2 - Astronomia
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ASTRONOMIA DO SISTEMA SOLAR Enos Picazzio (IAGUSP 2007) GRAVIDADE E FORÇAS NÃO HÁ PERMISSÃO DE USO PARCIAL OU TOTAL DESTE MATERIAL PARA OUTRAS FINALIDADES. Texto Texto parcialmente parcialmente baseado baseado em em Gravity and Forces By By T. T. Adams, Adams, High High Energy Energy Physics, Physics, Sept Sept 9, 9, 2002 2002 www.hep.fsu.edu/~tadams/courses/fall02/ast1002/lectures/Lecture090902.ppt 90902.ppt www.hep.fsu.edu/~tadams/courses/fall02/ast1002/lectures/Lecture0 www.hep.fsu.edu/~tadams/courses/fall02/ast1002/lectures/Lecture090902.ppt Parâmetros Orbitais i - Inclinação (i > 90º, movimento retrógrado). Ω - Longitude do nodo ascendente (0 ≤ Ω ≤ 360º) ω - Argumento do pericentro, contado no sentido do movimento do corpo (0 ≤ ω ≤ 360º) (eclíptica) P, A - Pericentro e Apocentro ϖ - Longitude do pericentro (Ω Ω + ω) n - movimento médio (velocidade angular média do corpo em torno do atrator: n=(2π/período) e - Excentricidade da órbita (relação entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior (c/a) e = c/a a(1+e) a(1-e) As esferas de Eudoxus (408 - 355 a.C.) Esferas concêntricas com a Terra no centro Movimento Retrógrado Leste Oeste Movimento retógrado aparente era uma dificuldade Cláudio Ptolomeu (87 – 151 d.C.) Em Almagesto Ptolomeu sumarizou todo o conhecimento astronômico grego, incluindo contribuições significativas próprias. A Cosmologia de Ptolomeu Para explicar a complexidade aparente dos movimentos dos planetas, Ptolomeu imaginou um esquema complexo de epiciclos. Estes eram centrados na deferente e sobre ela se moviam. Cada planeta movia-se uniformemente ao longo de um círculo (epiciclo), cujo centro movia-se em torno Terra ao longo de um círculo maior (deferente). O centro da deferente estava entre a Terra e o equante. Visto do equante, o movimento orbital do epiciclo era constante. Visto da Terra esse movimento era variável Mesmo para movimentos constantes este sistema reproduzia razoavelmente o movimento observado, isto é, os planetas moviam-se mais rápido em um lado da deferente que no outro. Cada planeta tinha deferente e epicíclo próprios, que eram ajustados para reproduzir as observações. Movimento Retrógrado O movimento retrógrado aparente, que é facilmente ilustrado com o sistema heliocêntrico, era uma dificuldade enorme para o sistema geocêntrico de epiciclos. g A precisão crescente na determinação das posições implicava em maiores dificuldades de explicação. g Nicolau Copérnico (1473-1543) Culturas antigas acreditavam que a Terra fosse o centro do Universo e que o Sol, Lua, estrelas e outros corpos celestes giravam ao redor dela. Nicolau Copérnico aprimorou um sistema já discutido por Aristarco de Samos (270 a.C.), com o Sol no centro do movimento Ele sugeriu que os planetas giravam em órbitas circulares seu trabalho só foi publicado 1 ano após a sua morte. Não foi prontamente aceita. Nicolau Copérnico ? 10/novembro/2005: Arqueólogos poloneses acreditam ter encontrado restos mortais de Nicolau Copérnico (1473–1543), que revolucionou o conhecimento sobre a estrutura do Sistema Solar, colocando o Sol no centro e tratando a Terra como um planeta. Mas esse modelo não é seu, ele foi proposto no século 3 a.C. pelo grego Aristarco, da cidade de Samos. Copyright by Cpt. Dariusz Zajdel M.A., Central Forensic Laboratory of the Polish Police. Os restos mortais foram encontrados em uma catedral em Frombork, cidade a 290 km de Warsaw. O crânio é compatível com um homem de 70 anos. A face acima foi reconstruída por especialistas em reconstrução facial do Laboratório Forense