equação de 2.º grau - incompleta

EDUARDO PAES
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CLAUDIA COSTIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
REGINA HELENA DINIZ BOMENY
SUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES
MARIA DE FÁTIMA CUNHA
COORDENADORIA TÉCNICA
SÍLVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
GIBRAN CASTRO DA SILVA
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
O que temos neste
Caderno Pedagógico:
 Racionalização de denominadores
 Relação entre potência e raiz
 Equações
 Equação de 2º.grau
● Introdução
● Raízes
● Coeficientes
● Equações incompletas
● Equações completas – Fórmula de Bhaskara
● Discriminante
● Soma e produto das raízes
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
 Irracionais na reta numérica
EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA.
EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO
 Triângulo retângulo
 Semelhança de polígonos
 Relações métricas no triângulo retângulo
 Teorema de Pitágoras
 Tratamento da informação
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
Ginástica de cérebro
Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória
ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso...
Texto: Rachel Tôrres - Adaptado
jujubamld.blogspot.com
A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão
um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não
abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma
palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”,
brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os
quadradinhos com números.
Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de
neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede
de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país
em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as
cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem.
4
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
É incrível como a
Matemática pode ser
vista como diversão!
Agora, multiplique numerador e
Observe!
Racionalizar o 3
denominador em
pode ser fácil! 2
denominador por esse número.
Legal!
Basta encontrar uma fração equivalente
3
a 2 com denominador racional.
AGORA,
É COM VOCÊ
Para obter uma fração equivalente,
basta multiplicar o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
3
equivale à metade de3 2 .
2
!!!
Racionalize os denominadores de
2
5
6
b)
3
a)
Qual é o número que multiplicado por 2
torna o denominador igual a 2?
c)
___________
5
12
3
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ
As propriedades do expoente inteiro
3
2
É uma potência com
expoente fracionário.
Você sabe calcular 4 ?
aplicam-se ao expoente fracionário.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1) Calcule:
1
2
3
2
a ) 25 
1
Comparando...
3
2
1
c) 27 3 
2² 
4 x 
3
2
 x  23  x  x  8
ou
d ) 10 000 4 
2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras:
2
 32 
 4   x2
 
 
ou
2
4
3


b) 9 
4 x
3
 4
2
3
2
x 4 →
2
3
2
4
3

a) 7  7
3
64  8
1
3
3
2
b) 5  3 5 2
1
c) 3 11  113
 2 8
3
d ) 3  32
3) Calcule:
a)
FIQUE LIGADO!!!
1
3
2
3
100 100

10 1
1
b)8 3  30  2  4
m
n

1
2

a  n am
6
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá.
C - SUDOKU
guiagratisbrasil.com
B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados.
guiagratisbrasil.com
Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo
tamanho.
1
7
5
9
4
3
6
8
2
9
6
3
7
8
2
1
5
4
2
4
8
6
1
5
3
7
9
4
5
1
2
3
6
7
9
8
7
2
6
8
9
4
5
3
1
3
8
9
5
7
1
2
4
6
5
3
4
1
2
8
9
6
7
8
1
7
3
6
9
4
2
5
6
9
2
4
5
7
8
1
3
Veja mais jogos com palitos clicando aqui 
http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU
D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final.
    





1=1² 1 + 3 =___= __²









1 + 3 + 5 = ___ = __²
















1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __²




















1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __²
Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n  1) ? _____
7
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÕES
A Matemática
possui muitas
curiosidades.
FIQUE LIGADO!!!
Você sabia que
1,5 + 3 é igual
ao triplo de 1,5?
Lembrando...
Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a
situação, através de uma igualdade algébrica.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
Verificando...
1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y?
1,5
+ 3,0
4,5
1,5
x
3
4,5
3
3
ou multiplicada por
,
5
5
dá, nos dois casos, o mesmo resultado?
2) Qual é a fração que, somada com
Será que existe
um número que
somado a 5
seja igual ao
seu quíntuplo?
Interessante,
não?
3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
Equacionando...
( + 3)² = 64
Consideremos esse número como x:
x + 5 = 5x
Resolvendo...
x  1,25
4x = 5

