equação de 2.º grau - incompleta
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EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CLAUDIA COSTIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO O que temos neste Caderno Pedagógico: Racionalização de denominadores Relação entre potência e raiz Equações Equação de 2º.grau ● Introdução ● Raízes ● Coeficientes ● Equações incompletas ● Equações completas – Fórmula de Bhaskara ● Discriminante ● Soma e produto das raízes FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO Irracionais na reta numérica EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO Triângulo retângulo Semelhança de polígonos Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras Tratamento da informação Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 Ginástica de cérebro Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso... Texto: Rachel Tôrres - Adaptado jujubamld.blogspot.com A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”, brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os quadradinhos com números. Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem. 4 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão! Agora, multiplique numerador e Observe! Racionalizar o 3 denominador em pode ser fácil! 2 denominador por esse número. Legal! Basta encontrar uma fração equivalente 3 a 2 com denominador racional. AGORA, É COM VOCÊ Para obter uma fração equivalente, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número. 3 equivale à metade de3 2 . 2 !!! Racionalize os denominadores de 2 5 6 b) 3 a) Qual é o número que multiplicado por 2 torna o denominador igual a 2? c) ___________ 5 12 3 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ As propriedades do expoente inteiro 3 2 É uma potência com expoente fracionário. Você sabe calcular 4 ? aplicam-se ao expoente fracionário. AGORA, É COM VOCÊ !!! 1) Calcule: 1 2 3 2 a ) 25 1 Comparando... 3 2 1 c) 27 3 2² 4 x 3 2 x 23 x x 8 ou d ) 10 000 4 2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras: 2 32 4 x2 ou 2 4 3 b) 9 4 x 3 4 2 3 2 x 4 → 2 3 2 4 3 a) 7 7 3 64 8 1 3 3 2 b) 5 3 5 2 1 c) 3 11 113 2 8 3 d ) 3 32 3) Calcule: a) FIQUE LIGADO!!! 1 3 2 3 100 100 10 1 1 b)8 3 30 2 4 m n 1 2 a n am 6 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá. C - SUDOKU guiagratisbrasil.com B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados. guiagratisbrasil.com Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho. 1 7 5 9 4 3 6 8 2 9 6 3 7 8 2 1 5 4 2 4 8 6 1 5 3 7 9 4 5 1 2 3 6 7 9 8 7 2 6 8 9 4 5 3 1 3 8 9 5 7 1 2 4 6 5 3 4 1 2 8 9 6 7 8 1 7 3 6 9 4 2 5 6 9 2 4 5 7 8 1 3 Veja mais jogos com palitos clicando aqui http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final. 1=1² 1 + 3 =___= __² 1 + 3 + 5 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __² Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n 1) ? _____ 7 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÕES A Matemática possui muitas curiosidades. FIQUE LIGADO!!! Você sabia que 1,5 + 3 é igual ao triplo de 1,5? Lembrando... Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a situação, através de uma igualdade algébrica. AGORA, É COM VOCÊ !!! Verificando... 1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y? 1,5 + 3,0 4,5 1,5 x 3 4,5 3 3 ou multiplicada por , 5 5 dá, nos dois casos, o mesmo resultado? 2) Qual é a fração que, somada com Será que existe um número que somado a 5 seja igual ao seu quíntuplo? Interessante, não? 3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? Equacionando... ( + 3)² = 64 Consideremos esse número como x: x + 5 = 5x Resolvendo... x 1,25 4x = 5 4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? Verifique se esse número é, realmente, 1,25. ( 2)² = 81 8 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse número. Numa equação de 2.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é 2. AGORA, É COM VOCÊ Equacionando a situação, temos: 4 4 x 4 4 x x² x² 4 x 4 0 x !!! 1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente da variável. Esta é uma equação de 2.º grau? Sendo assim, 3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior FIQUE LIGADO!!! expoente da variável é ______. Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau. Observe as equações abaixo e determine seu grau. Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo: a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0 _______ ax² + bx + c = 0 b) 5x – 7 = 0 ___________ onde a, b, c são números reais e a 0. c) x² - 5x + 2 = 0 ___________ Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima, 2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu substituindo x, na igualdade, por esses números. grau. a)(x + 3)(x – 5) = 7 _______________ = 0 ____ grau b) 3x – 5 = 2x – 2 _____________ = 0 ______ grau 9 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES AGORA, É COM VOCÊ Fiquei intrigada! Como pode haver dois valores diferentes que servem para a mesma equação? !!! 1) O quadrado de um número, somado a 9, é igual a 25. Que número é esse? Uma equação de 2.º grau tem, no máximo, 2 resultados, que são chamadas de raízes da equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes. FIQUE LIGADO!!! 