Central da polícia polonesa. Brahe e Kepler Tycho Brahe (1546-1601) Brahe passou décadas observando e registrando as posições dos planetas no céu Johannes Kepler (1571-1630) Comparou os dados de Brahe com a teoria de Copérnico com os planetas girando ao redor do Sol em órbitas circulares Os dados NÃO confirmaram essa teoria Elipses Eixo maior Semieixo maior foco Kepler começou admitindo órbitas circulares, mas como elas não se ajustaram aos dados ele tentou órbitas elípticas Elipse é um círculo achatado excentricidade é uma medida desse achatamento Para um círculo, a distância do centro é constante, excentricidade = 0 Para uma elipse, a distância de um ponto focal ao bordo e deste ao outro ponto focal é constante Uma elipse pode ser definida pelo seu semieixo maior e sua excentricidade Elipses (cont) excentrici dade = distância entre pontos focais compriment o do eixo maior Primeira Lei de Kepler 1a. Lei de Kepler do movimento planetário Planetas movem-se em órbitas elípticas, com o Sol em um dos pontos focais Esta é uma teoria empírica Terra tem órbita quase circular que não explica o porquê, mas ajusta-se aos dados sua excentricidade = 0.017 Plutão tem órbita bem mais elíptica excentricidade = 0.224 Segunda Lei de Kepler Planetas descrevem áreas iguais em tempos iguais Os planetas: movem-se mais rápido quando estão mais próximos do Sol, e mais devagar quando estão mais longe do Sol Terceira Lei de Kepler Lei Harmônica O quadrado do período orbital do planeta é igual ao cubo do semieixo maior da sua órbita (Panos)2 = (AUA)3 Período orbital = tempo que o planeta leva para dar uma volta completa ao redor do Sol medido em anos Comprimento do semieixo maior da órbita elíptica medido em Unidade Astronômica (UA) Representação matemática da Leis de Kepler 1a. 2a. Lei: a(1 − e 2 ) r = 1 + e cos θ Lei: dA r 2 dθ r 2 θ& h = = = dt 2 dt 2 2 const. dist. veloc. angular const. variáveis momento angular conservação do momento angular: velocidade aumenta quando distância diminui, vice-versa Representação matemática da Leis de Kepler 1a. 2a. 3a. Lei: a(1 − e 2 ) r = 1 + e cos θ Lei: dA r 2 dθ r 2 θ& h = = = dt 2 dt 2 2 Lei: a 3 = const.P 2 n 2 a 3 = const. ou com n = 2π P Mas POR QUE? Leis de Kepler são excelentes para descrever o movimento dos planetas mas NÃO dizem o porquê A ciência tenta aprender como e por que Dois grandes cientistas ajudaram a responder essas questões Galileo Galilei (1564-1642) Sir Isaac Newton (1642-1727) Estudos de Galileu Preocupado com as órbitas planetárias estudou os movimentos dos corpos, através da inércia: os corpos resistem às alterações de seus estados dinâmicos: essa resistência é a inércia e sua medida é a massa. um corpo em repouso tende a permanecer em repouso, se estiver em movimento este será retilíneo e uniforme, a menos que um agente externo altere essa condição! Primeira Lei de Newton Um objeto em repouso permanece em repouso, um objeto em movimento permanece em movimento …a menos que uma força atue sobre ele A primeira parte parece óbvia A segunda parte já não parece tão óbvia você permanecerá sentado a menos que se levante por conta própria ou alguém/alguma coisa o force a sair do lugar você está acostumando a ver um objeto deslizando sobre o chão e diminuindo gradativamente seu movimento mas na realidade ele quer manter-se em movimento Agora precisamos de algumas definições… Definições Distância (m) e Tempo (s) Velocidade (m/s) Velocidade vetorial (m/s) quão rápido sua velocidade vetorial está mudando Massa (kg) velocidade + direção Aceleração (m/s2) rapidez com que se move uma medida da quantidade de matéria que um objeto possui