4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
Verifique se esse número é, realmente, 1,25.
(  2)² = 81
8
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO
Dividi 4 por um número e encontrei
um resultado igual a 4 menos esse
número.
Numa equação de 2.º grau, o maior
expoente da incógnita (letra) é 2.
AGORA,
É COM VOCÊ
Equacionando a situação, temos:
4
 4  x  4  4 x  x²  x²  4 x  4  0
x
!!!
1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior
expoente da variável.
Esta é uma equação de 2.º grau?
Sendo assim,
3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior
FIQUE LIGADO!!!
expoente da variável é ______.
Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau.
Observe as equações abaixo e determine seu grau.
Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo:
a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0  _______
ax² + bx + c = 0
b) 5x – 7 = 0  ___________
onde a, b, c são números reais e a  0.
c) x² - 5x + 2 = 0  ___________
Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima,
2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu
substituindo x, na igualdade, por esses números.
grau.
a)(x + 3)(x – 5) = 7  _______________ = 0  ____ grau
b) 3x – 5 = 2x – 2  _____________ = 0  ______ grau
9
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES
AGORA,
É COM VOCÊ
Fiquei intrigada! Como
pode haver dois
valores diferentes que
servem para a mesma
equação?
!!!
1)
O quadrado de um
número, somado a 9, é
igual a 25. Que
número é esse?
Uma equação de 2.º grau tem,
no máximo, 2 resultados, que
são chamadas de raízes da
equação. Esses valores
podem ser iguais ou diferentes.
FIQUE LIGADO!!!
2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x  10 = 0.
a) 2 é solução dessa equação?
Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume,
tornando a igualdade verdadeira.
b) 2 é solução dessa equação?
4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação
x²  3x  10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa
equação.
c) 5 é solução dessa equação?
d) 5 é solução dessa equação?
3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z²  3z = 0.
10
x=5
 _____________________________
x=2
 _____________________________
x=0
 _____________________________
x = 2
 _____________________________
x = 5
 _____________________________
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTES
Algumas equações
aparecem escritas em
ordem decrescente do
expoente da incógnita,
como x² - 5x + 6 = 0.
Essas equações
se apresentam
na forma normal
ou reduzida.
Há equações com menos termos
em que não aparecem todas as
potências da incógnita.
clipart
É que essas equações são incompletas.
Por exemplo, 6x³  3x² – 4x + 2 = 0 é uma
equação do 3º grau completa pois todos
os coeficientes são diferentes de zero. Já
x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau
incompleta, pois os coeficientes de x³, x²
e x são nulos.
Entendi! Quando o coeficiente é
zero, a incógnita não aparece e a
equação é considerada
incompleta. Legal!
Glossário:
termo independente – é o valor que aparece sem a
incógnita (letra), na equação.
O que são
coeficientes?
São as
constantes que
acompanham a
incógnita (letra).
Observe!
Introdução à equação de 2.º grau
11
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo:
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
a) x² - 2x = 1
b) 3x²  1 = 11
1) Determine os coeficientes nas equações abaixo:
a) 7x² + 5x + 8 = 0  a = _____ b = ____ c = ____
b) y² ─ y ─ 1 = 0
 a = _____ b = ____ c = ____
c) z² + 3z = 0
 a = _____ b = ____ c = ____
d) 3x² ─ 4 = 0
 a = _____ b = ____ c = ____
e) 5x² = 0
 a = _____ b = ____ c = ____
c) x³ = 2
d) ( x  1) ( x  3) ( x  4) = 2
5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação
3x² + 2x  21 = 0?
2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se
a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0?
___________________________________________
3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos
6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas):
parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação
a) O número 9 é raiz da equação x²  9x + 9 = 0.
for completa .
b) As raízes da equação 6x²  5x + 1 = 0 são
(
) 3x(x  7) = x²  5
(
) 5x + 4x² = 3x(x + 2)  x  3  _________
(
) (x + 2)² = x + 4  _________________
1
2
e
1
.
3
 ______________
12
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA
A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada.
A área de
lazer
continua
quadrada?
Essa é uma equação
de 2º grau.
Não. Ampliaram 1 m
no comprimento e
reduziram 1 m na
largura.
Isso mesmo!
Observe!
Precisamos
cercar essa
área.
Sabendo que
(+3)² = 9 ou (3 )² = 9.
x² = 9  x = 3 ou x =  3
Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3.
Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x  1 = 2
Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida
Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca.
do lado do terreno inicial como x,
AGORA,
É COM VOCÊ
x1
x +1
!!!
E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca
seriam necessários.
equacionamos a situação:
( x + 1 ) . ( x  1 ) = 8  x²  1 = 8  x² = 9
13
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
Temos um produto de dois
fatores ( 4x e x  3 ) igual a
zero.
Augusto e Beto precisam cercar um terreno.
O terreno era
quadrado, mas
ampliaram para
12 metros no
comprimento.
A superfície do terreno
ficou 5 vezes maior que a
área do terreno
quadrado.
O que acontece quando dois fatores
geram um produto igual a zero?
_________________
4x = 0  x = 0

