a) 2. - Anglo Guarulhos

Aula 3 e 4
Fatoração – Fator comum
01)
(Utesc) Simplificando a fração
a) 2.004
b)
113
355
2.004  2.004
, obtemos:
2.004  2.004  2.004
2
1
c)
d)
2.004
3
e)
2
7
Resolução:
2.004 (1  1)
2.004  2.004
2
=
=
2.004  2.004  2.004
3
2.004 (1  1  1)
02)
(Unifoa-RJ) Ao simplificarmos a expressão
encontrado:
7
a)
4
b)
1
5
c)
4
7
2n 1  2n  2
2n
d)
, qual será o resultado
1
3
e) 7
Resolução:
2n 1  2n  2
2n
03)
2n  2  22 

 = 2 1  7
=
4 4
2n
(UFMG) Sejam a, b e c números reais positivos tais que
correto afirmar que:
a) a2 = b2 + c2
=b+c
b) b = a + c
ab
b2  bc

. Então é
bc
a
c) b2 = a2 + c2
d) a
Resolução:
ab
b2  bc

 a2 b  b (b  c)(b  c)  a2 = b2 – c2  b2 = a2 + c2.
bc
a
Fatoração – Agrupamento
04)
(Mackenzie) Assinale, dentre as alternativas abaixo, um possível par (x, y) que
satisfaz a igualdade
x3  2x2y + xy2  2y3 = 0.
a) (150, 75)
b) (75, 150)
c) (75, 150)
d) (150, 75)
e) (150, 75)
Resolução:
x3  2x2y + xy2  2y3 = 0  x2(x  2y) + y2(x  2y) = 0  (x  2y)(x2 + y2) = 0
x = 2y ou x2 + y2 = 0, logo, alternativa (e).
05)
(Insper) O gráfico a seguir representa a função f(x) = x3 + 9x2 + 23x + 15.
Se a, b e c são as raízes de f, então 2a + 2b + 2c é igual a:
32
54
43
21
a)
b)
c)
d)
32
54
65
43
e)
65
76
Resolução:
f(x) = x3 + 9x2 + 23x + 15
f(x) = x3 + x2 + 8x2 + 8x + 15x + 15
f(x) = x2(x + 1) + 8x(x + 1) + 15(x + 1)
f(x) = (x + 1)(x2 + 8x + 15)
f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5) cujas raízes são 1, 3 e 5
1 1 1
16  4  1 21


Assim, 21 + 23 + 25 =  
2 8 32
32
32
06)
(PUC-MG) A expressão a3  2a2  a + 2 pode ser escrita na forma de um produto
de três fatores. A soma desses fatores é igual a:
a) a2 + 2a  4
b) a2 + 2a
c) 3a  2
d) 3a
Resolução:
Seja E = a3  2a2  a + 2  E = a2(a  2)  (a – 2)  E = (a  2)(a2 – 1)  E = (a
 2)(a + 1)(a – 1)
A soma S dos três fatores é S = a – 2 + a + 1 + a – 1  S = 3a – 2
Fatoração – Diferença de dois quadrados
07)
(Unifor-MG) Se A 
1 1
 e B = x1 + y1, o valor de A2  B2, é:
x y
b) (x + y)(x  y)
a) 0
c)
x2  y 2
2 2
d) 4x2y2
x y
e) 
4
xy
Resolução:
A
1 1
1 1
 e B 
x y
x y
A2  B2 = (A + B)(A  B)
 1 1 1 1   1 1  1 1 
A2  B 2              
x y x y  x y x y