2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x 10 = 0. a) 2 é solução dessa equação? Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume, tornando a igualdade verdadeira. b) 2 é solução dessa equação? 4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação x² 3x 10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa equação. c) 5 é solução dessa equação? d) 5 é solução dessa equação? 3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z² 3z = 0. 10 x=5 _____________________________ x=2 _____________________________ x=0 _____________________________ x = 2 _____________________________ x = 5 _____________________________ Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTES Algumas equações aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0. Essas equações se apresentam na forma normal ou reduzida. Há equações com menos termos em que não aparecem todas as potências da incógnita. clipart É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³ 3x² – 4x + 2 = 0 é uma equação do 3º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x² e x são nulos. Entendi! Quando o coeficiente é zero, a incógnita não aparece e a equação é considerada incompleta. Legal! Glossário: termo independente – é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação. O que são coeficientes? São as constantes que acompanham a incógnita (letra). Observe! Introdução à equação de 2.º grau 11 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU 4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo: AGORA, É COM VOCÊ !!! a) x² - 2x = 1 b) 3x² 1 = 11 1) Determine os coeficientes nas equações abaixo: a) 7x² + 5x + 8 = 0 a = _____ b = ____ c = ____ b) y² ─ y ─ 1 = 0 a = _____ b = ____ c = ____ c) z² + 3z = 0 a = _____ b = ____ c = ____ d) 3x² ─ 4 = 0 a = _____ b = ____ c = ____ e) 5x² = 0 a = _____ b = ____ c = ____ c) x³ = 2 d) ( x 1) ( x 3) ( x 4) = 2 5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação 3x² + 2x 21 = 0? 2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0? ___________________________________________ 3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos 6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas): parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação a) O número 9 é raiz da equação x² 9x + 9 = 0. for completa . b) As raízes da equação 6x² 5x + 1 = 0 são ( ) 3x(x 7) = x² 5 ( ) 5x + 4x² = 3x(x + 2) x 3 _________ ( ) (x + 2)² = x + 4 _________________ 1 2 e 1 . 3 ______________ 12 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada. A área de lazer continua quadrada? Essa é uma equação de 2º grau. Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na largura. Isso mesmo! Observe! Precisamos cercar essa área. Sabendo que (+3)² = 9 ou (3 )² = 9. x² = 9 x = 3 ou x = 3 Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3. Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x 1 = 2 Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca. do lado do terreno inicial como x, AGORA, É COM VOCÊ x1 x +1 !!! E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca seriam necessários. equacionamos a situação: ( x + 1 ) . ( x 1 ) = 8 x² 1 = 8 x² = 9 13 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA Temos um produto de dois fatores ( 4x e x 3 ) igual a zero. Augusto e Beto precisam cercar um terreno. O terreno era quadrado, mas ampliaram para 12 metros no comprimento. A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a área do terreno quadrado. O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero? _________________ 4x = 0 x = 0 x3=0 x=3 a) Qual é o valor de x que serve para essa situação? _____ b) Determine a medida de cada lado do terreno. __________ c) Quantos metros de cerca serão necessários para cercar todo o terreno? ________ x AGORA, É COM VOCÊ x + 12 Área do terreno quadrado x² 1) O produto de um número pela soma desse número mais Equacionando... x ( x + 12 ) = 5x² !!! 3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número. x² + 12x = 5x² Determine quais os números que podem atender a essa Reduzindo a equação... igualdade. 4x² 12x = 0 Fatorando o polinômio 4x² 12x, temos 4x ( x 3 ) = 0 14 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 AGORA, É COM VOCÊ EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA !!! 1) Determine as raízes das equações abaixo: a) x² - 49 = 0 c) 9x² = 54x ___________________________________ ____________________________________ b) 2x² - 32 = 0 c) 5x² - 50 = 0 d) (x – 5)(x – 6) = 30 _________________________ d) 2x² + 18 = 0 ____________________________ 2) Fatore as expressões algébricas a seguir: e) x (x + 2) = 2x + 25 ___________________________ _________________________ a) x² + 7x = __________ b) 3y² 12y = ___________ 5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas c) 12z + 9z² = ____________ raízes. 3) Resolva as equações a seguir: a) O que acontece quando a equação é incompleta porque a) 3x ( x + 2) = 0 _________________________ b = 0? _____________________________________ b) O que acontece quando a equação é incompleta porque b) x (2x + 5) = 2x _____________________________ c = 0? _______________________ 6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu 4) Agora, resolva essas equações: perímetro. a) 5x² 10x = 0 ______________________________ ______________________________ y+5 y5 b) 3x² 7x = x(2x – 4) _________________________ _________________________ _________________________ 15 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 FIQUE LIGADO!!! EQUAÇÃO DE 2.