x3=0  x=3
a) Qual é o valor de x que serve para essa situação? _____
b) Determine a medida de cada lado do terreno. __________
c) Quantos metros de cerca serão necessários para
cercar todo o terreno? ________
x
AGORA,
É COM VOCÊ
x + 12
Área do terreno quadrado  x²
1) O produto de um número pela soma desse número mais
Equacionando...
x ( x + 12 ) = 5x²
!!!
3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número.

x² + 12x = 5x²
Determine quais os números que podem atender a essa
Reduzindo a equação...
igualdade.
4x²  12x = 0
Fatorando o polinômio 4x²  12x, temos
4x ( x  3 ) = 0
14
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
AGORA,
É COM VOCÊ
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
!!!
1) Determine as raízes das equações abaixo:
a) x² - 49 = 0 
c) 9x² = 54x
 ___________________________________
____________________________________
b) 2x² - 32 = 0 
c) 5x² - 50 = 0 
d) (x – 5)(x – 6) = 30  _________________________
d) 2x² + 18 = 0 
____________________________
2) Fatore as expressões algébricas a seguir:
e) x (x + 2) = 2x + 25  ___________________________
_________________________
a) x² + 7x = __________
b) 3y²  12y = ___________
5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas
c) 12z + 9z² = ____________
raízes.
3) Resolva as equações a seguir:
a) O que acontece quando a equação é incompleta porque
a) 3x ( x + 2) = 0  _________________________
b = 0? _____________________________________
b) O que acontece quando a equação é incompleta porque
b) x (2x + 5) = 2x  _____________________________
c = 0? _______________________
6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu
4) Agora, resolva essas equações:
perímetro.
a) 5x²  10x = 0  ______________________________
______________________________
y+5
y5
b) 3x²  7x = x(2x – 4)  _________________________
_________________________
_________________________
15
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
FIQUE LIGADO!!!
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
Forma geral da equação de 2.º grau:
!!!
1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0,
ax² + bx + c = 0
• em que x é a incógnita que pode ser
AGORA,
É COM VOCÊ
em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7.
representada por
qualquer letra ( y, z, w... );
__________________
2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os
• a, b e c são valores constantes, chamados de ____________.
valores de p para que ela seja de 2.º grau?
_______________________________________________
As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas.
3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores
a) Em ax² + bx + c = 0, se a  0, b  0 e c  0, podemos afirmar
de m para que a equação seja de 2.º grau?
que é uma equação de 2.º grau ___________.
c
< 0, a equação será ___________,
a
do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________.
b) Porém, se a  0, b = 0 e
c) Se a ≠ 0, b = 0 e
4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2?
c
> 0, as raízes ______________________.
a
d) Quando a  0, b  0 e c = 0, a equação será também
_____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes
será _____________.
5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que
uma de suas raízes seja zero.
e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é
uma equação do ____ grau.
6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma
de suas raízes seja zero.
16
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
Quantos
metros de
moldura vou
precisar?
Preciso que o senhor
aumente em 1m o
comprimento e a largura
do mural quadrado do
pátio e coloque uma
moldura.
A superfície do mural
terá 9 m² de área.
7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo
assim, podemos afirmar que o valor de m é _____.
8) Na equação x² + ( 2p + 6)x  p = 0, o valor de p pode ser 3,
para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____
Por quê? ____________________________.
O cálculo da
área do
quadrado é
lado ao
quadrado.
y+1
y+1
9) A equação (n  3)x² + 5x + (n²  9) = 0 é do 2.º grau e uma de
( y + 1)² = 9
suas raízes é zero. Determine o valor de n.
y+1=3
y+1=3  y=2
y + 1 = 3  y =  4
y =  4  y + 1 = 4 + 1 =  3  não pode ser a medida do
lado do mural.
y = 2  y + 1 = 2 + 1 = 3  o lado do mural mede 3 m.
Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.
17
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
AGORA,
É COM VOCÊ
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
!!!
2) Determine um número cujo quadrado de sua soma
com 3 resulte em 36.
1) Fatore o trinômio e resolva as equações:
a) x² - 2x + 1 = 4
3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione
b) x² + 6x + 9 = 49
sua área, na forma reduzida.
x
x 3
c) 4y² - 4y + 1 = 25
Essa equação é completa. O trinômio
não é um quadrado perfeito.
Acho que terei que usar a Fórmula
de Bhaskara para resolvê-la.
d) 9z² + 12z + 4= 64
Bhaskara foi matemático, professor,
astrólogo e astrônomo indiano, o mais
importante matemático do século XII e
último matemático medieval importante
da Índia.
