Risco, Retorno e o Custo de Oportunidade do Capital José Fajardo EBAPE-FGV Nas próximas aulas • • • • • Risco Medindo o Risco Risco de Carteiras Fronteira Eficiente Carteiras de Markowitz Notícias Financeiras – Introdução de pequenas maquinas de impressão mediados-1880 • Charles Dow (co-fundador com Edward Jones do Dow, Jones & Co em 1882) foi o primeiro editor do Wall Street Journal (fundado em 1885). • A teoria de Dow: – « tendências são persistentes até que o mercado envie sinais mostrando que a tendência esta perdendo seu momento e va reverter ». – Dow Jones Average (1884): 12 companhias – Desde então somente General Electric faz parte até hoje do DJA. 1 Ìndices Financeiros • Em 1860, Henry Varnum Poor publica History of Railroads and Canals in the United States. – Em 1906 Luther Lee Blake funda the Standard Statistics Bureau – 1913: Primeira publicação do indice que se tornaria (em 1941) o famoso S&P500 cobrindo 97% do 1933 market cap. » O Objetivo deste índice é mostrar que obteria um investidor se tivesse investido em cada ativo do NYSE a inicios de1871. The Value of an Investment of $1 in 1926 1000 6402 S&P Small Cap Corp Bonds Long Bond T Bill 2587 64.1 Index 48.9 16.6 10 1 0.1 1925 1940 Source: Ibbotson Associates 1955 1970 1985 2000 Year End The Value of an Investment of $1 in 1926 Index 1000 S&P Small Cap Corp Bonds Long Bond T Bill Real returns 660 267 6.6 10 5.0 1 0.1 1925 1.7 1940 Source: Ibbotson Associates 1955 1970 1985 2000 Year End 2 Rates of Return 1926-2000 40 20 0 90 95 85 80 70 75 65 60 50 55 45 40 Common Stocks Long T-Bonds T-Bills 30 26 -60 20 -40 00 -20 35 Percentage Return 60 Year Source: Ibbotson Associates Análise Quantitativo • Cowles – Pideu a um matemático fazer uma regressão com 20 variáveis • Dados: 7.500 recomendações de serviços financeiros, 4 anos de transações de companhias de seguros, 255 editoriais do WSJ de 1903 a 1929 e 3.300 recomendações de publicações financeiras – Cowles’ Conclusion: « even if I did my negative surveys every five years, or others continued when I’m gone, it wouldn’t matter. People are still going to subscribe to these services. They want to believe that somebody really knows. A world in which nobody really knows can be frightening. » Estudo Pioneiro Em 1952, Markowitz publico um artigo no JF : « Portfolio Selection » – Esta discusão somente comezou nos 60s. – “...investors have a real desire of diversification and that somewhere, the RISK dimension is as important as the RETURN dimension” – Aparece a ideia de « Fronteira Eficiente! » – Markowitz obteve seu Ph.D na Univ. de Chicago, mesmo que Milton Friedman não estivesse de acordo em aceitar que a Tesis estaba no campo da economia e nem da matemática . Foi a primeira vez que as finanças foram consideradas um campo de pesquisa. 3 Principais ìdeias • Dimensões Valor/Retorno Risco – Valor/Retorno – Risco – Tempo Tempo Risco Questões Importantes? • Que se entende por risco? • Como posso medir este risco? 4 Tipos de Risco • • • • • • Risco Operacional Risco de Crédito Risco de Liquidez Risco Legal Risco Soberano Risco de Mercado Risco Operacional • Definição – Risco inerente à administração da empresa. • Tipos: – Risco Organizacional • Organização ineficiente – Risco de Equipamentos • Falhas de equipamentos – Risco de Pessoal • Empregados pouco qualificados Risco de Crédito Possível não recebimento dos recursos a que se tem direito. • Análise de Crédito – Aspectos Subjetivos (Qualitativos) • experiências em relacionamentos anteriores • tradição • idoneidade dos controladores – Aspectos Objetivos • análise econômicofinanceira • qualidade das garantias oferecidas • existência de títulos protestados • análise