º GRAU Forma geral da equação de 2.º grau: !!! 1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0, ax² + bx + c = 0 • em que x é a incógnita que pode ser AGORA, É COM VOCÊ em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7. representada por qualquer letra ( y, z, w... ); __________________ 2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os • a, b e c são valores constantes, chamados de ____________. valores de p para que ela seja de 2.º grau? _______________________________________________ As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas. 3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores a) Em ax² + bx + c = 0, se a 0, b 0 e c 0, podemos afirmar de m para que a equação seja de 2.º grau? que é uma equação de 2.º grau ___________. c < 0, a equação será ___________, a do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________. b) Porém, se a 0, b = 0 e c) Se a ≠ 0, b = 0 e 4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2? c > 0, as raízes ______________________. a d) Quando a 0, b 0 e c = 0, a equação será também _____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes será _____________. 5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que uma de suas raízes seja zero. e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é uma equação do ____ grau. 6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero. 16 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU Quantos metros de moldura vou precisar? Preciso que o senhor aumente em 1m o comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma moldura. A superfície do mural terá 9 m² de área. 7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo assim, podemos afirmar que o valor de m é _____. 8) Na equação x² + ( 2p + 6)x p = 0, o valor de p pode ser 3, para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____ Por quê? ____________________________. O cálculo da área do quadrado é lado ao quadrado. y+1 y+1 9) A equação (n 3)x² + 5x + (n² 9) = 0 é do 2.º grau e uma de ( y + 1)² = 9 suas raízes é zero. Determine o valor de n. y+1=3 y+1=3 y=2 y + 1 = 3 y = 4 y = 4 y + 1 = 4 + 1 = 3 não pode ser a medida do lado do mural. y = 2 y + 1 = 2 + 1 = 3 o lado do mural mede 3 m. Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura. 17 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 AGORA, É COM VOCÊ EQUAÇÃO DE 2º GRAU !!! 2) Determine um número cujo quadrado de sua soma com 3 resulte em 36. 1) Fatore o trinômio e resolva as equações: a) x² - 2x + 1 = 4 3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione b) x² + 6x + 9 = 49 sua área, na forma reduzida. x x 3 c) 4y² - 4y + 1 = 25 Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito. Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la. d) 9z² + 12z + 4= 64 Bhaskara foi matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Adaptado - http://www.xtimeline.com 18 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara? A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto. Vamos lá! e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros, encontramos 2ax + b = b ² 4ac Agora, é só isolar o x! Considerando a equação de 2.º grau como ax² + bx + c = 0, onde a 0. a) Subtraímos c de ambos os membros da equação: ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx = c. f) Subtraímos b de ambos os membros: 2ax + b – b = b² 4ac b, isto é, 2ax = b b² 4ac b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a: ( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx = 4ac. g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se c) Adicionamos b² a ambos os membros: 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b² 4ac. Que legal!!! Com esse processo, transformamos o 1.º membro da equação em um trinômio quadrado perfeito! 4a²x² + 4abx + Esta é a Fórmula de Bhaskara! Para achar os valores de x, basta substituir os valores de a, b e c da equação na fórmula. b² ↓ ↓ ↓ 2ax 2 . 2ax . b b x = b b² 4ac 2a Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )² 19 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40. Vamos resolver a equação x² 3x 4 = 0, utilizando a fórmula de Bhaskara. Equacionando x² 3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0. Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40. Vamos calcular o radicando primeiro? Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em x² 3x 4 = 0 O radicando b² 4ac é chamado de discriminante da equação e é representado pela letra grega delta (∆). a = 1, b = 3 e c = 4. Substituindo, na fórmula, b b ² 4ac x 2a x 3 32 4 1 4 Calculando ∆, 2 1 b² 4ac 3 4 1 40 169 2 x x 3 9 16 2 3 25 2 3 25 2 8 x 4 2 3 5 x 2 2 x 1 2 x Aplicando à fórmula de Bhaskara: x b 2a x 3 169 3 13 x 2 1 2 x 8 x 5 As raízes são 8 ou 5. São as raízes da equação 1 e 4. Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada um na equação. EQUAÇÕES DE 2.º GRAU 20 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA AGORA, É COM VOCÊ 2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a !!! seu quíntuplo. Determine esse número. 