O Algoritmo de Grover - Lume

O Algoritmo de Grover
RODRIGO FEDRIZZI DILLENBURG, ENGENHARIA FÍSICA – UFRGS
SANDRA DENISE PRADO (orientadora)
O Agoritmo de Grover é uma versão quântica do algoritmo de
busca, que usa o fenômeno de paralelismo quântico para
buscar soluções para o problema de busca. Ele apresenta uma
melhoria quadrática em relação ao algoritmo clássico. Este
trabalho se dedica a explicar seu funcionamento.
Mas, quantas vezes deve-se aplicar a Iteração de Grover? Para resolver
este problema, é útil ter um visualização geométrica da ação da Iteração
de Grover num estado. Usando o processo de Graham-Schmidt é
possível construir uma base ortogonal para representar o estado em
questão na forma
= soma dos x que são solução
Considerações Iniciais
= soma dos x que não são solução
Os gates quânticos utilizados neste algoritmo são o Hadamard
e o Pauli X. Suas representações matriciais estão apresentadas
Nesta base, o estado será
abaixo
A ação da Iteração de Grover sobre o estado representado na base
alpha-beta pode ser representada como uma rotação
O Algoritmo:
A apresentação do algoritmo que será feita a seguir considera
um espaço com N elementos e M soluções. Por conveniência,
toma-se N=2^n, onde n é o número de qubits em cada estado.
O algoritmo faz uso de um registro de n qubits onde são
processados os elementos do espaço de busca e um registro
para uso do oráculo, um conceito que será explicado a seguir.
O computador é posto inicialmente no estado
,
que é equivalente ao estado
.
Aplica-se o gate Hadamard ao estado, resultando no novo
estado
.
Rotacionar o estado sobre o ângulo
o leva ao estado
beta, que é o estado das soluções do problema. No entanto, este
ângulo é, na maioria das vezes, um número não inteiro. Considerando
CI(x) como o inteiro mais próximo de x, O número de aplicações da
Iteração de Grover deve ser
.
A Iteração de Grover
A próxima etapa do algoritmo são múltiplas aplicações do
processo chamado Iteração de Grover. Por ser um processo
bastante complicado, seus detalhes serão omitidos no poster. A
fórmula final da aplicação de uma Iteração de Grover é:
,
, I é o operador Identidade e O é o oráculo,
um elemento de um circuito quântico capaz de reconhecer
soluções para o problema e alterar a fase do estado quando as
encontra. No Algoritmo de Grover o oráculo é aplicado a um
estado de superposição perfeita e esse é o segredo do seu
sucesso. Um oráculo aplicado a bits clássicos é equivalente ao
algoritmo clássico de busca.
Medição
Após as aplicações da Iteração de Grover, a medição do estado dará a
resposta correta com probabilidade bastante alta. Apesar de o algoritmo
não ter probabilidade 100% de sucesso, ela é bem próxima disso, então
repetir o processo algumas vezes deve fornecer a resposta correta.
Com algumas contas que serão omitidas, é possível mostrar que o
número de Iterações de Grover e, consequentemente, consultas ao
oráculo feitas pelo Algoritmo de Grover é no máximo
,
enquanto que no algoritmo clássico, esse número é
. Ou seja, o
Algoritmo de Grover representa uma otimização quadrática em relação
ao algoritmo clássico.
Imagens retiradas de: Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuan – Quantum
Computation and Quantum Information, Cambridge.