Relações Métricas nos Triângulos

Relações Métricas nos
Triângulos
Dimas Crescencio
Trigonometria
A palavra trigonometria é de origem grega,
onde:
Trigonos = Triângulo
Metrein = Mensuração
- Relação entre ângulos e distâncias;
- Origem na resolução de problemas práticos
relacionados principalmente à Navegação e à
Astronomia.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
2
Triângulos
A
α
σ
β
C
B
Triângulo é uma figura geométrica
formada por três retas que se
encontram duas a duas e não passam
pelo mesmo ponto, formando três
lados e três ângulos. Esses ângulos,
tradicionalmente, são medidos numa
unidade de medida, denominada grau
e, cada um deles tem medida entre 0°
e 180°. Neste caso, com base no
triângulo ao lado, afirma-se:
α + β + σ = 180°
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
3
Classificação dos Triângulos
Quanto aos tamanhos dos lados:
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Lados com mesmo
comprimento
2 lados iguais
Lados com
comprimentos
diferentes
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
4
Classificação dos Triângulos
Quanto a medida dos ângulos
.
Acutângulo
Obtusângulo
Retângulo
ângulos < 90°
1 ângulo obtuso
(entre 90º e 180º)
1 ângulo com 90°
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
5
Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
C
𝑩𝑪 é a hipotenusa
𝑨𝑩 e 𝑨𝑪 são os catetos
A
B
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
6
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras:
A hipotenusa ao quadrado é igual à
soma dos quadrados dos catetos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
7
Tangente de um ângulo
C
B
A
O
α
A’
B’
C’
Considere a figura em que o
ângulo α mede aproximadamente
26,5°. As medidas dos segmentos
assinalados, em centímetros, são:
OA’ = 3; OB’ = 5; OC’ = 8; AA’ =
1,5; BB’ = 2,5 e CC’ = 4.
Substituindo valores, podemos
afirmar que as seguintes razões
são iguais:
𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′
=
=
= 𝒌 = 𝟎, 𝟓
𝑶𝑨′ 𝑶𝑩′ 𝑶𝑪′
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
8
Tangente de um ângulo
C
B
Uma outra figura em que o ângulo β
mede 63,5° e: OA’ = 3; OB’ = 4; OC’ =
5; AA’ = 6; BB’ = 8 e CC’ = 10. Pelo
fato de os triângulo serem semelhantes:
𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′
=
=
=𝒄=𝟐
𝑶𝑨′ 𝑶𝑩′ 𝑶𝑪′
A
β
O
A’
B’
C’
Com base no exposto, conclui-se
que a medida da razão dos catetos
não depende da escolha de um
triângulo retângulo com lados
maiores ou menores, mas sim da
medida do ângulo (α ou β)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
9
Seno, Cosseno e Tangente
De maneira geral, temos:
𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒔𝒆𝒏 β =
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
𝒄𝒐𝒔 β =
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒕𝒈 β =
𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
10
Ângulos Notáveis
Lembre-se !!
Sen
Cos
Tg
30°
1
2
3
2
3
3
45°
60°
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
11
Ângulo Notáveis
Música para decorar a fórmula do sen, cos e tg de 30,
45° e 60º:
1, 2 ,3
3, 2, 1
Tudo sobre 2,
Você põe a raíz no 3 e no 2, hey!
A tangente é diferente,
Vejam só vocês,
raiz de 3 sobre 3,
1, e raiz de 3 .
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
12
Praticando
Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte
procedimento ilustrado na figura: Um aparelho (de altura
desprezível) foi colocado no solo e emitiu um raio em direção
ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o
raio e o solo foi de α=60°. A seguir, o aparelho foi deslocado
4m em direção a torre, e o ângulo obtido foi de β radianos,
com tg β=3 3. A altura da torre é:
𝑎) 4 3
𝑏) 5 3
𝑐) 6 3
𝑑) 7 3
𝑒) 8 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
13
Praticando
Trabalhando com o triângulo menor:
𝑦 3 3
𝑡𝑔𝛽 = =
𝑥
1
𝑦 = 3𝑥 3
Agora, vamos trabalhar com o triangulo maior:
𝑦
3𝑥 3
𝑡𝑔60° =
=
4+𝑥 4+𝑥
3 3𝑥 3
=
→ 3. 4 + 𝑥 = 3𝑥 3
1
4+1
2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2
𝑦 = 3𝑥 3 = 6 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
14
Praticando
(Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo,
uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete
peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1
paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas
recortando-se um quadrado de acordo com o
esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete
peças, é possível representar uma grande diversidade
de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
15
Praticando
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede
2cm, então a área da figura 3, que representa uma
“casinha”, é igual a:
a) 4cm2.
b) 8cm2.
c) 12cm2.
d) 14cm2.
e) 16cm2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
16
Praticando
Solução:
Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram
todas as áreas serão iguais, portanto para descobrir a área
da casa basta saber a área do hexágono ou a do quadrado.
