formula linear obtém-se

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I. MATRIZES
1. Matriz
2. Matrizes especiais
3. Matrizes transpostas
4. Elementos correspondentes em matrizes do mesmo tipo
5. Igualdade de matrizes
6. Adição de matrizes.
7. Multiplicação de um número por uma matriz
8. Subtração de matrizes
9. Multiplicação de matrizes
II. SISTEMAS LINEARES
1. Os sistemas de equações no dia-a-dia
2. Equação linear
3. Sistema linear
4. Classificação de um sistema linear
5. Resolução de um sistema linear
6. Sistema linear escalonado
7. Sistemas lineares equivalentes
8. Escalonamento de um sistema linear
III. DETERMINANTE E APLICAÇÕES
1. Conceito de determinante
2. Discussão de um sistema linear
3. Sistema linear homogêneo
4. Matrizes inversas
IV. BINOMIO DE NEWTON
1. Número binomial
2. Newton e o binômio (x + a)n
3. Termo geral do binômio de Newton
I. MATRIZES
1. MATRIZ
Chama-se matriz do tipo m x n (lê-se: "m por n") toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal
tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Convenção
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.
Na matriz: A3 x 2=
• o número 9 está posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11 = 9;
• o 4 está posicionado na linha l e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• o 5 está posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5. De modo análogo,
temos a22 = 6, a31 = l
Representação genérica de uma matriz
Podemos representar genericamente uma matriz A do tipo m x n da seguinte maneira
Como essa representação é muito extensa, podemos representar a matriz simplesmente por A = (aij)m x n , ou,
quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A = (aij)
2. MATRIZES ESPECIAIS
As seguintes matrizes, por terem papel de destaque na álgebra matricial, merecem um estudo particular:
Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos a,j tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os
elementos atj tais que i + j = n+ 1 formam a diagonal secundária.
Matriz identidade
Chama-se matriz identidade de ordem n, e se indica por In, a matriz:
In = (aij)n x n tal que a ij =1, se i = j; 0, se i ≠ j
Matriz Nula
Matriz nula é qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
3. MATRIZES TRANSPOSTAS
Chama-se transposta da matriz A = (aij) m x n, e se indica por At a matriz:
At = (bji)n x m, tal que:
bji = aij
Isto é, cada coluna i de At é, ordenadamente, igual à linha i de A.
4. ELEMENTOS CORRESPONDENTES EM MATRIZES DO MESMO TIPO
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = (aij.)m x n e B= (bij)m x n, dizemos que o elemento da linha i e
coluna j de A é o correspondente do elemento da linha i e coluna j de B.
5. IGUALDADE DE MATRIZES
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, se, e somente se, todo elemento de A é igual ao seu correspondente
em B.
6. ADIÇÃO DE MATRIZES.
Uma indústria japonesa de televisores montou duas fábricas, A e B, no Brasil. Cada uma delas produz dois
modelos de televisores, denominados modelo l e modelo 2. As matrizes a seguir apresentam a produção dessas
fábricas nos três primeiros dias do mês de setembro:
sendo que cada elemento a{j da matriz A indica o número de aparelhos do modelo i produzidos pela fábrica A no dia j
do mês de setembro, e cada elemento bij da matriz B representa o número de aparelhos do modelo i produzidos pela
fábrica B no dia j do mesmo mês.
Como representaríamos, matricialmente, a produção diária de cada modelo, das duas fábricas juntas, nos três
primeiros dias do mês de setembro? Basta construir a matriz C2X3, na qual cada elemento cij seja igual à soma de
seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:
A matriz C é denominada matriz soma de A e B
A soma de duas matrizes de mesmo tipo A = (aij)m x n e B = (bij)m x n que se indica por A + B é a matriz
C = (cij)m x n tal que:
Cij = aij+ b ij
Isto é, cada elemento de C é igual à soma se seus correspondentes em A e B.
Propriedades da adição de matrizes
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, valem as quatro propriedades descritas a seguir.
A.l Associativa: (A + B) + C = A + (B + C), o que quer dizer que a soma dessas matrizes pode ser indicada
simplesmente por A + B + C, isto é, sem parênteses.