do desempenho do setor de atividade 5 Risco de Liquidez • Desequilíbrio de Caixa • Descasamento dos prazos de vencimento das operações ativas e passivas Risco Legal • Documentação inadequada • Proibição legal para operar • Problemas na execução de garantias Risco Soberano • Decisões unilaterais de governos que podem prejudicar ou adiar a liquidação de operações previamente assumidas 6 Risco de Mercado • Mudanças nos preços dos ativos e passivos. – – – – Ações Câmbio Juros Commodities • Descasamento dos indexadores dos ativos e passivos e de seus prazos Risco de Mercado e Específico • Na gestão de carteiras de costuma usar o termo Risco de Mercado ou Risco Sistemico para identificar incertezas produzidas por fatores de mercado q afetam os ativos como um todo. • E o termo Risco Específico identifica incertezas produzidas por fatores que afetam únicamente uma carteira, que não representa o mercado. Definições e Conceitos de Risco • Retorno Esperado – Aumento do capital investido µ = Ε[X ] ← µ̂ = 1 n ∑ Obsi n i =1 • Risco – Incerteza mensurada [ ] σ 2 = Ε ( X − µ )2 ← σˆ = 1 n 2 ∑ (Obsi − µ ) n − 1 i =1 7 Variância Problemas • Que captura a medida: [ 1 n ∑ (Obsi − µ )2 n − 1 i =1 ] σ 2 = Ε ( X − µ )2 ← σˆ = • Imagine duas carteiras uma com mais observações a direita da média e outra simétrica somente que agora a esquerda da média. Existem outras medidas importantes • Skewness s= [ Ε (X − µ ) 3 σ ] 3 • Kurtosis k= [ Ε (X − µ ) 4 σ 4 ]− 3 8 Daqui em diante assumiremos que os retornos são “Normais” Testes de Normalidade • Existem vários testes de Normalidade • Importante a frequência considerada. • Veremos no Lab. Risco de Carteiras 9 Carteira de dois ativos: Retorno Retorno esperado: rc = w1r1 + w2r2 w1 = proporção de recursos no ativo 1 w2 = proporção de recursos no ativo 2 r1 = retorno esperado de 1 r2 = retorno esperado de 2 n ∑w i =1 i=1 Carteira de dois ativos: Variância σc2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2 σ12 2 2 = ∑∑ wi w jσ ij i =1 j =1 σ12 = variância de 1 σ22 = variância de 2 σ12 = Cov(r1r2) = Covariância dos retornos de 1 e 2 Carteira com 3 ativos rc = w1r1 + w2r2 + w3r3 σ2c = w12σ12 + w22σ22 + w32σ32 + 2w1w2σ12 + 2w1w3σ13+ 2w2w3σ23 3 3 σ c2 = ∑∑ wi w jσ ij i =1 j =1 10 Risco da carteira Se a carteira c tem n ativos: n rc = ∑wr i i i =1 n σ c2 = n ∑∑wwσ i j n ij = i =1 j =1 ∑w σ 2 i 2 i + ∑ w i w jσ ij i =1 i≠ j = w * Cov * w ' Em geral, para n ativos: rc = média ponderada de n ativos σc2= (considera todas as covariâncias) Redução do risco pela diversificação lim n → ∞ σ c2 = σ m2 ≠ 0 Desvio Padrão Risco Específico Risco do Mercado Número de ativos 11 Covariância Como: σ12 = ρ1,2σ1σ2 onde: ρ1,2 = coeficiente de correlação dos retornos, e: − 1 ≤ ρ12 ≤ 1 , temos que: σ 12 ≤ σ 1σ 2 Possíveis valores do coeficiente de correlação Intervalo de valores para ρ1,2 + 1.0 > ρ > -1.0 Se ρ = 1.0, ativos são positiva e perfeitamente correlacionados Se ρ = - 1.0, ativos são negativa e perfeitamente correlacionados Carteira com 2 ativos E [rc ] = r c = w1 r1 + w 2 r2 σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 12 = w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2 ρσ 1 σ 2 1 σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2 ρσ 1 σ 2 ) 2 12 Retorno Esperado vs. Desvio Padrão Retorno Esperado vs. Desvio Padrão Retorno Esperado vs. Desvio Padrão 13 Ef2.jpg Ef2.jpg Carteira com 2 ativos Se ρ = 1: σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 1 σ 2 1 σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 1 σ 2 ) 2 = w1 σ 1 + w 2 σ 2 2 ativos com correlações diferentes E(r) •Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12% •Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20% 