Determinação de medidas de variabilidade a partir de dados

Determinação de medidas de variabilidade a partir de dados
agrupados
Rinaldo Artes
Discutiremos como obter estimativas de medidas de variabilidade a partir de
dados agrupados. Admitimos que o leitor já conheça as medidas descritivas
utilizadas neste texto, deste modo, o foco estará em aspectos operacionais
ligados a obtenção dos coeficientes. Este texto é uma continuação do material
exibido no arquivo: Determinação de medidas de posição para dados agrupados.pdf. A
leitura prévia desse material é recomendada. O exemplo apresentado naquela
material é reproduzido abaixo.
Exemplo: Uma instituição financeira (IF) utiliza um indicador do grau de
endividamento para avaliar a situação de suas carteiras de empréstimo. O
indicador é calculado para cada participante da carteira e, grosseiramente,
quanto maior o valor do indicador, pior é a situação do cliente. A IF está
interessada em descrever a situação de duas carteiras distintas:
Carteira Alfa – com empréstimos concedidos em 2012 e
Carteira Beta – com empréstimos concedidos em 2013.
Para tanto, conta com uma amostra de 500 clientes de cada carteira. As
Tabelas 1 e 2 resumem os resultados desta pesquisa.
Notação:
: número de classes da tabela;
frequência absoluta (contagem) da classe ;
frequência relativa (proporção) da classe ;
frequência (relativa) acumulada da classe e
: densidade de frequência da classe , sendo
a amplitude (largura) da
classe;
1
Tabela 1: Distribuição de frequências e densidades de frequência do grau
de endividamento de clientes da carteira Alfa
Grau de Endividamento
0 |-- 5
5 |-- 10
10 |-- 15
15 |-- 20
20 |-- 30
30 |-- 50
50 |-- 75
Total
61
107
97
77
77
63
18
500
12,2
21,4
19,4
15,4
15,4
12,6
3,6
1,000
12,2
33,6
53,0
68,4
83,8
96,4
100
0,02440
0,04280
0,03880
0,03080
0,01540
0,00630
0,00144
2. Obtenção de medidas de variabilidade a partir de dados agrupados
Medidas de variabilidade também podem ser obtidas a partir de dados
agrupados. Discutiremos o cálculo do desvio-médio e variância (desviopadrão).
2.1. Desvio Médio Absoluto (
).
O desvio médio absoluto, ou simplesmente desvio médio, de um conjunto de
dados é definido por
∑
( )
|
̅|
Trata-se da distância média entre cada observação e a média aritmética dos
dados. Quanto maior a dispersão dos dados, maior será o desvio médio.
A determinação deste coeficiente para dados agrupados segue a mesma lógica
apresentada para o cálculo da média aritmética (Seção 1.1). Admitiremos que
as observações de uma classe estejam uniformemente distribuídas e assim,
∑
|
̅|
∑
|
̅|
Equivalentemente:
∑
|
̅|
∑|
̅|
∑|
̅|
2
Para a Carteira Alfa (Tabela 1), havíamos obtido ̅
. A partir disso,
apresentamos na Tabela 4 os passos para a determinação de
.
Tabela 4: Determinação do desvio médio absoluto para os dados da
Carteira Alfa.
∑
̅|
|
0 |-- 5
5 |-- 10
10 |-- 15
15 |-- 20
20 |-- 30
30 |-- 50
50 |-- 75
Total
2.2. Variância (
2,5
7,5
12,5
17,5
25,0
40,0
62,5
15,67
10,67
5,67
0,67
6,83
21,83
44,33
̅|
955,87
1141,69
549,99
51,59
525,91
1.375,29
797,94
5.398,28
5.398,28/500
= 10,80
61
107
97
77
77
63
18
500
) e Desvio Padrão (
̅|
∑|
̅|
|
Endividamento
|
|
0,122
0,214
0,194
0,154
0,154
0,126
0,036
̅|
1,91
2,28
1,10
0,10
1,05
2,75
1,60
10,80
)
A variância é uma medida de dispersão dada por
∑
(
̅)
O desvio padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada da variância.
Analogamente á Seção 2.1., podemos obter a variância por meio de
∑
(
̅)
∑
(
̅)
∑(
̅)
A Tabela 5 resume os passos para a obtenção dessa estatística a partir dos
dados da Tabela 1.
3
Tabela 5: Determinação da variância para os dados da Carteira Alfa.
∑
Endividamento
0 |-- 5
5 |-- 10
10 |-- 15
15 |-- 20
20 |-- 30
30 |-- 50
50 |-- 75
Total
(
(
̅)
2,5 245,55
7,5 113,85
12,5 32,15
17,5
0,45
25,0 46,65
40,0 476,55
62,5 1.965,15
61
107
97
77
77
63
18
500
|
̅|
14978,48
12181,83
3118,44
34,57
3591,97
30022,58
35372,68
99300,55
99.300,55/500
= 198,60
Como a variância é 198,60, o desvio-padrão é
̅)
∑(
̅)
√
|
0,122
0,214
0,194
0,154
0,154
0,126
0,036
̅|
29,96
24,36
6,24
0,07
7,18
60,05
70,75
198,60
.
4