A.2 Comutativa: A + B = B + A
'
A.3 Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A , em que 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A.
A.4 Elemento oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, em que 0 é a matriz
nula do mesmo tipo de A e A'. As matrizes A e A' são denominadas matrizes opostas. Indicamos esse fato por
A' = -A (lê-se: "A' é igual à oposta de A") ou por A= -A'.
7. MULTUIPLICAÇÃO DE UM NUMERO POR UMA MATRIZ
O produto de um numero k por uma matriz A = (aij)m x n que se indica por kA, é a matriz B = (bij)m x n tal
que:
bij =kaij
Ou seja, cada elemento da matriz B é igual ao produto de seu correspondente em A, pelo numero k.
8. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
No exemplo introdutório do item 6 (adição de matrizes), se quisermos uma matriz que compare a produção da
fábrica A em relação à fábrica B, podemos construir a matriz D2 x 3, na qual cada elemento dtj; é a diferença entre seus
elementos correspondentes nas matrizes A e B, nesta ordem.
A diferença entre duas matrizes do mesmo tipo, A e B, nessa ordem, que se indica por A-B é a matriz A +(-B). Isto
é, a diferença A-B é igual à soma de A com a oposta de B.
9. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Antes de definirmos a multiplicação de uma matriz por outra, vamos definir produto de linha por coluna:
Sejam as matrizes A = A = (aij)m x k e B = (bij)k x n. Consideremos a linha i de A e coluna j de B, isto é:
O produto da linha pela coluna é:
ai1·b1j + ai2·b2j+ ai3·b3j+ ...+ aik·bkj
ou seja, multiplicamos, ordenadamente, os elementos da linha i pelos elementos da coluna j e somamos os
resultados obtidos.
O produto da matriz A = (aij)m x n pela matriz B = (bij)m x n, que se indica por AB, é a matriz C= (cij)m x n tal
que cada elemento cij é igual ao produto da linha i de A pela coluna j de B;
Propriedades da multiplicação de matrizes
M.l Propriedade associativa: sendo A, B e C matrizes de tipos m X n, n X k, e k X p, respectivamente, tem-se
(AB)C = A (BC). A propriedade associativa nos permite indicar o produto entre essas matrizes simplesmente por
ABC, isto é, sem parênteses.
M.2 Propriedade distributiva à direita: se A, B e C são matrizes de tipos m X n , m X n e n X k , respectivamente,
tem-se (A + B)C = AC + BC.
M.3 Propriedade distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes de tipos m X n , n X k e n X k ,
respectivamente, tem-se A (B + C) = AB + AC.
M.4 Sendo A uma matriz de tipo m X n, têm-se AIn = A e ImA = A.
M.5 Sendo A e B matrizes de tipos m X n e n X k, respectivamente, e sendo r um número qualquer, tem-se
(rA)B = A(rB) = r(AB).
M.6 Sendo A e B matrizes de tipos m X n e n X k, respectivamente, tem-se (AB)t = Bt At.
II. SISTEMAS LINEARES
1. OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES NO DIA-A-DIA
São muitas as aplicações de sistemas de equações: nas ciências, na indústria, no comércio etc. Para
exemplificar, vamos resolver o problema a seguir:
Uma indústria de óleo comestível pretende lançar no mercado um novo produto: trata-se de uma
mistura de óleo de soja com azeite de oliva.
Após uma pesquisa, concluiu-se que o preço final ao consumidor será competitivo se o custo de
produção do litro da mistura for R$ 2,50. Sabendo que o litro de óleo de soja custa R$ 2,00 e que o litro de
azeite de oliva custa R$ 4,50, um litro dessa mistura deverá conter que quantidade de azeite de oliva?
Para resolver esse problema, vamos supor que x e y sejam, respectivamente, as frações de óleo de soja e
de azeite de oliva contidas em um litro da mistura. Assim, devemos ter:
Substituindo (I) em (II), obtemos:
Logo, cada litro da mistura deve conter 0,2 L de azeite de oliva.