diferente de pêso, mas relacionada Inércia o quanto um objeto resiste às mudanças de movimento Segunda Lei de Newton Uma força não contrabalanceada mudará o movimento de um objeto A mudança no movimento (aceleração) será proporcional à quantidade de força quanto mais forte se empurra, mais alterado será o movimento quanto mais forte se empurra, maior será a aceleração F = M × a F a = m Esta é a massa inercial, isto é, a resistência que o corpo oferece à mudança de seu estado dinâmino, ou a razão entre força aplicada e a aceleração resultante Terceira Lei de Newton Para cada ação há uma reação igual e oposta Não é intuitivamente óbvia Exemplos: bola de futebol atingindo o pé, ou bola de tênis atingindo a raquete... Terra atrai a Lua, Lua atrai a aTerra Lançamento do Ônibus Espacial jato vai para um lado, ônibus vai para para o outro Movimento Circular Uma bola viajando ao redor de um círculo com velocidade constante sofre aceleração? Movimento Circular SIM, uma bola movendo em um círculo está sendo constantemente acelerada Considere, O módulo pode ser constante, , mas a direção não no tôpo da círculo a bola está se movendo p/ a direita na base do círculo ela está se movendo p/ a esquerda em pouco tempo, a bola muda completamente de direção, logo deve haver uma aceleração lembre-se: velocidade vetorial é velocidade e direção A aceleração é dirigida para o centro do círculo Movimento Circular Caso contrário, esta seria a consequência É assim que os planetas se movem ao redor do Sol Gravidade Todos os objetos com massa sentem atração mútua devido à gravidade Gravidade é a força que… nos prende à Terra faz uma rocha cair ao chão faz a Terra girar ao redor do Sol puxa o Sol para o centro da nossa Galáxia, e muito mais... A gravidade atua sem a necessidade dos objetos se tocarem “é uma ação à distância” Gravidade (cont) A gravidade atua entre 2 objetos O valor da força depende da massa dos 2 objetos da distância entre os 2 objetos qto maiores as massas, maior é a força qto mais próximos, maior é a força M1 M2 F= G 2 r de uma constante da Natureza Importante – AMBOS os objetos sentem essa força e são mutuamente atraídos A Lua é puxada em direção à Terra, e a Terra é puxada em direção à Lua Esta é a massa gravitacional, isto é, a que determina a força de atração entre corpos. Gravidade e Órbitas A gravidade dá origem à força que faz com que os planetas orbitem o Sol Os planetas tendem a migrar para o espaço (1a. Lei de Newton) Mas a gravidade os puxa em direção ao Sol e muda suas direções O cenário é ainda mais complicado porque os planetas atraem-se mutuamente, causando variações em suas órbitas Por que a Terra não cai no Sol? Na realidade ela cai, e sempre! Para que a Terra gire ao redor do Sol, é necessário que o Sol a atraia para si não fosse assim, a Terra migraria para o espaço lembre-se: um objeto em movimento tende a continuar em movimento no mesmo caminho, que é uma reta Medindo a Massa da Terra F = ma ; Newton: Também sabemos M1 M2 F= G 2 r Galileo: todos os objetos são acelerados em direção à Terra com a mesma taxa (a = 9,80 m/s2) Laboratório: G = 6,67x10-11 Nm2/kg2 Medidas da curvatura da Terra: r = 6,38x106 m, M1 = m = massa de um objeto na Terra M2 = Me = massa da Terra Com isso medimos a massa da Terra: 5,98x1024 kg m Me ma = G 2 r 2 ar Me = G Descobrindo a massa da Lua pela 3a Lei de Kepler, através de um satélite Lei generalizada P2 4π 2 a3 = ⋅ (m + M ) G satélite com 4π 2 k = G (m + M ) Lua ms + Mm 4π 2 a 3 = G P2 ms + Mm ≈ Mm Mm 4π 2 a 3 = G P2 Lei generalizada Peso Peso é uma medida do quanto um objeto é atraído pela Terra Mas se você viajar para a