, de lado L é acrescentando (vide Figura 1). Ocorre, assim, espalhamento da onda de probabilidade pelas paredes externas do bilhar, além do espalhamento nas barreiras. Figura 1 – Configuração do sistema para os casos (a) sem bilhar e (b) com bilhar triangular. As paredes, de comprimento L=5, foram posicionadas em y=-1 e 2 e o bilhar com a extremidade inferior esquerda na posição (0,0). As barreiras que limitam o sistema são mostradas em azul. A linha pontilhada na extrema direita representa a linha onde é medido o fluxo de probabilidade do sistema. Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO 11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358 A função de onda em todo o espaço, dentro e fora do bilhar, foi determinada pelo Método de Contorno de Paredes e a corrente de probabilidade foi calculada no final do sistema, representado pela linha pontilhada na Figura 1. Foram realizadas medidas utilizando k no intervalo de 5 a 20, para os casos com e sem bilhar. Para os cálculos, foram considerados como unitários a constante de Planck e a massa do elétron. Resultados e Discussão O gráfico da Figura 2 mostra os valores calculados da corrente de probabilidade para diferentes valores de k, para o sistema com e sem bilhar, conforme mostrado na Figura 1. Observa-se que a corrente i é maior sem o obstáculo e tem uma dependência linear com k. Na presença do bilhar como obstáculo, a corrente diminui e apresenta flutuações típicas de um fenômeno de interferência, coerente com as propriedades ondulatórias da matéria. Figura 2 – Gráfico da corrente de probabilidade i pelo número de onda k da função de onda espalhada no sistema, com a presença do bilhar triangular (linha vermelha) e sem o bilhar triangular (linha azul). Os gráficos inseridos são ampliações de duas regiões da curva, mostrando dois picos referentes aos k’s ressonantes do bilhar triangular. Os resultados mostram que a corrente de probabilidade do sistema com o bilhar apresenta picos bem localizados nos valores de k dos estados ressonantes do bilhar [5]. Os gráficos inseridos na Figura 2 mostram uma ampliação da curva, indicando os pontos onde ocorrem os dois primeiros picos para valores k=7,267 e k=11,10. Os valores exatos dos estados ligados (ressonantes) do bilhar triangular equilátero são dados pela equação: Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO 11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358 , (3) onde m e n são números inteiros [5]. Os dois primeiros estados ligados são k2,1=7,255 e k3,1=11,08, bem próximos dos picos observados no gráfico. É importante destacar que a corrente de probabilidade é observada no final no sistema e foi obtida pela função de onda espalhada pelo bilhar. Estes resultados indicam que a onda espalhada mantém informações da estrutura interna do bilhar e esta informação também se mostra na corrente de probabilidade. Conclusões Neste trabalho foi estudado o espalhamento quântico em um sistema bidimensional contendo um bilhar triangular equilátero. A função de onda foi determinada pelo método de contorno de paredes e, através dela, foi calculada a corrente de probabilidade no final do sistema em função do número de onda k da onda espalhada. Foi observado que a corrente de probabilidade apresenta picos bem localizados nos valores de k correspondentes aos estados ressonantes do bilhar. Este resultado indica que a corrente de probabilidade carrega informações da estrutura interna do bilhar. Considerando que o fluxo de probabilidade está associado a um fluxo de partículas, este resultado pode fornecer pistas para a compreensão do processo de transferência de energia em sistemas com nanoestruturas. Agradecimentos O primeiro autor agradece a CAPES pela bolsa do programa PIBID e o segundo autor o MEC/SESu pela bolsa do programa PET. Referências 1. Luz, M.G.E.; Lupu-Sax, A.S.; Heller, E.J. Quantum scattering from arbitrary boundaries, Physical Review, 1997, 56, 2496. 2. Kaviany, M. Heat Transfer Physics, 1st Edition, New York: Cambridge University Press, 2008. 3. Eisberg, R.M.; Resnick, R. Física Quântica: Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas , 9ª Edição, Editora Campus, 1994; 1-95. 4. Zanetti, F.M., Vicentini, E., da Luz, M.G.E. Eigenstates and Scatering Solutions for a Billiards Problems: A Boundary Wall Approach. Annals of Physics, 2008, 232, 1644. 5. Miltenburg, A.G.; Ruijgrok. Quantum Aspects of Triangular Billiards, Physica A, 1994, 210, 476. Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO 11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358