2cm
Perceba que o lado AB do hexágono é igual a metade da
diagonal do quadrado, pois ambos são formados por um
quadrado e um triângulo equilátero. Logo, a diagonal
inteira do quadrado vale o dobro, ou seja, 4cm. Assim,
sabendo-se o valor da diagonal do quadrado, pode-se
obter o valor de seus lados a partir do teorema de
Pitágoras:
𝒂² + 𝒂² = 𝟒²
𝟐𝒂² = 𝟏𝟔
𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆:
a
a
á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒂²
𝒂² = 𝟖𝒄𝒎²
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
17
Trigonometria
Identidade Trigonométrica
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝒂
𝒄 = 𝒔𝒆𝒏 𝜷 . 𝒂
𝒃
𝒂
𝒃 = 𝐜𝐨𝐬 𝜷 . 𝒂
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝟏) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
𝒃
𝒄𝒐𝒔𝜷)
𝟏
𝟐) 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 = → 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏(𝜷) 𝒕𝒈(𝜷)
𝒂
𝟏
𝟑) 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝒃
𝒄𝒐𝒔(𝜷)
𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝒂
𝟏
→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝒄
𝒔𝒆𝒏(𝜷)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
18
Lei do Seno
Relação matemática de proporção sobre a medida de
triângulos arbitrários em um plano.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
19
Lei do Cosseno
Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
20
Praticando
(Unb – DF) Um observador, situado no ponto A,
distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo
de 30° conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da
figura, determine a altura do edifício em metros e divida
o resultado por 2.
h
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
21
Praticando
Solução:
DC=?
α= 180° - (75°+60°) = 45°
De acordo com a lei do seno:
𝑥
𝑠𝑒𝑛60°
=
𝑥.
30
𝑠𝑒𝑛45°
2
2
→ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛45° = 30. 𝑠𝑒𝑛60°
= 30.
3
2
→ 𝑥 = 30.
3 2
.
2 2
6
𝑥 = 30.
= 15 6
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
22
Praticando
De acordo com as informações obtidas,
Calculamos a tangente de 30°:
𝑡𝑔 30° =
ℎ
D
𝒉
15 6
3
ℎ
=
→ 3ℎ = 15 18
3
15. 6
ℎ = 5 32 . 2 = 15. 2𝑚
30°
C
A
𝟏𝟓 𝟔
Dividindo o resultado por 2:
Solução = 15m.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
23
Praticando
Exercício: Um engenheiro deseja construir um túnel que
passará por uma montanha. Como pode ser verificado
na figura abaixo, a distância do ponto onde ele está, até
o local onde será a entrada do túnel é de 80m e até a
saída do túnel é de 100m. Descubra o comprimento do
túnel. Dado, cos 55°= 0,573
Entrada
80m
Engenheiro
Montanha
55°
100m
Saída
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
24
Praticando
Solução:
De acordo com o dados fornecidos, nota-se que a
questão pode ser resolvida aplicando a lei dos
cosseno:
𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑡ú𝑛𝑒𝑙
𝑥² = 80² + 100² − 2.80.100. cos 55°
𝑥² = 7232
𝑥 = 85,05m
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
25
Praticando
(UEM - PR) Considere um paralelogramo
cujos os lados medem 3cm e 5cm e um dos
ângulos mede π/4 radiano. Se d e D são as
medidas das diagonais do paralelogramo,
então D² + d², em centímetros quadrados, é
igual a:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
26
Praticando
Solução:
π/4 = 45°
Para calcular o comprimento da diagonal menor,
aplicaremos a lei dos cossenos:
𝑑² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
2
𝑑² = 9 + 25 − 30
2
𝑑² = 34 − 15 2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
27
Praticando
O cos 135° = - cos 45°
Para calcular o comprimento da diagonal maior, usamos os
mesmos procedimentos:
𝐷² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
2
𝐷² = 9 + 25 − 30 −
2
𝐷² = 34 + 15 2
𝐷² + 𝑑² = 34 + 15 2 + 34 − 15 2 = 68
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
28
Referência Bibliográfica
DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora
Ática. 2009.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
29