Recorreremos a esse exemplo para motivar o estudo dos sistemas de equações lineares, com os quais já
tivemos um primeiro contato no capítulo 2.
Neste e no próximo capítulo, faremos um estudo geral desse tipo de sistema.
2. EQUAÇÃO LINEAR
Toda equação do l° grau em uma ou mais incógnitas é chamada de equação linear.
Exemplos
a) Na equação 3x + 2y = 11, temos:
• incógnitas: x e y,
• coeficientes: 3 e 2
• termo independente: 11!
b) Na equação 8x - y + 3z = - l, temos:
• incógnitas: x, y e. z
• coeficientes: 8, -l e 3
• termo independente: - l
Por extensão de conceito, admitimos também como lineares as equações:
0x + 0y + 0z = 0 e 0x + 0y + 0t + 0z = 3
Definição
Chama-se equação linear nas incógnitas x1, x2, x3,..., xn toda equação que pode ser apresentada sob a
forma:
a1 x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3..., an são constantes reais chamadas de coeficientes da equação e b é uma constante
real; chamada de termo independente da equação.
Note que, por exemplo:
• 3x2 + y = 5 não é equação linear, pois é do 2° grau em relação a x;
•(1/x) + y = 3 não é equação linear, pois o expoente de x é - l, isto é: x-1 + y = 3
Solução de uma equação linear
Chama-se solução da equação linear
aíxl + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b toda ênupla (sequência de n elementos) de números (r1, r2, r3,..., rj) tal que
a sentença alrl + a2r2 + a3r3 + ... + anrn = b seja verdadeira.
Se não existe tal ênupla, dizemos que a equação é impossível.
3. SISTEMA LINEAR
Um sistema linear de m equações e n incógnitas(com m ≥ 1 e n≥1) é um conjunto de equações
simultâneas da forma
em que
• x1; x2, x3,...,xn são as incógnitas;
• atj são os coeficientes;
• bt são os termos independentes.
Exemplo
O sistema abaixo é linear nas incógnitas x, y e z:
2x + y + 3 z = 11
+ y + 5z = 9
x– y + z = -1
Solução de um sistema linear
Chama-se solução de um sistema linear qualquer solução comum a todas as equações do sistema. (Essa
solução pode não existir.).
Exemplo
Uma solução do sistema linear
2x + y + 3z
= 11
y + 5z = 9
x - y + z = -l
é o terno ordenado (2, 4, 1), pois tal sequência é solução comum a todas as equações do sistema, isto é,
todas as sentenças.
2-2 + 4 + 3-1 = 11
0-2 + 4 + 5-1 = 9
são verdadeiras.
2 - 4 + l = -l
4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que tiver: sistema possível e
determinado (S.P.D.), sistema possível e indeterminado (S.P.I.) ou sistema impossível (S.I.).
Sistema possível e determinado (S.P.D.).
É todo sistema linear que admite uma única solução.
Exemplo
x+y=5
y=2
Esse é um sistema linear que admite uma única solução: o par (3, 2). Por isso, é classificado como S.P.D.
(sistema possível e determinado).
Sistema possível e indeterminado (S.P.I.).
É todo sistema linear que admite mais de uma solução.
Exemplo
2x + y = 5
4x + 2y = 10
Esse é um sistema linear que admite mais de uma solução: (2, 1); (0, 5); (4, -3); ... etc. Por isso é classificado
como S.P.I. (sistema possível e indeterminado.).
Prova-se que, se um sistema linear admite mais de uma solução, então admite infinitas soluções.
Sistema impossível (S.I.).
É todo sistema linear que não admite solução alguma.
Exemplo
O sistema abaixo é classificado como S.I. (sistema impossível), pois não existem dois números, x e y, cuja
soma seja igual a 5 e também igual a 8.
x+y=5
x+y=8
Resumindo, temos:
5. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Resolver um sistema linear significa obter o conjunto S, denominado conjunto solução do sistema,
cujos elementos são todas as soluções do sistema.
Dentre os vários métodos existentes para a resolução de um sistema, optamos pelo escalonamento.
Antes da apresentação desse método, vamos definir sistema escalonado e aprender como resolvê-lo.