 2  1 1 1 1 
A2  B 2        
 x  x y x y 
4
 2  2 
A2  B 2        
xy
 x  y 
08)
(FGV) Seja o seguinte número m = 5.7452  5.7402. A soma dos algarismos de m
é:
a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
e) 26
Resolução:
m = 5.7452  5.7402  m = (5.745 – 5.740)(5.745 + 5.740)  m = 57.425
A soma dos algarismos é 5 + 7 + 4 + 2 + 5 = 23
09)
(Insper) No início de cada mês, um posto recebe uma entrega de combustível para
suprir sua necessidade mensal. O nível de combustível estocado (N) varia de
acordo com o tempo (t), medido em dias decorridos desde a entrega. Considere
que, para o último mês de abril, foram entregues 5.000 litros de combustível.
No mês seguinte foi entregue uma quantidade maior de combustível, que foi
consumido de acordo com a função N(t) = 5t2 + 6.125. Dividindo o mês em 5
períodos de 6 dias, o maior consumo foi no período que compreende os dias
a)
de 1 a 6
b)
de 7 a 12
c)
de 13 a 18
d)
de 19 a 23
e)
de 24 a 30
Resolução:
Sendo que o maior consumo acorreu entre os dias a e b, temos
N(a)  N(b) = 5a2 + 6.125  (5b2 + 6.125)  N(a)  N(b) = 5a2 + 5b2
N(a)  N(b) = 5(b2  a2)  N(a)  N(b) = 5(b  a) (b + a)
b  a é constante (5), logo, o maior consumo ocorre para o maior valor de a + b,
ou seja, o período que compreende os dias de 24 a 30.
10)
x 2  xy  1 1 
   , onde x e y são números
x2  y 2  y x 
(UFV) Simplificando-se a expressão
positivos e distintos, obtém-se:
1
a)
b) 2y
x
c) xy
d)
1
y
e) 2x
Resolução:
Seja E 
x ( x  y)
x y
x
1
x 2  xy  1 1 
 E
 E

   E

2
2 y x
y
x y
( x  y) ( x  y) x  y
x y 

Fatoração – Trinômio quadrado perfeito
11)
(Fumec) Diz-se que x é o produto dos polinômios (a2  4a + 4) e (a2  4) e que y é
o produto dos polinômios (a2 + 4a + 4) e (4a2  16). A forma simplificada de
escrever o quociente entre x e y é:
a2
a)
2(a  2)
b)
a2  4
4(a 2  4)
c)
(a  2)2
4(a  2)2
d)
(a  2)2
2(a  2)2
Resolução:
2 2
x (a  2) (a  4)
x (a  2)2
x
(a 2  4a  4)(a 2  4)
 
 

y 4(a  2)2 (a 2  4)
y 4(a  2)2
y (a 2  4a  4)(4a 2  16)
12)
(Unatec-MG) O valor da expressão
a) 73.909
b) 73.907
( x  6)( x  2)  16 para x = 73.907 é:
c) 73.905
d) 73.903
Resolução:
Seja E  ( x  6)( x  2)  16  E  x2  4 x  4  E  ( x  2)2  E = x  2
 E = 73.907  2
E = 73.905
13)
(ITA) Sobre o número x  7  4 3  3 é correto afirmar que:
a)
x  ]0, 2[.
b)
x é racional.
2x é irracional.
c)
2
d)
x é irracional.
e)
x  ]2, 3[.
Resolução:
x  7  4 3  3  x  4  22 3 
 3
2
2  3
 3  x
2
 3 
x  2 3  3  x = 2
Fatoração – Soma (diferença) de dois cubos
14)
(Ufam) Se x 
a) 27
1
1
1
 3 então o valor de x 2   x3 
é:
3
x
x
x2
b) 47
c) 36
d) 11
e) 63
Resolução:
E  x2 
Seja
E  x2 
E  x2 
1
x2
1
x2
1
 x3 
1
x3
x2
1 
1 1 

  x   x 2  x   
x 
x x2 


1 
 3  x2  1   ( I )
x2 

E  x2 

1
x2
 x3 
1
x3

2
1
1
1
1 1

x   3   x    32  x 2  2 x  
 11 em ( I )
 9  x2 
2
x
x
x x

x2

1
1 
E  x2 
 3  x 2  1    E  11  3 11  1  E = 47
2
x
x2 

15)
(Cefet-MG) Simplificando-se a expressão
a)
3a 3b
b)
3a 3b
c)
d)
e)
3 2
a b
3a
3b
, com a ≠ b, obtém-se:
3
a  b2
3 2
3
a  3 ab  b2
3 2
3
a  23 ab  b2
Resolução:
Seja
E
E
a b
3a
3b
3

 3 a  3 b   3 a2  3 a  3 b  3 b2 
3a 3b
3a  3b

  
E
3a
3
3b

3
3
E  a 2  3 ab  b2
16)
(FGV) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, a soma dos cubos
desses números é igual a
3 3
a) 2.
b) 0.
c) 2.
d) 2 
e)
i
4
3 3

i
4
Resolução:
Sejam a e b os números em questão:
(I)
a  b  1
e a3 + b3 = (a + b)(a2  ab + b2) (III)

(II)
a  b  1
de (I) tem-se:
a + b = 1  (a + b)2 = 12  a2 + 2ab + b2 = 1  a2 + b2 = 1 em (III)
a3 + b3 = (a + b)(a2  ab + b2)  a3 + b3 = 1(1  1)  a3 + b3 = 2