Adaptado - http://www.xtimeline.com
18
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA
d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac
Vamos descobrir juntos a fórmula de
Bhaskara?
A ideia é genial: tentar escrever
ax² + bx + c como um produto.
Vamos lá!
e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros,
encontramos 2ax + b =  b ²  4ac
Agora, é só isolar o x!
Considerando a equação de 2.º grau como
ax² + bx + c = 0, onde a  0.
a) Subtraímos c de ambos os membros da equação:
ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx =  c.
f) Subtraímos b de ambos os membros:
2ax + b – b =  b²  4ac  b, isto é, 2ax = b  b²  4ac
b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a:
( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx =  4ac.
g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se
c) Adicionamos b² a ambos os membros:
4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b²  4ac.
Que legal!!!
Com esse processo, transformamos o 1.º
membro da equação em um trinômio
quadrado perfeito!
4a²x²
+
4abx
+
Esta é a Fórmula de
Bhaskara!
Para achar os valores de x,
basta substituir os valores
de a, b e c da equação na
fórmula.
b²
↓
↓
↓
2ax
2 . 2ax . b
b
x =  b  b²  4ac
2a
Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )²
19
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40.
Vamos resolver a equação
x²  3x  4 = 0,
utilizando a fórmula de
Bhaskara.
Equacionando x²  3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0.
Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40.
Vamos calcular o radicando primeiro?
Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em
x²  3x  4 = 0
O radicando b²  4ac é chamado de
discriminante da equação e é
representado pela letra grega delta (∆).
a = 1, b =  3 e c =  4.
Substituindo, na fórmula,
 b  b ²  4ac
x
2a
 x
  3 
 32  4 1  4
Calculando ∆,
2 1
  b²  4ac     3  4 1  40    169
2
x
x
3  9  16
2
3  25
2
3  25
2
8
x 4
2
3 5
 x
2
2
x
 1
2
 x
Aplicando à fórmula de Bhaskara:
x
b 
2a
 x
  3  169
3  13
 x
2 1
2
x 8
x  5
As raízes são 8 ou  5.
São as raízes da equação 1 e 4.
Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada
um na equação.
EQUAÇÕES DE 2.º GRAU
20
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
AGORA,
É COM VOCÊ
2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a
!!!
seu quíntuplo. Determine esse número.
1) Determine as raízes das equações a seguir:
a) x²  5x + 6 = 0
b) 2y² + 3y  14 = 0
3) A área do retângulo é igual à área do quadrado.
Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões:
x 3
x 1
2x  2
x 1
c) (2x + 3) (x  1) = 3
21
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE
III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0?
Agora, serão propostas três equações de
2.º grau para que você as resolva.
Use a fórmula de Bhaskara.
Preste atenção a cada ∆ e relacione com
as raízes encontradas.
Você fará uma incrível descoberta!
O valor de  é positivo ou negativo? __________
I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0.
Por que as raízes não são reais?
_______________________________________________
_______________________________________________
Vou sempre calcular o ∆ antes
de resolver a equação. Assim, já
sei que tipo de raízes vou
encontrar.
Que valor encontrou para ? ______
Como são as raízes? _________
II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0
FIQUE LIGADO!!!
Discriminante da equação de 2.º grau
Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais.
Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes.
O valor que você encontrou para  é positivo ou negativo?
__________________
Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais.
As raízes são iguais ou diferentes? ____________
22
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTE
Agora, eu sei porque ∆ se chama
discriminante.
Ele indica se as raízes de uma
equação de 2.º grau são reais e
iguais, reais e diferentes ou se não
são reais.
AGORA,
É COM VOCÊ
4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0
tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero?
!!!
1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes.
A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ ,
porque o discriminante () é ____________________.
5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui
raízes reais e diferentes? _____ Por quê?
2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0?
Justifique sua resposta.
6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os
valores de p, para que a equação tenha raízes reais e
iguais.
3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes
reais e iguais, qual é o valor de m?
23
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES
Mostre para nós o
que você
descobriu.
Fiz uma experiência
e descobri algo
incrível.
Vamos testar?
Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0.
clipart
Sabemos que a equação geral de 2.º grau é
Verificando...
a x ² + b x + c = 0.
a) z1 + z2 = _____________
Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim
b) Utilizando a regra que encontramos...
 7    b  7
b
 