1) Determine as raízes das equações a seguir: a) x² 5x + 6 = 0 b) 2y² + 3y 14 = 0 3) A área do retângulo é igual à área do quadrado. Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões: x 3 x 1 2x 2 x 1 c) (2x + 3) (x 1) = 3 21 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0? Agora, serão propostas três equações de 2.º grau para que você as resolva. Use a fórmula de Bhaskara. Preste atenção a cada ∆ e relacione com as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta! O valor de é positivo ou negativo? __________ I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0. Por que as raízes não são reais? _______________________________________________ _______________________________________________ Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já sei que tipo de raízes vou encontrar. Que valor encontrou para ? ______ Como são as raízes? _________ II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0 FIQUE LIGADO!!! Discriminante da equação de 2.º grau Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais. Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes. O valor que você encontrou para é positivo ou negativo? __________________ Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais. As raízes são iguais ou diferentes? ____________ 22 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, eu sei porque ∆ se chama discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de 2.º grau são reais e iguais, reais e diferentes ou se não são reais. AGORA, É COM VOCÊ 4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0 tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero? !!! 1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes. A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ , porque o discriminante () é ____________________. 5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui raízes reais e diferentes? _____ Por quê? 2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0? Justifique sua resposta. 6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os valores de p, para que a equação tenha raízes reais e iguais. 3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes reais e iguais, qual é o valor de m? 23 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES Mostre para nós o que você descobriu. Fiz uma experiência e descobri algo incrível. Vamos testar? Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0. clipart Sabemos que a equação geral de 2.º grau é Verificando... a x ² + b x + c = 0. a) z1 + z2 = _____________ Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim b) Utilizando a regra que encontramos... 7 b 7 b a 1 a encontradas: x1 b b ² 4ac 2a e x2 b b ² 4ac 2a Se somarmos as raízes, temos: x1 + x2 = b b² 4ac b b² 4ac 2a 2a Não é que deu certo? z² − 7z – 30 = 0. AGORA, É COM VOCÊ !!! Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma Determine a soma das raízes das equações: toda sobre o mesmo denominador. a) 9x² 9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y 3 = 0 2b b x1 + x2 = b b² 4ac b b² 4ac 2a a 2a 24 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES Descobriu mais alguma coisa? Sim! Veja que interessante! clipart Vamos testar com a mesma equação? z² − 7z – 30 = 0 clipart As suas raízes são 3 e 10. Verificando... a) z1 . z2 = ___________ Agora, vamos multiplicar as raízes: b b ² 4ac b b ² 4ac x1 x2 2a 2a b b ² 4ac b b ² 4ac x1 x2 2a 2a b) Utilizando a regra encontrada... AGORA, É COM VOCÊ Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença, 1) Determine o produto das raízes nas equações: temos: x1 x2 !!! b 2 b ² 4ac 4a ² 2 x1 x2 a) 9x² 9x + 2 = 0 b2 b² 4ac 4a² Retirando os parênteses: 2) Determine a soma e o produto das raízes em b 2 b 2 4ac x1 x2 4a² Simplificando: x1 x2 b) 4y² + 4y 3 = 0 2y² 3y + 1 = 0 4ac c 4a ² a 25 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES 5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o Uma equação do 2.º grau é da forma produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do ax² + bx + c =0, com a 0. termo em x² é 1, então essa equação é ______________ AGORA, É COM VOCÊ !!! 1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e 6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir. onde o coeficiente de x² é um (a = 1). ( )2e6 ( )–8e1 ( )–3e–4 a) z² − 7z – 30 = 0 b) 4x² 12x + 9 = 0 2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações: a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______ b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______ 3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é igual a 7, determine o valor de k: 7) Descubra o produto das raízes da equação x² 3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6. 4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1. Determine o valor de p. 26 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃO Nossa! Na atividade 5 da página anterior, montamos uma equação! Será que podemos compor equações a partir das raízes? Veja como pensei! Pensando... x-3=0 x=3 e x + 4 = 0 x = 4 Então: (x 3) (x + 4) = 0 x² + x 12 = 0 Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a equação. raízes 3 e -4. Consideremos o coeficiente a = 1. A soma das raízes é 3 + (4) = 1. b b Como a soma das raízes é = , 1 b 1 a 1 O produto das raízes é 12. c c 12 c 12. Como o produto das raízes é = , a 1 AGORA, É COM VOCÊ !!! Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas A equação é x² + x 12 = 0. raízes são 5 e 3. Resolva a equação e verifique se as raízes são 3 e 4. Descobri! Se considerarmos a = 1, podemos compor uma equação de 2º grau usando a fórmula: x² Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas. 27 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO AGORA, É COM VOCÊ clipart A minha última descoberta foi a mais incrível! Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de 2.º grau, se as raízes forem números inteiros. !!! Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir: a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______. b) cujo produto é 15 e cuja soma é 8. São eles: ____ e _____ . c) cujo produto é 30 e cuja soma é -1. São eles: _______. Vamos brincar um pouco? Diga 2 números que, somados, deem 7 e cujo produto seja 10. FIQUE LIGADO!!! Se o produto de 2 números for Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4. positivo, os números têm sinais iguais. O par, cujo produto é 10, é 2 e 5. negativo, os números têm sinais diferentes. Montando o produto, temos: (x – 2 ) (x – 5 ) = 0 x² 2x 5x + 10 = 0 Se os 2 números possuem x² 7x + 10 = 0 sinais iguais, a soma é o resultado da adição módulos com o mesmo sinal desses números. Resolva a equação e verifique se as raízes são 2 e 5. de seus sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de seus módulos com o sinal do número com maior módulo. Lembre-se de que • o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. 28 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO 2) Determine as raízes da equação x² + 3x 28 = 0, utilizando a soma e o produto das raízes. clipart Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma equação de 2.º grau? clipart Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a = 1 pode ser determinada por x² Sx + P = 0, onde S é a soma e P o produto das raízes. AGORA, É COM VOCÊ !!! 1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as raízes das seguintes equações: 3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as a) x² 9x + 18 = 0. equações a seguir. a) x² 9x + 14 = 0 b) y² + 6y + 8 = 0 b) 2z² + 4z 30 = 0. c) z² z 12 = 0 d) w² + 5w 6 = 0 e) x² + 4x + 4 = 0 29 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA Agora, resolva a equação y² 2 = 0. Localize, aproximadamente, suas raízes na reta numérica. clipart É um pouco mais de 1,4. Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das raízes dessa equação? Entre que inteiros está clipart 2? 1 1 Sendo a equação y ² 3 y 0 , determine suas raízes e 4 2 assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes. Eu utilizei a calculadora. 30 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo. Essas duas fotos são semelhantes. clipart Observe os trapézios ACFD e BCFE. Meça os ângulos de cada trapézio. Essas duas fotos não são semelhantes. Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____ BC ___________________________ Determine a razão AC BE EF e . Verifique se a razão é a mesma em CF DF Podemos concluir que os trapézios ACFD e BCFE são semelhantes. FIQUE LIGADO!!! Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida) e seus lados correspondentes são proporcionais. Em Matemática, para que a redução de uma figura seja semelhante à figura original é necessário que se mantenham as devidas proporções. 31 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS AGORA, É COM VOCÊ !!! 3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes. Justifique sua resposta. 1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine 6cm 3cm as medidas x e y. y 6cm 8cm 4 cm 6 cm x 10cm 20 cm 15 cm 10cm Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras: 4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo 2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é lado também mede 7 cm são semelhantes? 3 e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm, 4 podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm. 32 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm. Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos como o modelo abaixo. Observe abaixo. Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes. F C A Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e 60° 3cm 60° B D E 5cm construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo. Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes. O que descobriu? _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ 33 É possível desenhar quadriláteros, pentágonos, hexágonos e outros polígonos com lados proporcionais e ângulos diferentes. Porém, com os triângulos não é possível desenhá-los desta maneira. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS AGORA, É COM VOCÊ !!! 2) De acordo com a figura abaixo, responda: 1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e 1 CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de . 3 A 4 A 10cm B D 6cm 3cm B AC ___ __ CE C 4cm E a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes? b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE e DCE? c) Qual é a medida de DE ? d) Qual é a medida de BE ? 