13% ρ=1 %8 12% 20% σ 14 Carteira com 2 ativos Se ρ = -1: σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 − 2 w1 w 2σ 1 σ 2 1 σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 − 2 w1 w 2σ 1 σ 2 ) 2 = w1 σ 1 − w 2 σ 2 2 ativos com correlações diferentes E(r) •Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12% •Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20% 13% ρ = -1 ρ = -1 %8 12% σ 20% Carteira com 2 ativos Se –1< ρ < 1: − 2 w1 w 2σ 1 σ 2 < 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 < 2 w1 w 2σ 1 σ 2 σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 ) 1 2 < w1 σ 1 + w 2 σ 2 σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 ) 1 2 > w1 σ 1 − w 2 σ 2 15 2 ativos com correlações diferentes •Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12% •Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20% E(r) 13% ρ = -1 ρ =.3 ρ = -1 ρ=1 %8 12% 20% σ Efeito da correlação • A relação depende da magnitude do coeficiente de correlação • -1.0 < ρ < +1.0 • Correlações menores implicam maior potencial de redução do risco • Se ρ = +1.0, não há redução possível Variância mínima com 2 ativos Lembrando que w2 = (1-w1): σ c2 = w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2 w1 (1 − w1 )σ 12 ( ) ( ) min σ c2 = w12σ 12 + 1 − 2 w1 + w12 σ 22 + 2 w1 − w12 σ 12 w1 c . p .o . : 2 w1σ 12 + (− 2 + 2 w1 )σ 22 + 2 (1 − 2 w1 )σ 12 = 0 w1 = σ 22 − σ 12 σ + σ 22 − 2σ 12 2 1 16 Variância mínima com 2 ativos E para a carteira de variância mínima temos: ( ( ) E [rc ] = w1* r1 + 1 − w1* r2 = r2 + w1* r1 − r2 ) σ c2 = w1* σ 12 + (1 − w1* ) σ 22 + 2 w1* (1 − w1* )σ 12 2 ( 2 σ c = w1* σ 12 + (1 − w1* ) σ 22 + 2 w1* (1 − w1* )σ 12 2 2 ) 1 2 Exemplo Ativo1 E(r1) = .10 Ativo2 E(r2) = .14 σ1 σ2 = .15 = .20 ρ12 = 0.2 σ22- σ12 w1 = σ12 + σ22 - 2σ12 w2 = (1 - w1) Exemplo (ρ = 0.2) w1 = (.2)2 - (.2)(.15)(.2) (.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2) w1 = .6733 w2 = (1 - .6733) = .3267 17 Mínima Variância: retorno e risco E[rc] = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131 σ c = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 + 2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)] σ c = [.0171] 1/2 1/2 = .1308 Conjunto Factível Com três ativos primitivos (1, 2, 3) temos: E(r) 3 4 2 1 σ Conjunto Factível E(r) 3 4 2 1 σ • Como 4 pode ser qualquer ponto no arco 23, o conjunto factível será uma região bi-dimensional sólida. • O conjunto factível é convexo à esquerda: dados dois pontos no conjunto, a reta unindo estes dois pontos não cruza a fronteira esquerda. 18 fronteira de variância mínima com ativos arriscados •Cada “curvinha” representa as possíveis combinações de dois ativos. •A combinação de todos os ativos do conjunto constitui a fronteira de variância mínima. Retorno Esperado (%) Desvio Padrâo Princípio da Dominância Se o agente gosta de retorno e não gosta de desviopadrão, vale o princípio da dominância: Retorno Esperado 4 2 3 1 Variância ou Desvio Padrão • 2 domina 1; tem maior retorno • 2 domina 3; tem menor risco • 4 domina 3; tem maior retorno Implicações • A combinação ótima resulta no mais baixo nível de risco para um dado retorno • O trade-off ótimo é descrito como a fronteira eficiente • As carteiras na fronteira eficiente são “dominantes” 19 A fronteira de variância mínima com ativos arriscados E(r) Fronteira Eficiente Ativos Individuais Mínimo Global Fronteira de variância mínima Desv. Pad. Carteiras de Markowitz Prf. José Fajardo O Modelo de Markowitz Assuma que existam A ativos: a=1, 2,..., A Para achar a carteira de variância mínima, que tem retorno esperado r, formulamos o seguinte problema: A min w1 ,..., w A A ∑∑ w w σ a b ab a =1 