6. SISTEMA LINEAR ESCALONADO
Um sistema linear é dito escalonado (ou na forma escalonada) se, e somente se:
• todas as equações apresentarem as incógnitas numa mesma ordem;
• em cada equação existir pelo menos um coeficiente, de alguma incógnita, não-nulo;
• existir uma ordem para as equações tal que o número de coeficientes nulos que precedem o primeiro
não-nulo de cada equação aumente de uma equação para outra.
Exemplos
Os seguintes sistemas lineares são escalonados:
2x + 3y + 5 z = 9
0x + 4y + z = 5
0x + 0y + 3z = 6
x + 2y + 4t - 2z = l
0x+ 4y + 5t + z = 2
0x + 0y + 0t + 4z =12
3x + 4y = 4
0x + 5y = 1
Vejamos dois exemplos de sistemas não escalonados.
4x + 3y + z = l
0x + 5y - z = 3
0 + 3y + 2z = 5
Esse sistema não é escalonado, pois o número de coeficientes nulos que precedem o primeiro não-nulo de cada
equação não aumenta da segunda para a terceira equação.
6x + y + 3z = 6
0x + 4y - 3z = 1
0x + 0y + 0z = 5
Esse sistema não é escalonado, pois a última equação apresenta todos os coeficientes nulos.
Resolução de um sistema linear escalonado
Existem apenas dois tipos de sistema linear escalonado, conforme veremos a seguir.
Primeiro tipo (número de equações igual ao número de incógnitas)
Exemplo
3x + 2y + z = 3 (I)
5y - 2z = l (II)
3z = 6 (III)
Esse sistema é linear escalonado com três equações e três incógnitas.
Para resolver esse tipo de sistema, determinamos o valor de z na equação (III):
3z = 6 => z = 2
A seguir substituímos z = 2 na equação (II):
5y-2-2 = l => y = l
Finalmente, substituímos y = l e z = 2 na equação (I):
3x+ 2·1 + 2·3 = 3  x= -1/3
Logo, o conjunto solução do sistema é:
S= {(-1/3, 1, 2)}
Propriedade
Todo sistema linear escalonado do primeiro tipo é possível e determinado (S.P.D.).
Segundo tipo (número de equações menor que o número de incógnitas)
Exemplo
x + 2y - 3z = l
y + 5z = 3
É um sistema linear escalonado com duas equações e três incógnitas.
Todo sistema linear escalonado do segundo tipo admite pelo menos uma variável denominada variável
livre ou variável arbitrária do sistema. É variável livre toda aquela que não aparece no início de nenhuma
equação do sistema escalonado. No exemplo anterior, temos z como variável livre.
A variável livre, como o próprio nome indica, pode assumir qualquer valor real. Para cada valor
assumido por ela, obtém-se uma solução para o sistema. No exemplo anterior, se fizermos:
• z = 2, teremos:
x + 2y - 3 • 2 = l
(I)
y + 5•2 = 3 => y = -7 (II)
Substituindo (II) em (I):
x + 2 -(-7) -3-2= l => x = 21 Assim, para z = 2 temos a solução: (21, -7, 2)
• z = 0, teremos:
x + 2y - 3 • 0 = l (I)
y + 5•0 = 3 => y = 3 (II)
Substituindo (II) em (I):
x + 2•3 - 3•0= l => x= -5 Assim, para z = O temos a solução: (—5, 3, 0)
Perceba, portanto, que o sistema
x + 2y - 3z = 1
y + 5z = 3
possui infinitas soluções. Para obter a expressão geral de todas essas soluções, basta encontrarmos os
valores de x e y em função de z, isto é:
x + 2y - 3z =
(I)
x + 5z = 3  y = 3-5z (II)
Substituindo (II) em (I):
x + 2(3 - 5z) -3z = l =>
=> x + 6 – l0z - 3z = l => x = 13z - 5
Assim, o conjunto solução do sistema é: S ={(13z-5,3 -5z, z);z
R}
Chama-se grau de indeterminação de um sistema escalonado do segundo tipo o número de variáveis livres
do sistema. Isto é, o número de variáveis que não aparecem no início de nenhuma equação do sistema. No
exemplo anterior, o grau de indeterminação do sistema é l.