a
1
a
encontradas:
x1 
 b  b ²  4ac
2a
e
x2 
 b  b ²  4ac
2a
Se somarmos as raízes, temos:
x1 + x2 =  b  b²  4ac   b  b²  4ac
2a
2a
Não é que deu certo?
z² − 7z – 30 = 0.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma
Determine a soma das raízes das equações:
toda sobre o mesmo denominador.
a) 9x²  9x + 2 = 0
b) 4y² + 4y  3 = 0
 2b  b
x1 + x2 =  b  b²  4ac  b  b²  4ac 

2a
a
2a
24
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES
Descobriu mais
alguma coisa?
Sim! Veja que
interessante!
clipart
Vamos testar com a mesma equação?
z² − 7z – 30 = 0
clipart
As suas raízes são 3 e 10.
Verificando...
a) z1 . z2 = ___________
Agora, vamos multiplicar as raízes:
 b  b ²  4ac  b  b ²  4ac
x1  x2 

2a
2a
 b  b ²  4ac   b  b ²  4ac
x1  x2 
2a  2a


b) Utilizando a regra encontrada...

AGORA,
É COM VOCÊ
Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença,
1) Determine o produto das raízes nas equações:
temos:
x1  x2
!!!
 b 2  

b ²  4ac
4a ²

2
 x1  x2 
a) 9x²  9x + 2 = 0
b2  b²  4ac 
4a²
Retirando os parênteses:
2) Determine a soma e o produto das raízes em
b 2  b 2  4ac
x1  x2 
4a²
Simplificando:
x1  x2 
b) 4y² + 4y  3 = 0
2y²  3y + 1 = 0
4ac c