34 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 TRIÂNGULO RETÂNGULO A Preciso reforçar esse teto! H H Qual será a medida da viga de sustentação? A A C B B H Analisando o triângulo retângulo ABC... a) Qual é o nome dado ao ladoBC ? ________________ redesul.am.br b) Qual é o cateto maior? ________________ c) Qual é o cateto menor? ________________ d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC? todaoferta.uol.com.br O triângulo ABC é retângulo em Â. AH é a altura relativa à hipotenusa. e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC? C A H A B B H C f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes? Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. 35 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 C TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ !!! d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e opostos ao ângulo . determine o que se pede. . e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____ B do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos ângulos e , sabendo que = . 6 A 4 D f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então C o lado AD mede ______. a) Podemos afirmar que a medida do ângulo é igual à medida BD ___ CD BD de ? _____ Por quê? ___________________________________________________ ___ ___ ___ ___ ___ x ___ ___ x ____ ___________________________________________________ b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCD? _____ Por quê? TRIÂNGULO RETÂNGULO ___________________________________________________ ___________________________________________________ c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo reto. 36 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho a hipotenusa. • Então, a = ____+ _____ (1.ª relação) Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o Comparando os dois triângulos maiores. A A triângulo retângulo... São elas: b c a → a medida da hipotenusa b → a medida de um cateto B c → a medida do outro cateto b h C H a m C Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a h → a medida da altura igualdade com os lados correspondentes. A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que AC BC HC AC são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. b a m b Multiplicando meios e extremos... m → é a medida da projeção ortogonal de b. b . b = a . ___ → _________ n→ é a medida da projeção ortogonal de c. A 2.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, b² = am (2.ª relação) Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho três triângulos retângulos semelhantes. Agora, vou verificar as relações que posso obter com as medidas de seus lados. 37 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Comparando o triângulo maior com o menor. A Comparando os triângulos menores... A A b c c h c B C H n Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a a B h n b h B igualdade com os lados correspondentes. AB BC HB AB A m H H C Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. c a n c HA BH HC HA Multiplicando meios e extremos... c . c = a . ___ → _________ h n m h Multiplicando meios e extremos... h . h = m . n→ _____________ A 3.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, c² = a.n (3.ª relação) A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. • Então, h² = mn (4.ª relação) 38 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Retomando o projeto (página 34) ... Comparando os dois triângulos maiores novamente... A A A 3m b c B a b h C H 4m m B C C H 5m BC AB AC AH a c b h De acordo com as medidas da figura acima, complete e Multiplicando meios e extremos... calcule a medida do comprimento da viga de sustentação. a . ___= ____ . c → ____________ a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo... Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos. Então, ah = bc (5.ª relação) a = ____ b = ___ c = ___ h = ____ b) Utilizando a 5.ª relação... ah = bc _______________________________ c) A viga de sustentação deve medir ________ m. A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser reforçado. 39 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 TEOREMA DE PITÁGORAS A área do quadrado claro é a². Para achar a área do quadrado claro, podemos calcular a área do quadrado grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros. que Pitágoras é conhecido pelo famoso teorema que leva seu nome? Era filósofo e astrônomo, além de matemático? Imagem retirada de http://www.suapesqui sa.com/pesquisa/pita goras.htm que Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada, em sua homenagem, de Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da Matemática e da Filosofia Ocidental? Vamos calcular a área do quadrado escuro: a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura toda é (b + c)². Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras. b) Desenvolvendo esse quadrado: A próxima atividade utilizará um processo com base em uma dessas demonstrações. (b + c)² = b² + 2bc + c² Nesta figura, vemos dois quadrados: c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de Um claro de lado a. um retângulo de lados b e c. Veja! Um escuro de lado (b + c). bc 2 4bc 2bc Quatro triângulos 2 Um triângulo b c d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos quatro triângulos retângulos, temos: b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c² e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de Pitágoras a² = b² + c² 40 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 TEOREMA DE PITÁGORAS Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade. Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe. Também podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe. Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões que deduzimos. Imagem adaptada de: http://www.google.com.br/ em 4/6/10 b² = am e c² = an. Então, b² + c² = __________ Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____ Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____ Logo, b² + c² = a² FIQUE LIGADO!!! RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Determinando as distâncias dos jogadores 1, 2 e 3, nesse momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. a=m+n b² = am c² = an h² = mn ah = bc a² = b² + c² 41 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ !!! A distância do ► jogador 2 até a bola é de 3,2 m. ► jogador 3 até a bola é de 1,8 m. 2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3? 3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2? 1. De acordo com as representações das medidas de um triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos dizer que 4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3. a distância entre os jogadores 2 e 3 é a __________________. a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________. a distância entre os jogadores 1 e 3 é o _________________. 5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________. entre o jogador 1 e a bola. a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________ _______________________________. a distância entre o jogador 3 e a bola é __________________________________. 42 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho abaixo). Determine a medida x do cabo de aço. 3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo: x A 40 m z w y 25 m 20 m B A medida x é de ________________. 18 C H 50 2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: A B 4 5 H C a 43 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z. Assim, ficará mais fácil. 4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de suas dimensões estão representadas na figura abaixo. Resolução da questão: 18 m 13 m 12 m 32 m a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior da figura. b) As medidas que você deverá encontrar estão assinaladas como x, y e z na figura a seguir. 18 m 13 m z 12 m x y 32 m 44 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi 6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo: retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo. a) x 5 1 1 b) Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede 4 2 1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira? x 7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo: h 6 Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais próximo de 2 é o ____ . 45 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não mais tortas em _______ e menos tortas em _______. compromete o orçamento doméstico. Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas. Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês. A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança. De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano, ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança. CONTROLE DE 2014 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio R$ R$ R$ R$ R$ Recebi pelas tortas 480 320 600 280 640 Gastos pessoais 250 Sobra 230 150 420 300 180 ̶ 20 Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o quadro abaixo. TORTAS VENDIDAS Janeiro Nº de tortas 400 Fevereiro Março Abril Maio 12 Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima. De acordo com a tabela acima, determine o que se pede. a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________, no valor de R$ _________. b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para cobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______. c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$ _____________. 46 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO O gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez de uma turma, em um teste de Geografia. uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo. 0 1 2 3 4 a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____ 5 E nota um? _____ b) Complete a tabela com os dados do gráfico: Notas 0 Nº de alunos 2 1 2 3 4 5 Fonte IBGE De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste, a) o ano de _________ teve a maior taxa de desemprego desse período. quantos alunos há nessa turma? ______ b) O maior número de habitantes empregados, nesse período, foi em ___________. d) Qual foi a média da turma? _______ c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi nos anos de _________ e ________. e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______ 47 Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
