Aula 22

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Relação entre torque (momento) da força
resultante e momento angular
Relação entre Força e Momento Linear
Relação esperada para o Torque e Momento Angular
Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada:
Momento da força resultante
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Conservação do momento angular
–
Quando os impulsos angulares atuando em uma
partícula são todos zero durante o tempo t1 a t2: o
Momento angular se conserva
Exemplo de situação
em que o Momento
Angular se conserva
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular para um sistema de
partículas
Vamos provar que
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Conclusão
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Equação dos torques num ponto P e no CM
5.5 – Torque e Momento Angular
●
●
Questão: a equação
qualquer referencial?
vale para
Resp.:
–
Se o referencial for inercial, sim.
–
Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref.
inercial ou não)
–
Se o referencial for não inercial, as forças inerciais
(fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem
sobre cada partícula do sistema
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: uma estrela esférica gira por um
período de 30 dias por um eixo que passa
pelo seu centro. Depois que a estrela sofre
uma explosão supernova, o núcleo estelar,
4
que tinha um raio de 1,0x10 km, sofre colapso
em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine
o período de rotação da estrela de nêutron.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: 0,23 s
–
De fato, são observadas estrelas de nêutrons que
giram aproximadamente 4 vezes por segundo.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: um cometa está na órbita extremamente
excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto
mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite
externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua
velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior
aproximação do Sol.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: 59,2 km/s
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas
extremidades está em repouso quando é atingido pela
queda de um punhado de massa de vidraceiro se
deslocando com velocidade v1. A massa de vidraceiro
se adere e se desloca com a massa na extremidade
direita. Determine a velocidade angular do conjunto
após o impacto.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: v1/(19l)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda
que passa através de um furo em A sobre uma mesa
lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em
círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s.
Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é
constante no tempo), a corda é puxada para baixo
através do furo a uma velocidade escalar constante de
2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no
instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o
trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância
radial de 0,500 m para 0,200 m.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.:
–
(a) 3,61 m/s
–
(b) 2,31 J
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Cada uma das três
esferas possui uma massa m e
está soldada à estrutura rígida
com ângulos iguais de massa
desprezível. O conjunto está em
repouso sobre uma superfície
horizontal lisa. Se uma força F é
aplicada repentinamente a uma
barra conforme indicado,
determine a aceleração do ponto
O e a aceleração angular da
estrutura.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.:
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Considere as
mesmas condições do
Exemplo anterior, exceto que
os raios são livremente
articulados em O e, portanto,
não constituem um sistema
rígido. Explique a diferença
dos dois problemas.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
●
●
Exemplo: O centro de massa somente coincide
com o ponto O no instante inicial (quando os raios
se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro
de massa)
Os movimentos angulares dos braços são todos
diferentes e não são facilmente determinados
Este problema poderia ser resolvido
desmembrando o sistema e escrevendo as
equações de movimento para cada parte. Ou
então, o método de Lagrange poderia ser
utilizado (este seria o método mais simples)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Uma pequena partícula
recebe uma velocidade inicial v0
tangente à borda horizontal de uma
cavidade hemisférica lisa (de raio r0),
como indicado no ponto A. Quando a
partícula desliza passando pelo ponto
B, a uma distância h abaixo de A, sua
velocidade v faz um ângulo θ com a
tangente horizontal à cavidade através
de B. Determine θ.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.:
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
Princípio do impulso e quantidade de movimento
●
●
Uma partícula
Sistema de partículas
–
Conservação da quantidade de movimento
–
Impacto
–
Torque e momento angular
●
●
–
Uma partícula
Sistema de partículas
Propulsão com massa variável
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Escoamento estacionário de fluidos
–
Até agora estudamos sistemas de partículas num
volume fechado (que não troca partículas com as
vizinhanças)
–
Vamos aplicar agora o princípio do impulso e
quantidade de movimento para estudar
escoamento estacionário de massa de fluido
entrando e saindo de um volume de controle
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Escoamento estacionário de fluidos
–
Volume de controle: região do espaço onde as
partículas podem escoar para dentro ou para fora
–
Escoamento estacionário: escoamento do fluido
entrando no volume de controle é igual ao
escoamento de fluido saindo do volume de
controle
–
Considere o seguinte volume de controle
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Escoamento estacionário de fluidos
Princípio do impulso e quantidade de movimento
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Escoamento estacionário de fluidos
Princípio do impulso angular e quantidade de movimento angular
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Escoamento estacionário de fluidos
Q: vazão, descarga ou fluxo volumétrico
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Exemplo: Determine as
componentes da reação que a junta
fixa do cano em A exerce sobre o
cotovelo, se a água que flui pelo
cano está submetida a uma
pressão estática de 100 kPa em A.
A descarga em B é 0,200 m3/s. A
densidade da água é 1000 kg/m3 e
o cotovelo cheio de água tem uma
massa de 20,0 kg e centro de
massa em G.
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Exemplo:
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Um volume de controle que perde massa
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Dedução alternativa
–
Volume de controle que perde massa
Tempo t
Tempo t + dt
F
m
dme
v
m-dme
F
v+dv
Velocidade de descarga relativa à massa m:
vD/e (sentido + para trás)
Princípio do impulso e quantidade de movimento
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Um volume de controle que ganha massa
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Um volume de controle que ganha massa
Princípio do impulso e quantidade de movimento
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Um volume de controle que perde massa
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Exemplo: a massa inicial de um foguete
e seu combustível é m0. Uma massa mf
total de combustível é consumida a uma
taxa constante c e expelida a uma
velocidade constante u em relação ao
foguete. Determine a velocidade máxima
do foguete. Despreze a variação do peso
do foguete com a altitude e a resistência
ao arrasto do ar. O foguete é lançado
verticalmente, partindo do repouso.
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Resp.:
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Exemplo: Uma corrente de
comprimento l tem massa m.
Determine a intensidade da força F
necessária para elevar a corrente a
uma velocidade constante v, partindo
do repouso.
–
Exercício para casa: Qual seria a força
necessária para abaixar a corrente a uma
velocidade constante v, partindo do
repouso quando y = l ?
5.6 – Propulsão com massa variável
●
Resp.:
–
Tarefa para casa