A escolha de variável livre como sendo "toda aquela que não inicia nenhuma equação do sistema" é
puramente convencional. No sistema do exemplo anterior, poderíamos ter escolhido y como variável livre
e, nesse caso, o conjunto solução apresentaria a forma:
S = {[(14-13y)/5, y, (3-y)/5] y R}
Poderíamos ainda ter escolhido x como variável livre; então teríamos o conjunto solução:
S = {[x, (14-5x)/13, (5+x)/13] x R}
Propriedade
Todo sistema linear escalonado do segundo tipo é possível e indeterminado (S.P.I.).
7. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES
Dois sistemas lineares, A e A', são equivalentes se, e somente se, tiverem o mesmo conjunto solução.
Indicamos que A e A' são equivalentes por A~A'.
Exemplo
Os sistemas A
x+y=5
x–y=1
e A''
x+y=5
y=2
são equivalentes, pois ambos têm como conjunto solução S = {(3, 2)}.
Propriedades
Sendo A, A' e A" sistemas lineares, têm-se as seguintes propriedades:
P.l Propriedade reflexiva: A ~ A
P.2 Propriedade simétrica: se A ~ A', então A ' ~ A
P.3 Propriedade transitiva: se A ~ A' e A' ~A", então A ~ A"
8. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR
Observe o sistema: A
x + 2y = 5
3 x + 1y = 16
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por -3, teremos o sistema equivalente:
A'
-3x - 6y = -15
3x + ly = 16
Substituindo, no sistema A', a segunda equação pela soma dela com a primeira, teremos o sistema
equivalente:
A” -3x – 6y = 15
Y=1
Note que A" ~ A e que A" está na forma escalonada.
Vamos estudar uma técnica para transformar um sistema linear possível num outro equivalente na forma
escalonada. Essa técnica é fundamentada nos três teoremas que veremos a seguir.
Teorema
Permutando-se entre si duas ou mais equações de um sistema linear A, obtém-se um novo sistema A',
equivalente a A.
Exemplo
Permutamos entre si as equações do sistema A, obtendo o sistema A’
Teorema
Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma equação de um sistema linear B por uma
constante k, com k ≠ 0, obtém-se um novo sistema B', equivalente a B.
Exemplo
Multiplicamos por -3a primeira equação do sistema B, obtendo o •sistema. B'.
Teorema
Substituindo-se uma equação de um sistema linear C pela soma, membro a membro, dela com outra
equação desse sistema, obtém-se um novo sistema C', equivalente a C.
Exemplo
Substituímos a segunda equação do sistema C pela soma dela com a primeira, obtendo assim o sistema C'.
Conjugando esses três teoremas, podemos escalonar qualquer sistema linear possível. Se o sistema for
impossível, a tentativa do escalonamento mostrará essa impossibilidade.
Exemplo
Para escalonar o sistema:
x + 2y + 3z = 7
A
2x + y + z = 4
3x + 3y + z = 14
vamos, inicialmente, conseguir os zeros necessários nos coeficientes de x; para isso:
• substituímos a equação (II) pela soma dela com a equação (I) multiplicada por -2;
• substituímos a equação (III) pela soma dela com a equação (I) multiplicada por -3:
Os produtos da equação (I) por -2 e por -3 podem ser calculados mentalmente. Não é necessário escrevêlos.
No sistema anterior, substituímos a última equação pela soma dela
com a segunda multiplicada por -1:
Chegamos, assim, a um sistema escalonado do primeiro tipo equivalente ao sistema A, em que z= -l,y = 5
e x = 0. Concluímos, então, que A é S.P.D. e que seu conjunto solução é: S = {(0, 5, - 1)}
Se durante o escalonamento do sistema do exemplo anterior ocorresse uma equação da forma 0x + 0y +
0z = b, com b ≠ 0, então o sistema seria impossível, pois tal equação não é satisfeita para nenhum terno (x,
y, z).