4a ² a
25
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES
5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o
Uma equação do 2.º grau é da forma
produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do
ax² + bx + c =0, com a  0.
termo em x² é 1, então essa equação é ______________
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação
de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e
6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do
tipo ax² + bx + c = 0 a seguir.
onde o coeficiente de x² é um (a = 1).
( )2e6
( )–8e1
( )–3e–4
a) z² − 7z – 30 = 0
b) 4x²  12x + 9 = 0
2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das
equações:
a) x² – 6x – 7 = 0
(S) = ______ (P) = ______
b) 3y² + 4y + 1 = 0
(S) = ______ (P) = ______
3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é
igual a 7, determine o valor de k:
7) Descubra o produto das raízes da equação
x²  3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.
4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1.
Determine o valor de p.
26
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃO
Nossa! Na atividade
5 da página anterior,
montamos uma
equação!
Será que podemos compor
equações a partir das raízes?
Veja como pensei!
Pensando...
x-3=0  x=3 e
x + 4 = 0  x = 4
Então: (x  3) (x + 4) = 0  x² + x  12 = 0
Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha
Utilizando o produto de binômios,
formados com os simétricos das
raízes, também encontramos a
equação.
raízes 3 e -4.
Consideremos o coeficiente a = 1.
A soma das raízes é 3 + (4) = 1.
b
b
Como a soma das raízes é =  ,   1  b  1
a
1
O produto das raízes é 12.
c c
 12  c  12.
Como o produto das raízes é = ,
a 1
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas
A equação é x² + x  12 = 0.
raízes são 5 e 3.
Resolva a equação e verifique se
as raízes são 3 e 4.
Descobri!
Se considerarmos a = 1, podemos compor
uma equação de 2º grau usando a
fórmula:
x²  Sx + P = 0, sendo S a soma das
raízes e P o produto delas.
27
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
AGORA,
É COM VOCÊ
clipart
A minha última descoberta foi a mais
incrível!
Através da soma e do produto, é
bastante simples achar as raízes das
equações de 2.º grau, se as raízes
forem números inteiros.
!!!
Descubra os dois números inteiros que atendam às condições
propostas a seguir:
a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______.
b) cujo produto é 15 e cuja soma é  8. São eles: ____ e _____ .
c) cujo produto é  30 e cuja soma é -1. São eles: _______.
Vamos brincar um pouco?
Diga 2 números que, somados, deem
7 e cujo produto seja 10.
FIQUE LIGADO!!!
Se o produto de 2 números for
Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4.
positivo, os números têm sinais iguais.
O par, cujo produto é 10, é 2 e 5.
negativo, os números têm sinais diferentes.
Montando o produto, temos:
(x – 2 ) (x – 5 ) = 0  x²  2x  5x + 10 = 0
Se os 2 números possuem
x²  7x + 10 = 0
sinais iguais, a soma é o resultado da adição
módulos com o mesmo sinal desses números.
Resolva a equação e verifique se as
raízes são 2 e 5.
de seus
sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de
seus módulos com o sinal do número com maior módulo.
Lembre-se de que
• o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio
número, se ele for positivo.
• o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu
simétrico, se ele for negativo.
28
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
2) Determine as raízes da equação x² + 3x  28 = 0,
utilizando a soma e o produto das raízes.
clipart
Mas como podemos utilizar a soma e o
produto para descobrir as raízes de uma
equação de 2.º grau?
clipart
Sabemos que uma equação do
tipo ax² + bx + c = 0, em que a =
1 pode ser determinada por
x²  Sx + P = 0, onde S é a soma
e P o produto das raízes.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as
raízes das seguintes equações:
3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as
a) x²  9x + 18 = 0.
equações a seguir.
a) x²  9x + 14 = 0
b) y² + 6y + 8 = 0
b) 2z² + 4z  30 = 0.
c) z²  z  12 = 0
d) w² + 5w  6 = 0
e) x² + 4x + 4 = 0
29
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA
Agora, resolva a equação y²  2 = 0.
Localize, aproximadamente, suas raízes
na reta numérica.
clipart
É um pouco mais de 1,4.
Observe as setas.
Quais delas apontam para os valores mais próximos das
raízes dessa equação?
Entre que inteiros está
clipart
2?
1 1
Sendo a equação y ²  3 y  0 , determine suas raízes e
4 2
assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes.
Eu utilizei a calculadora.
30
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo.
Essas duas fotos são semelhantes.
clipart
Observe os trapézios ACFD e BCFE.
Meça os ângulos de cada trapézio.
Essas duas fotos não são semelhantes.
Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____
BC
 ___________________________
Determine a razão
AC
BE
EF
e
.
Verifique se a razão é a mesma em
CF
DF
Podemos concluir que os trapézios
ACFD e BCFE são semelhantes.
FIQUE LIGADO!!!
Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando
seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a
mesma medida) e seus lados correspondentes são
proporcionais.
Em Matemática, para que a redução de uma figura seja
semelhante à figura original é necessário que se
mantenham as devidas proporções.
31
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes.
Justifique sua resposta.
1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine
6cm
3cm
as medidas x e y.
y
6cm
8cm
4 cm
6 cm
x
10cm
20 cm
15 cm
10cm
Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:
4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo
2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é
lado também mede 7 cm são semelhantes?
3
e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm,
4
podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm.
32
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Trace, em uma folha de papel
quadriculado, um triângulo cujos lados
meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Trace, em uma folha de papel
quadriculado, dois triângulos retângulos
como o modelo abaixo.
Observe abaixo.
Meça seus lados e ângulos e verifique
se são semelhantes.
F
C
A
Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e
60°
3cm
60°
B
D
E
5cm
construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo.
Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes.
O que descobriu?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
33
É
possível
desenhar
quadriláteros,
pentágonos, hexágonos e outros polígonos
com lados proporcionais e ângulos
diferentes. Porém, com os triângulos não é
possível desenhá-los desta maneira.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
2) De acordo com a figura abaixo, responda:
1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e
1
CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de .
3
A
4
A
10cm
B
D
6cm
3cm
B
AC