Lua, seu peso diminuirá é, de fato, uma medida da força gravitacional é porque a Lua tem menos massa que a Terra, por isso exerce uma força atrativa menor sobre você o mesmo ocorreria se você fosse para outro planeta, se a massa desse planeta fosse maior você pesaria mais... Mas em todos os casos sua massa seria a mesma “Ausência de pêso” em Órbita Os astronautas à bordo do Ônibus Espacial ou da Estação Espacial parecem não ter peso mas eles ainda estão sofrendo atração gravitacional da Terra Eles parecem não ter peso porque eles estão em órbita Portanto estão “caindo” em direção à Terra o tempo todo, e é isto que os mantêm em órbita Sumário Kepler descobriu leis empíricas que descrevem o movimento dos planetas, mas não explica o motivo Galileu estudou o movimento dos planetas, através do conceito de inércia Newton desenvolveu 3 leis da Natureza que descrevem como os planetas se comportam, e como as coisas atuam sobre a Terra A gravidade é a atração de 2 objetos com massa ela é responsável pelo “balé” de movimento do Universo Sumário A Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade Equivalência entre massa inercial e massa gravitacional F = M × a M1 M2 F=G 2 r Newton pensava que os valores das duas massas eram muito próximos, senão iguais. Barão von Roland Eötvös (húngaro): mediu com grande precisão as a equivalência entre elas. Einstein: “ Essa lei (de equivalência) atingia-me com todo seu impacto. Espantava-me sua persistência e imaginei que nela deveria residir a chave de mais profunda compreensão da gravitação e da inércia. Eu não tinha dúvidas sérias acerca de sua estrita validez...” A Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade Equivalência entre massa inercial e massa gravitacional F = M × a M1 M2 F=G 2 r Para compreender o princípio da equivalência podemos usar o “elevador de Einstein”: uma caixa fechada, colocada em um ponto do espaço, suscetível de ser içada por alguém situado fora dela, que puxa com força constante, uma corda ligada ao teto da mesma. Os ocupantes do elevador sentem-se impelidos “para baixo”, na direção do piso. O princípio da equivalência assegura que essa força é idêntica à que poderia ser produzida por um campo gravitacional convenientemente construído que atuasse “de cima para baixo” sobre o elevador estacionário. As pessoas que se acham no elevador não serão capazes de dizer se enfrentam uma situação ou outra. A equivalência entre massa gravitacional e massa inercial é, na verdade, equivalência entre força gravitacional e força inercial. Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Espaço Espaço (3D) (3D) ee tempo tempo são são grandezas independentes ee grandezas independentes absolutas. absolutas. Espaço-tempo (4D) não não Espa ço-tempo (4D) grandezasindependentes. independentes. grandezas OO referencial referencial absoluto absoluto de de tempo tempo está estáno noagente agentemotor motor(Deus). (Deus). Tempoéé grandeza grandezavari variável comoo Tempo ável com referencial. referencial. AA velocidade velocidade que que um um corpo corpo pode pode adquirir adquirirsob sobaceleração aceleração constante constante ééinfinita. infinita. Velocidade éé finita finita ee oo valor valor Velocidade máximo daluz luzpropagando propagando-se m áximo ééooda -se novvácuo. no ácuo. OOvalor valorda damassa massanão nãomuda mudacom comoo estado estadodinâmico. dinâmico. massa inercial inercial aumenta aumenta com com aa AA massa velocidade ee tende tende aa infinito infinito na na velocidade velocidadeda daluz. luz. velocidade são são Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Dilatação do tempo Referencial