Se durante o escalonamento do sistema anterior ocorresse uma equação da forma 0x + 0y + 0z = 0,
eliminaríamos essa equação e o novo sistema obtido também seria equivalente ao sistema original.
III. DETERMINANTE E APLICAÇÕES
1. CONCEITO DE DETERMINANTE
A necessidade de discutir e resolver sistemas lineares levou alguns matemáticos, a partir do século
XVII, a desenvolverem a teoria dos determinantes. O determinante é um número obtido por meio de
adições e multiplicações dos coeficientes de um sistema linear, conforme veremos a seguir.
Determinante de ordem dois
Observe o escalonamento do sistema, nas incógnitas x e y:
Mesmo que a = 0 ou c = 0, por meio de outra transformação obtém-se um sistema equivalente, com esse
coeficiente de y na segunda equação.
Haverá um único valor de y satisfazendo essa ultima equação se, e somente se, ad - cb (o coeficiente de
y) for diferente de zero; conseqüentemente, haverá um único valor de x satisfazendo o sistema.
Concluímos então que:
ad – cb ≠ 0 <=> S.P.D.
A expressão ad - cb é chamada de determinante da matriz dos coeficientes do sistema
Indica-se esse determinante por:
Em que a 1° e a 2° coluna são formadas, respectivamente, pelos coeficientes de x e de y. Por estar
associado a uma matriz 2X2, esse determinante tem ordem 2. Note, portanto, que um determinante de
ordem 2 é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos
da diagonal secundária, nesta ordem:
Importante:
Matriz e determinante são entes distintos: matriz é uma tabela e determinante é um número. Dizemos
que
é o determinante da matriz
Determinante de ordem três
Escalonando o sistema, nas incógnitas x, y e z,
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q obtém-se:
gx + hy + iz = r
ax+ by + cz = p
0x + (ae— bd)y + (af— dc)z = aq - pd
0x + 0y + (aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb)z =
= aer + bqg + pdh — gep — hqa — rdb
Esse sistema será possível e determinado se, e somente se, o coeficiente de z, isto é, a expressão aei + bfg
+ cdh - gec - hfa - idb, for diferente de zero. Essa expressão é chamada de determinante da matriz dos
coeficientes do sistema, que é simbolizado por:
em que a 1°, a 2° e a 3° coluna são formadas pelos coeficientes de x, y e z, respectivamente.
Regra de Sarrus
Um determinante de ordem 3 (três linhas e três colunas) pode ser calculado repetindo-se as duas primeiras
colunas à direita do determinante e efetuando-se as operações indicadas no esquema:
Generalizando:
Sendo D o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear com numero de incógnitas igual
ao numero de equações, têm-se:
D ≠ 0 <=> S.P.D.
D = 0 <=> S.P.I. ou S.I.
2. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Muitas situações exigem a discussão de um sistema linear em função de um ou mais parâmetros, como foi
feito nesse exemplo. Por isso, faremos um estudo detalhado sobre esse tipo de discussão. Por uma questão
puramente didática, faremos esse estudo em dois casos.
Primeiro caso (discussão de sistemas lineares cujo número de equações é igual ao número de
incógnitas)
A discussão de um sistema linear cujo número de equações é igual ao número de incógnitas pode ser feita
pelo determinante da matriz dos coeficientes do sistema, auxiliado pelo escalonamento.
Exemplo
Discutir o sistema abaixo, nas incógnitas x, y e z em função do parâmetro real a.
x + 2y – z =1
2x – y + 3z = 2
ax + 3y + 4z = 0
Seja D=
Impondo D≠ 0, sistema é possível e determinado:
-4 + 6a + 6 – a + 9 -16 ≠ 0 => a ≠ 1
Logo, se a ≠ 1 => S.P.D.
Para descobrir a classificação do sistema para a = 1, basta substituir a = 1 no sistema, escalonando-o:
Logo, se a= 1 => S.I.
Resumindo:
Se a ≠ 1 => S.P.D.
Se a = 1 => S.I.