___ __
CE


C 4cm
E
a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes?
b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE
e DCE?
c) Qual é a medida de DE ?
d) Qual é a medida de BE ?
34
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
Preciso
reforçar esse
teto!
H
H
Qual será a
medida da viga
de sustentação?
A
A
C
B
B
H
Analisando o triângulo retângulo ABC...
a) Qual é o nome dado ao ladoBC ? ________________
redesul.am.br
b) Qual é o cateto maior? ________________
c) Qual é o cateto menor? ________________
d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC?
todaoferta.uol.com.br
O triângulo ABC é retângulo em Â. AH é a altura relativa à
hipotenusa.
e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC?
C
A
H
A
B
B
H
C
f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes?
Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus
ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem
nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo
reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º.
35
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
C
TRIÂNGULO RETÂNGULO
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado
________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são
Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e
opostos ao ângulo .
determine o que se pede.
.
e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____
B

do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos

ângulos  e  , sabendo que  = .
6
A

4
D

f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então
C
o lado AD mede ______.
a) Podemos afirmar que a medida do ângulo  é igual à medida
BD ___

CD BD
de ? _____ Por quê?
___________________________________________________

___ ___

___ ___
 ___ x  ___  ___  x  ____
___________________________________________________
b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao
triângulo BCD? _____ Por quê?
TRIÂNGULO RETÂNGULO
___________________________________________________
___________________________________________________
c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________
do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao
ângulo reto.
36
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as
medidas das projeções dos catetos, obtenho
a hipotenusa.
• Então, a = ____+ _____  (1.ª relação)
 Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o
Comparando os dois triângulos maiores.
A
A
triângulo retângulo...

São elas:
b
c
a → a medida da hipotenusa
b → a medida de um cateto
B
c → a medida do outro cateto
b
h
C H
a
m
C
Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a
h → a medida da altura
igualdade com os lados correspondentes.
A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que
AC BC

HC AC
são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

b a

m b
Multiplicando meios e extremos...
m → é a medida da projeção ortogonal de b.
b . b = a . ___ → _________
n→ é a medida da projeção ortogonal de c.
A 2.ª relação mostra que o quadrado do
cateto b é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.
• Então, b² = am  (2.ª relação)
Já sei que, ao traçar a altura relativa à
hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho
três triângulos retângulos semelhantes.
Agora, vou verificar as relações que posso
obter com as medidas de seus lados.
37
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Comparando o triângulo maior com o menor.
A
Comparando os triângulos menores...
A
A
b
c
c
h
c
B
C
H
n
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a
a
B

h
n
b
h
B
igualdade com os lados correspondentes.
AB BC

HB AB
A
m
H
H
C
Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a
igualdade com os lados correspondentes.
c a

n c
HA BH

HC HA
Multiplicando meios e extremos...
c . c = a . ___ → _________

h n

m h
Multiplicando meios e extremos...
h . h = m . n→ _____________
A 3.ª relação mostra que o quadrado do
cateto c é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.
• Então, c² = a.n  (3.ª relação)
A 4.ª relação mostra que o quadrado da
medida da altura é igual ao produto das
projeções dos catetos.
• Então, h² = mn  (4.ª relação)
38
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Retomando o projeto (página 34) ...
Comparando os dois triângulos maiores novamente...
A
A
A
3m
b
c
B
a
b
h
C
H
4m
m
B
C
C
H
5m
BC AB