em repouso: o que a pessoa vê de dentro Tempo: 2L t= c L 2 t = veloc = 0 4L2 c2 Referencial em movimento: o que uma pessoa vê de fora Tempo: L H veloc = v t' = t '2 2H c = 4H2 c2 Pensemos nesta situação: Uma pessoa dentro de uma caixa, com dois espelhos: um no piso e outro no teto, alinhados com a vertical. L é a altura da caixa. Do espelho do piso sai um raio de luz em direção ao espelho do teto, reflete e volta para o espelho do piso. Agora, imaginemos uma pessoa fora da caixa, vendo esta se deslocar com velocidade v. Para que a luz atinja o espelho do teto, o raio deverá se inclinar na direção do movimento. Na volta, deverá se inclinar novamente na direção do movimento para atingir o espelho do piso. Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Dilatação do tempo Referencial em repouso: o que a pessoa vê de dentro Tempo: 2L t= c L 2 t = veloc = 0 4L2 c2 Referencial em movimento: o que uma pessoa vê de fora Tempo: L H veloc = v t' = t '2 2H c = 4H2 c2 Pensemos nesta situação: Uma pessoa dentro de uma caixa, com dois espelhos: um no piso e outro no teto, alinhados com a vertical. L é a altura da caixa. Do espelho do piso sai um raio de luz em direção ao espelho do teto, reflete e volta para o espelho do piso. Agora, imaginemos uma pessoa fora da caixa, vendo esta se deslocar com velocidade v. Para que a luz atinja o espelho do teto, o raio deverá se inclinar na direção do movimento. Na volta, deverá se inclinar novamente na direção do movimento para atingir o espelho do piso. Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Dilatação do tempo Pitágoras H Referencial em repouso: o que a pessoa vê de dentro L Tempo: 2L t= c L 2 t = veloc = 0 4L2 c2 t' veloc = v 2 2 2 '2 v .t 2 4 L + 4 4L2 + v 2 ⋅ t ' 2 4H 2 = = 2 = c c2 c2 2 2 2 ( ) c 2 ⋅ t ' = 4L2 + v 2 ⋅ t ' ⇒ t ' c 2 − v 2 = 4L2 Tempo: H v.t’ Referencial em movimento: o que uma pessoa vê de fora L v.t ' 2 2 H =L + 2 2H t' = c t '2 = 2 2 '2 divide por c : t (1 − 4H2 c ( ) mas 4L2 = c 2 ⋅ t 2 ; então t ' c 2 − v 2 = c 2 ⋅ t 2 2 ou : v t = t ⋅ 1 − 2 c ' 2 2 v2 c −1 2 = ) t 2 2 Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Variação da massa inercial Nenhuma aceleração pode aumentar a velocidade de um objeto além da velocidade luz no vácuo: v = v0 + a ⋅ t; qdo v → c, a → 0 Isto equivale a dizer que sua massa inercial tende ao infinito quando sua velocidade tende a da luz no vácuo: a= F ; m se a → 0, m→∞ Dizer que a massa inercial aumenta com a velocidade equivale a dizer que a mesma força aplicada ao objeto terá resultado de aceleração cada vez menor na medida em que o objeto atingir a velocidade muito próxima a da luz, a força não terá qualquer resultado. Mecânica Clássica e Mecânica Relativística Visão clássica Visão relativística Precessão do periélio de Mercúrio Física Newtoniana: objeto que orbita o Sol tem trajetória elíptica, com foco centrado no Sol. Posição do periélio é fixa. Perturbação gravitacional dos demais corpos e a não-esfericidade do Sol podem causar precessão do periélio. 1845 – Urbain LeVerrier constata a precessão do periélio de Mercúrio: 35''/ século 1915 – Relatividade Geral de Einstein preve precessão de 42.9" / século Valor aceito atualmente: 43,11" ± ,45" / século (uma volta completa em 3.000.000 anos) Sugestões Astronomia antiga The Early History of Astronomy http://classweb.howardcc.edu/astronomy/Presentations/Chapter3/Chapt er3.ppt Models of Planetary Motion from Antiquity to the Renaissance http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html Astronomia e Atrofísica (Kepler de Souza Oliveira Filho e Maria de Fátima Oliveira Saraiva) http://astro.if.ufrg.br
