Algoritmo quântico de Grover Ciências Exatas e da Terra/ Física

Algoritmo quântico de Grover
Edson Siqueira Vallis (PIBIC/Fundação Araucária/UEPG), Ruben Auccaise Estrada
(Orientador), e-mail: [email protected]
Universidade Estadual de Ponta Grossa/Departamento de Física.
Ciências Exatas e da Terra/ Física
Palavras-chave: Protocolo quântico, portas lógicas, física quântica.
Resumo:
Este trabalho foi realizado com o objetivo de se compreender o funcionamento
do algoritmo de busca de Grover, aprender e identificar o funcionamento das
portas lógicas e dos circuitos quântico que implementa o algoritmo.
Foi realizada uma revisão bibliográfica dos conceitos de álgebra matricial
básica, física quântica e portas lógicas clássicas e quânticas. Depois, realizouse uma formulação analítica do funcionamento teórico do algoritmo de Grover.
E então os processos cálculos aplicados a sistemas de spins foram simulados
em rotinas usando o software MatLab. Como resultado disso, foram obtidos
programas de simulação para os cálculos que descrevem o funcionamento da
porta Hadamard (H), que é a principal responsável pelo funcionamento do
Algoritmo de Grover. Além disso, foi desenvolvido um trabalho em banner para
apresentação no evento Semana da física UEPG. Através destes resultados,
concluiu-se que a utilização do algoritmo de Grover representa uma vantagem
com relação aos algoritmos clássicos equivalentes.
Introdução :
Imagine um banco de dados onde se pode encontrar uma lista não ordenada
de N elementos, e quer-se encontrar um elemento específico desta lista. Para
um computador clássico (denominamos clássico aquele que não faz uso de
protocolos quânticos) o problema se resumiria em testar cada elemento desta
lista, um de cada vez, até que se encontre o que se está procurando.
Entretanto, existe um procedimento mais eficiente de se resolver o problema, e
funciona com base nas propriedades da Mecânica Quântica e tem o nome de
Algoritmo de Grover [1,2] . O processo consiste basicamente em criar dois
registradores: o primeiro registrador com n q-bits, inicialmente no estado
quântico
, e o segundo registrador com um q-bit no estado quântico .
Antes da aplicação do protocolo forma-se uma superposição de estado
quântico no primeiro registrador e no segundo registrador, através das portas
lógicas Hadamard. A função responsável por encontrar o elemento procurado é
definida por um operador unitário (denominado Oráculo) que é aplicado sobre o
estado inicial contendo os N elementos. Após esta operação o estado do
segundo registrador não se altera, apenas o estado do primeiro registrador
evolui. O próximo passo consiste em aplicar, sobre os registros, um operador
diagonal com a característica de aumentar a amplitude de probabilidade do
elemento procurado. A cada vez que se repete o processo de aplicação do
algoritmo se aumenta a probabilidade de se encontrar o elemento procurado.
No desenvolvimento deste estudo, faremos uso dos conceitos de álgebra linear
e de matrizes, aplicando suas propriedades e identificando as interpretações
apropriadas no contexto de informação quântica.
Para estudar este algoritmo é necessário que se esteja familiarizado com o
conceito de estado quântico e rotação de spins que podem ser entendidos no
contexto dos vetores de Bloch. Os vetores de Bloch são vetores unitários que
“habitam” na esfera de Bloch. Esta esfera é um lugar geométrico que tem a
forma de uma esfera de raio unitário centrada num sistema de eixos
coordenados [3]. Cada vetor dentro desta esfera descreve um estado quântico
de certo q-bit. Ao ser rotacionado, o vetor de Bloch evolui para um novo estado.
Podemos dizer que houve uma rotação de spin em torno do eixo de rotação.
As portas lógicas, em última análise, representam rotações na esfera de Bloch
quando operadas sobre um estado quântico inicial que evolui devido a
aplicação. Esta rotação representa uma mudança de estado. Como o algoritmo
em questão se vale de diversas portas lógicas e, por consequência disso, de
várias rotações, seu funcionamento é muito complexo para ser estudado
completamente no período de tempo destinado a esse projeto. Por isso, optouse por se estudar apenas o comportamento da porta lógica Hadamart (H), que
é a principal porta que torna este protocolo quântico tão poderoso.
Materiais e métodos
Para a realização deste trabalho foram utilizados os seguintes materiais: livros
e artigos para a revisão bibliográfica; software MatLab para realizar as
simulações e cálculos.
Resultados e Discussão
Os conceitos básicos de álgebra matricial e de informação quântica foram
assimilados. Foram obtidas programas na linguagem do software MatLab que
permitem realizar cálculos concernentes ao funcionamento do protocolo e
Grover. Um dos programas implementa uma rotina computacional capaz de
fornecer o vetor de Bloch dada uma matriz densidade, como pode-se ver na
figura abaixo :
Figura1: vetor de Bloch para uma dada matriz densidade.
A figura1 apresenta o gráfico de barras de um vetor de Bloch, onde no eixo
horizontal do gráfico na figura tem-se o eixo da esfera de Bloch e no eixo
vertical do gráfico da figura tem-se o módulo do vetor de Bocha no respectivo
eixo da esfera de Bloch. No eixo vertical 1 representa o eixo x, 2 representa o
eixo y e 3 representa o eixo z. E no eixo horizontal o valor do módulo sobre o
eixo varia de 0 a 1. Na figura temos que o vetor está 100% sobre o eixo 3, ou
seja z.
Outro programa obtido permite que se observe a evolução da rotação do vetor
de Bloch fazendo o computador gerar rapidamente os gráficos dos vetores a
mediada que varia o ângulo em um intervalo de 0 o a 90o. Ainda outro programa
permite visualizar uma rotação na esfera de Bloch, como está na figura abaixo:
Figura2: esfera de Bloch, onde a curva azulada representa o deslocamento
sofrido por um vetor de Bloch que se mova do eixo z.
Por último foi criado um programa que reúne as funções dos programas
anteriores em um só, fazendo os resultados serem uma função de certos
parâmetros. Com esta ferramenta pode realizar as rotações feitas pela porta
Hadamard (H).
Conclusão
Através dos resultado obtidos pode-se ver que um assunto complicado como
informação quântica e protocolos de busca quântica pode ser estudados e
compreendidos com facilidade se o formalismo complexo da mecânica quântica
for adaptada para uma linguagem mais básica, como a álgebra matricial
utilizada neste trabalho. Também perceber que os métodos computacionais
são relativamente práticos e podem, até certo ponto, substituir o que seriam
horas em laboratório para se estudar rotações de spins e esfera de bloch.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq e a Fundação Araucária pela bolsa fornecida até o
final deste estudo.
Referências
[1] Grover, L. K. Phys. Rev. Lett. 1997, 79, 4079-4712.
[2] Grover, L. K. Phys. Rev. Lett. 1998, 80, 4329-4332.
[3] L.M. Carvalho, C. Lavor, and V.S. Motta. Descrição matemática da esfera de
Bloch. In Anais do VII Encontro de Modelagem Computacional, pages 1-9,
2004.