AC AH

a c

b h
De acordo com as medidas da figura acima, complete e
Multiplicando meios e extremos...
calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.
a . ___= ____ . c → ____________
a) Considerando as representações das medidas dos elementos
de um triângulo retângulo...
Na 5.ª relação, descobri que o produto da
medida da hipotenusa, pela medida da
altura relativa a ela, é igual ao produto das
medidas dos catetos.
 Então, ah = bc  (5.ª relação)
a = ____
b = ___
c = ___
h = ____
b) Utilizando a 5.ª relação...
ah = bc
_______________________________
c) A viga de sustentação deve medir ________ m.
A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver
o projeto da viga no telhado que precisa ser
reforçado.
39
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
TEOREMA DE PITÁGORAS
A área do quadrado claro é a².
Para achar a área do quadrado claro,
podemos calcular a área do quadrado
grande e tirar a área desses 4 triângulos
retângulos escuros.
 que Pitágoras é conhecido pelo famoso
teorema que leva seu nome? Era filósofo e
astrônomo, além de matemático?
Imagem retirada de
http://www.suapesqui
sa.com/pesquisa/pita
goras.htm
 que Pitágoras foi o fundador de uma escola
de pensamento grega denominada, em sua
homenagem, de Pitagórica, cujos princípios
foram determinantes para a evolução geral
da Matemática e da Filosofia Ocidental?
Vamos calcular a área do quadrado escuro:
a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura
toda é (b + c)².
Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.
b) Desenvolvendo esse quadrado:
A próxima atividade utilizará um processo com base em uma
dessas demonstrações.
(b + c)² = b² + 2bc + c²
Nesta figura, vemos dois quadrados:
c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de
 Um claro de lado a.
um retângulo de lados b e c. Veja!
Um escuro de lado (b + c).
bc
2
4bc
 2bc
Quatro triângulos 
2
Um triângulo 
b
c
d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos
quatro triângulos retângulos, temos:
b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c²
e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de
Pitágoras  a² = b² + c²
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
TEOREMA DE PITÁGORAS
Oi, amigos! Sou treinador de um time de
futebol da minha comunidade.
Gosto de mostrar diversas jogadas para
que os jogadores conheçam boas
estratégias de jogo. Esta jogada é uma
delas. Observe.
Também podemos demonstrar o Teorema de
Pitágoras usando as relações que
encontramos. Observe.
Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões
que deduzimos.
Imagem adaptada de: http://www.google.com.br/ em 4/6/10
b² = am e c² = an.
Então, b² + c² = __________
Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____
Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____
Logo, b² + c² = a²
FIQUE LIGADO!!!
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Determinando as distâncias dos
jogadores 1, 2 e 3, nesse
momento, é possível ver que suas
posições formam um triângulo
retângulo e que a distância entre o
jogador 1 e a bola é a altura
relativa à hipotenusa desse
triângulo.
a=m+n
 b² = am
 c² = an
 h² = mn
 ah = bc
 a² = b² + c²
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
A distância do
► jogador 2 até a bola é de 3,2 m.
► jogador 3 até a bola é de 1,8 m.
2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?
3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2?
1. De acordo com as representações das medidas de um
triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos
dizer que
4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.
 a distância entre os jogadores 2 e 3 é a
__________________.
 a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.
 a distância entre os jogadores 1 e 3 é o
_________________.
5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância
a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.
entre o jogador 1 e a bola.
 a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________
_______________________________.
a distância entre o jogador 3 e a bola é
__________________________________.
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho
abaixo). Determine a medida x do cabo de aço.
3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo:
x
A
40 m
z
w
y
25 m
20 m
B
A medida x é de ________________.
18
C
H
50
2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
A
B
4
5
H
C
a
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z.
Assim, ficará mais fácil.
4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de
suas dimensões estão representadas na figura abaixo.
Resolução da questão:
18 m
13 m
12 m
32 m
a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior
da figura.
b) As medidas que você deverá encontrar estão
assinaladas como x, y e z na figura a seguir.
18 m
13 m
z
12 m
x
y
32 m
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi
6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo:
retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi
colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo.
a)
x
5
1
1
b)
Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede
4 2
1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira?
x
7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo:
h
6
Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais
próximo de 2 é o ____ .
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu
Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não
mais tortas em _______ e menos tortas em _______.
compromete o orçamento doméstico.
Controlo direitinho todo dinheiro que recebo
com as tortas.
Observe a tabela que fiz para controlar a
quantia que sobra ao final do mês.
A quantia que sobra, em cada mês, coloco na
Caderneta de Poupança.
De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano,
ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança.
CONTROLE DE 2014
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
R$
R$
R$
R$
R$
Recebi
pelas
tortas
480
320
600
280
640
Gastos
pessoais
250
Sobra
230
150
420
300
180
̶ 20
Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o
quadro abaixo.
TORTAS VENDIDAS
Janeiro
Nº de
tortas
400
Fevereiro
Março
Abril
Maio
12
Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.
De acordo com a tabela acima, determine o que se pede.
a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________,
no valor de R$ _________.
b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para
cobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______.
c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$
_____________.
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Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
O gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez
de uma turma, em um teste de Geografia.
uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos
anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo.
0
1
2
3
4
a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____
5
E nota um? _____
b) Complete a tabela com os dados do gráfico:
Notas
0
Nº de
alunos
2
1
2
3
4
5
Fonte IBGE
De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que
c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste,
a) o ano de _________ teve a maior taxa de desemprego
desse período.
quantos alunos há nessa turma? ______
b) O maior número de habitantes empregados, nesse período,
foi em ___________.
d) Qual foi a média da turma? _______
c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi
nos anos de _________ e ________.
e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______
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