b =1 s.a. : A ∑w r a a =r a =1 A ∑w a =1 a =1 20 Solução: caso geral L= 1 A A A A wa wbσ ab − λ ⋅ ∑ wa r a − r − µ ⋅ ∑ wa − 1 ∑∑ 2 a =1 b =1 a =1 a =1 [w , w ,..., w ] A carteira ótima e 1 e 2 do problema acima atende as c.p.o.: e A A ∑w σ e b ab − λ ⋅ra − µ = 0 ∀ a ≥1 b =1 A ∑w r e a A =r a ∑w e a e a =1 =1 a =1 Solução para dois ativos L= 1 2 2 w1 σ 1 + w1w2σ 12 + w2 w1σ 21 + w22σ 22 − λ ⋅ w1 r1 + w2 r 2 − r 2 − µ ⋅ [w1 + w2 − 1] ( ) A carteira ótima [w , w ] e 1 e 2 [ ] do problema acima atende as c.p.o.: 1 2 w1eσ 12 + w2eσ 12 + w2eσ 21 − λ ⋅ r 1 − µ = 0 2 ( ) 1 e w1 σ 12 + w1eσ 21 + 2 w2eσ 22 − λ ⋅ r 2 − µ = 0 2 ( ) w1e r 1 + w2e r 2 = r w1e + w2e = 1 e Teorema dos dois fundos Teorema dos dois fundos: Combinando duas carteiras eficientes quaisquer, podemos replicar todos as carteiras da fronteira de variância mínima. 1 1 1 1 1 1 Prova: Suponha duas soluções conhecidas w = [w1 , w2 ,..., wA ],λ , µ e [ ] 1 w 2 = w12 , w22 ,..., w 2A ,λ2 , µ 2 com retornos esperados r e r 2 respectivamente. Qualquer combinação linear w e = αw1 + (1 − α )w 2 satisfaz as A+2 equações: A ∑ wbeσ ab − λ ⋅ r a − µ = 0 ∀ a ≥ 1 b =1 A ∑w r e a a =1 A a =r e ∑w e a =1 a =1 21 Inclusão do ativo sem risco • Possível dividir os recursos entre ativos arriscados e seguros: • Sem risco: T-bills (proxy); • Arriscado: portfólio de ações Inclusão do ativo sem risco Exemplo: rf = 7% σf = 0% E(rP) = 15% σP = 22% y = % em P (1-y) = % em f Retorno esperado para combinações E(rC) = yE(rP) + (1 - y)rf onde: rC = carteira combinada. Por exemplo, y = .75: E(rC) = .75(.15) + .25(.07) = .13 ou 13% 22 Variância da carteira combinada Como σC = 0, então σf = y σ P* Combinações sem alavancagem • Se y = .75, então: σC = .75(.22) = .165 or 16.5% • Se y = 1: σC = 1(.22) = .22 or 22% • Se y = 0: σ C = (.22) = .00 or 0% Possíveis Combinações E(r) E(rP) = 15% E(rC) = 13% P C rf = 7% F 0 σc 22% σ 23 Usando alavancagem com a Linha de Alocação de Capital Alavancagem: pega emprestado à taxa sem risco e investe em ações. Usando 50% de alavancagem: E[rC] = (-.5) (.07) + (1.5) (.15) = .19 σC = (1.5) (.22) = .33 Possíveis Combinações E(r) LAC = Linha de Alocação de Capital E(rP) = 15% E(rC) = 13% P C rf = 7% F 0 σc σ 22% LAC (Linha de Alocação de Capital) Linha de alocação de capital: é a linha que tem origem em rf e intercepta o ponto P do portifólio arriscado. Lembrando que E [rC ] = rf + y (E [rP ] − rf ) E [rC ] = rf + σ C = yσ P ⇒ y= σC σP de: temos: σC (E[rP ] − rf ) ⇒ E[rC ] = rf + (E[rP ] − rf )σ C σP σP 24 LAC (Linha de Alocação de Capital) O retorno esperado de uma carteira como função do seu desvio padrão E[rC] = f(σC) é uma linha reta: E [rC ] = rf + (E[r ] − r ) P com inclinação S = f σP (E[r ] − r )σ P f σP C ; : E [rC ] = r f + S ⋅ σ C LAC (Linha de Alocação de Capital) E(r) P E(rc) = 15% E(rc) - rf = 8% ) S = 8/22 rf = 7% F 0 σ σc = 22% LAC Alternativas M M P P A LAC (A) LAC (P) E(r) LAC (variância mínima global) A G F P P&F M A&F σ 25 Inclusão do ativo sem risco • Se os investidores gostam de retorno e não gostam de variância, escolherão combinações na linha de maior inclinação ( rf P ). • A combinação ótima fica linear. • Uma única combinação do ativo arriscado e sem risco dominará. Teorema de um fundo: Existe um fundo P de ativos arriscados tal que qualquer carteira eficiente pode ser construída como a combinação do fundo P com o ativo sem risco O Portifólio Tangente (P (P) Como achar o ponto tangente? • O retorno esperado de uma carteira que combina a renda fixa a uma portifólio arriscado Q é dado pela linha reta: (E [rQ ]− rf )σ E [rC ] = rf + C ; σ Q com inclinação: SQ = (E [r ]− r ) Q σQ f . • O agente escolhe Q de forma a maximizar a inclinação S. 26