Segundo caso (discussão de sistemas lineares cujo número de equações é diferente do número de
incógnitas)
Vamos discutir sistemas lineares com número de equações diferente do número de incógnitas, por meio do
escalonamento. Não poderemos usar, nesse caso, o determinante dos coeficientes do sistema, pois a matriz
dos coeficientes não será quadrada e, portanto, não existirá o determinante.
3. SISTEMA LINEAR HOMOGENEO
Sistema linear homogêneo é todo sistema linear formado exclusivamente por equações lineares
homogêneas, isto é, equações com termo independente igual a zero.
Solução trivial de um sistema linear homogêneo
Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite como solução a ênupla (0,0,...0) chamada de
solução trivial do sistema. Portanto um sistema linear homogêneo é sempre possível.
Classificação de um sistema linear homogêneo
Quando um sistema linear homogêneo tem o numero de equações igual ao numero de incógnitas, sua
classificação é revelada pelo determinante da matriz dos coeficientes do sistema, pois como ele é sempre
possível, há apenas duas possibilidades:
Sendo A um sistema linear homogêneo, com n equações e n incógnitas, cujo determinante dos coeficientes
é D temos:
D ≠ 0 => A é S.P.D.(admite apenas a solução trivial)
D =0 => A é S.P.I.
4. MATRIZES INVERSAS
O conceito de matrizes inversas tem muita semelhança com o conceito de números reais inversos; por
isso, vale a pena fazer uma revisão.
Dois números reais, a e b, são inversos entre si se, e somente se: ab = ba = 1.
Indica-se que a e b são inversos entre si pelo símbolo a = b-1 ou por b = a-1.
Como a multiplicação de números reais é comutativa, basta a condição ab = l para garantir que a e b sejam inversos
entre si.
A condição necessária e suficiente para que um número real a tenha inverso é a ≠ 0.
De maneira análoga ao conceito de números inversos, definem-se matrizes inversas, conforme segue.
Definição
Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, existe uma matriz B tal que AB = BA =
In em que In é a matriz identidade de ordem n.
As matrizes A e B são chamadas de inversas entre si, e tal fato é indicado por B = A-1(B é igual à inversa
de A) ou A = B -1(A é igual à inversa de B)
Propriedade
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n e AB = In então A e B são invertíveis e B = A-1 ou
ainda A = B -1
Exemplo
Obter a inversa de cada uma das matrizes
A)
B)
Admitindo que A-1=
seja inversa da matriz A, devemos ter A ∙ A-1= I2, ou seja
Igualando os elementos correspondentes, obtemos o seguinte sistema
2 a + 4c = 1 (I)
2c = 0 => c = 0
(II)
2b + 4d = 0 (III)
2d = 1 => d = ½
(IV)
substituindo (II) em (I), temos a= ½
substituindo (IV) em (III) obtemos b= -1
assim concluímos que A-1 =
b) Admitindo que B-1=
seja inversa da matriz B, devemos ter B ∙ B-1= I2, ou seja
Igualando os elementos correspondentes obtemos o sistema
Observando q esse sistema é impossível, concluímos que não existe uma matriz B-1.
Existência da matriz inversa
Como vimos no exercício anterior, nem todas as matrizes quadradas admitem inversa. A condição
necessária e suficiente para a existência da inversa é a seguinte:
Uma matriz quadrada de ordem n é invertivel se,e somente se, det A ≠ 0.
IV. BINOMIO DE NEWTON
1. NÚMERO BINOMIAL
Na Análise Combinatória, o número de combinações simples de n elementos tomados p a p pode ser
representado pela expressão Cn p. Esse número pode ser indicado também pelo símbolo , que deve ser
lido como "número binomial n sobre p".
Assim, temos:
= Cn, p = n!/[p! – (n – p)!]
para {n, p} naturais, com p≤ n
2. NEWTON E O BINÓMIO (x + a)n
"Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a
melhor metade". Essa afirmação, feita pelo grande matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716), tenta mostrar o quanto o matemático, físico e astrônomo inglês Isaac Newton contribuiu para as
Ciências. Sempre que um problema de Física ou Astronomia exigisse, Newton criava ferramentas
matemáticas para resolvê-lo. Um desses problemas o inspirou para a sua maior criação: o Cálculo
Diferencial e Integral.
Ao realizar um de seus trabalhos, Newton teve a necessidade de desenvolver potências de forma (x + a)n
e, para isso, criou um teorema simples e elegante, que pode ser entendido a partir do problema a seguir.
Um problema fundamental
Dentre 5 casais de namorados, devem ser escolhidos três homens e duas mulheres, de modo que não se
escolha um casal de namorados. De quantas maneiras diferentes essa escolha pode ser feita?
Uma possibilidade para realizar essa escolha é: Escolhidos três homens, as mulheres estarão
automaticamente escolhidas, pois serão aquelas que não namoram nenhuns dos três homens escolhidos.
Portanto, o número de possibilidades de escolha é igual ao número de escolhas de três homens, ou seja,
C5,3 = 10.
Podemos também raciocinar da seguinte maneira: escolhidas duas mulheres, os homens estarão
automaticamente escolhidos, pois serão aqueles que não namoram nenhuma das duas mulheres escolhidas.
Portanto, o número de possibilidades de escolha é igual ao número de escolhas de duas mulheres, ou seja,
C5, 2 =10.
Esse problema de Análise Combinatória vai ajudar a entender o teorema de Newton, que mostraremos a
seguir.
O teorema de Newton para o desenvolvimento de potência (x + a)n
Para desenvolver certos problemas de Matemática, necessitamos de potência do tipo (x + a)n, em que x e a
são números quaisquer e n pertence aos Naturais . Algumas dessas potências são:
(x + a)0 = 1
(x + a)1 = x +a
(x + a)2 = x² + 2xa + a²
(x + a)3 = x³ + 3x²a + 3xa² + a³
Note que, quanto maior for o expoente, mais trabalhosos serão os cálculos. No entanto, usando conceitos
que aprendemos com a Análise Combinatória, podemos deduzir uma expressão, relativamente simples,
para desenvolver essas potências. Compare o desenvolvimento a seguir com o problema fundamental,
apresentado anteriormente, raciocinando como se cada fator (x + a) fosse um casal de namorados daquele
problema.
Consideremos a potência (x + a)5. Para desenvolvê-la, devemos efetuar as seguintes multiplicações:
(x + a) (x + a) (x + a) (x + a) (x + a)
Aplicando a propriedade distributiva, vamos multiplicar, de todas as maneiras possíveis, cinco fatores (x
ou a), escolhendo cada um deles em um dos fatores (x + a) dessa expressão. Uma das possibilidades é:
Por meio dessa possibilidade, obtemos o termo x3a2. Porém, existem outras possibilidades que resultam no termo
x3a2.
Quantos termos iguais a x3a2 serão obtidos depois de efetuadas todas as multiplicações possíveis?
Para responder a essa pergunta, recorreremos à Análise Combinatória. Devemos calcular o número de modos
diferentes de escolher: x em três dos cinco fatores (x + a); e a nos outros dois. Note que, escolhido x em três fatores,
a escolha de a fica automaticamente determinada nos fatores restantes. Assim, basta calcularmos o número de
maneiras diferentes de escolher x em três dos cinco fatores. Esse número é C5 3. Portanto, o termo x3 a2 aparecerá C5, 3
vezes depois de efetuadas todas as multiplicações. Raciocinando de maneira análoga, temos:
• o termo x5 aparecerá C5,5 vezes;
• o termo x4a aparecerá C5, 4 vezes;
• o termo x3a2 aparecerá C5, 3 vezes;
• o termo x2a3 aparecerá C5, 2 vezes;
• o termo xa4 aparecerá C5, 1 vezes;
• o termo a5 aparecerá C5 0 vezes.
Assim, podemos escrever:
(x + a)5 = C5,5x5 + C5,4x4a + C5,3x3a2 + C5,2 x2a3 + C5,1 xa4 + C5,0 a5, ou seja:
(x + a)5= x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
3. TERMO GERAL DO BINÓMIO DE NEWTON
Vimos que:
Observe que todas as parcelas do desenvolvimento são da forma
de termo geral do binômio de Newton.
xpan-p. Por isso, chamamos este termo
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