Folha prática - Computação Numérica

Computação Científica
Folha Prática – Computação Numérica
1. Converta para a base binária, usando o método das divisões sucessivas, os seguintes números
inteiros:
a) 13
c) 192
e) 347
b) 35
d) 255
f) 513
g) 923
2. Converta para a base binária, usando os métodos das divisões sucessivas (quando necessário) e
das multiplicações sucessivas, os seguintes números reais com ponto fixo:
a) 0.5
d) 12.75
g) 75.8
j) 197
m) 266.66
b) 1.25
e) 7.5225
h) 24
k) 8.963
n) 3.8
c) 3.125
f) 4.25
i) 7.65
l) 1001
o) 0.625
3. Represente no formato com ponto flutuante normalizado da base binária os seguintes números
reais:
a) 0.1
d) 1.25
g) 7.5225
b) 0.5
e) 3.8
h) 4.25
c) 0.625
f) 12.75
i) 75.8
4. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6},
F(10, 4, -5, 6): .d1d2d3d4 x 10e.
a) Determine o maior e menor números positivos que este computador pode representar.
b) Para que números ocorre overflow e underflow ?
5. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6},
F(10, 4, -5, 6):  .d1d2d3d4 x 10e.
Determine o resultado das seguintes operações (começar por representar os valores no formato
de ponto flutuante normalizado):
a) 12.7542 + 7.5225
d) 1.25 x 3.125
b) 4.32567 + 0.00654
e) 12.7542 / 1.25
c) 75.87643 – 46.00222
6. Considere um hipotético computador com 4 dígitos, base binária (b=2) e expoente e  {-5, …, 6},
F(2, 4, -5, 6):  d1d2d3d4 x 2e.
Determine todos os valores possíveis neste computador.
7. Determinar os números decimais correspondentes às seguintes representações binárias:
a) 1110110001
Carlos Barrico
b) 10010110
c) 0.111010101
d) 101001.0101
1
Folha Prática – Computação Numérica
Computação Científica
8. Qual é o maior número (em valor absoluto) que pode ser representado com 11 dígitos binários? E
qual é o menor número (em valor absoluto), excluindo-se zero?
9. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 3 símbolos (0, 1 e 2), qual deveria ser a
base utilizada? Como seria a representação do número decimal 29?
10. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7), qual
base poderia ser utilizada? Como seria a representação do número decimal 23.
11. Converter os seguintes números decimais em binário com ponto flutuante, utilizando 8 dígitos
binários significativos: 7; 31; 65; 97; 1099; 0,1377; 265,43; 909,7463.
12. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações em binário com ponto
flutuante:
a) (1.001) x 2(0100)
b) -(1.10101) x 2(1001)
c) (1.011) x 2-(1110)
13. Suponha que um sistema de representação binária com ponto flutuante utilize 6 algarismos para
representar a mantissa de um número e 4 algarismos para representar o expoente. Qual o
número imediatamente maior que (1.01001) x 2(0001) e qual o número imediatamente menor?
Quanto valem estes números na representação decimal? Neste caso, como poderia ser
representado o número decimal 2.6?
14. Represente o número 12 em notação normalizada de 2 dígitos, base binária e intervalo dos
expoentes definido em { -4, …, 5 }, F(2, 2, -4, 5).
15. Representar o número 25 em notação normalizada de 2 dígitos, base decimal e intervalo dos
expoentes definido em { -2, …, 3 }, F(10, 2, -2, 3).
16. Converta os seguintes números em binário para decimal, usando o algoritmo de Horner:
a) 10101010
b) 10011001
c) 10111
17. Converter os seguintes números binários fracionários, usando o algoritmo de Horner modificado,
para a base decimal
a) 1011.11
c) 1011011.1101
b) 1101.111
d) (0.11 010 ) = (0.11010010010... )
18. Efetua as seguintes operações entre números binários:
2
a) 1111 + 0001
e) 110110 - 101011
i) 11001110 / 1101
b) 0001 + 0111
f) 10011 x 10011
j) 100100011 / 11101
c) 1010 + 0111
g) 1111 + 0101
k) 111000001 / 101001
d) 110110 – 101011
h) 101010 / 110
Carlos Barrico
Computação Científica
Folha Prática – Computação Numérica
19. Represente os seguintes números reais no formato com ponto flutuante (normalizado):
a) 0.00025
e) 4.25
b) 0.125
f) 75.8
c) 12.75
g) 80142.7601310
d) 7.5225
h) 11001.112
20. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(10, 2, -2, 3), determine:
a) o menor número positivo possível;
b) o maior número positivo possível;
c) As regiões de underflow e de overflow;
d) o maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que mantém o resultado
inalterado (precisão da máquina);
e) o número de elementos do sistema F.
21. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(2, 3, -1, 2), determine:
a) o menor número positivo possível e respetivas regiões de underflow;
b) o maior número positivo possível e respetivas regiões de overflow;
c) O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 mantendo o resultado inalterado
(precisão da máquina);
d) o número de elementos do sistema F.
22. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 0.7 com precisão de 6
casas decimais?
23. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 333.476 com precisão de
3 casas decimais?
24. Quantos algarismos significativos são necessários para se representar a fração 1/3 com uma
precisão de 6 casas decimais utilizando binário com ponto flutuante?
25. Quantos dígitos significativos existem em cada um dos seguintes números?
a) 00001000020000
b) 10000200003004
c) 000123.0004500
26. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de dígitos
significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando
x + y com x = 0.123 x 104 e y = 0.456 x 10-3.
Carlos Barrico
3
Folha Prática – Computação Numérica
Computação Científica
27. Para x = 0.433 x 102, y = 0.745 x 100 e z = 0.100 x 101, calcule usando aritmética de três dígitos
significativos:
a) x + y
b) y/x
c) x.z
d) Quantos dígitos significativos apresentam os resultados ?
28. Supondo que as operações abaixo são processadas numa máquina com 4 dígitos significativos e
fazendo-se:
X1 = 0.3491 x 104
X2 = 0.2345 x 100
determinar os resultados das seguintes expressões:
a) (X2 + X1) – X1
b) X2 + (X1 – X1)
c) Compare e comente os resultados obtidos.
29. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por
arredondamento simétrico, verifique que:
a) (4210 – 4.99) – 0.002 ≠ 4210 – (4.99 – 0.002)
b) (0.123 / 7.97) x 84.9 ≠ (0.123 x 84.9) / 7.97
c) 15.9 x (4.99 + 0.02) ≠ (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02)
30. Considere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represente nesse sistema, os seguintes números de modo
que eles estejam normalizados:
a) 0.35
c) 5391.3
b) 0.0123
d) 0.0003
31. Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER) das seguintes aproximações:
a) X = 231.29 e fl(X) = 232.04
c) X = 12.329 e fl(X) = 12.331
b) X = 0.5682 e fl(X) = 0.5701
d) X = 0.397682 e fl(X) = 0.396965
32. Arredonde cada um dos seguintes números a cinco dígitos significativos:
a) 0123.395
b) 0123.205
c) 0123.206
33. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no
sistema F(10, 4, -98, 99):
4
a) 0.333333
c) 0.348446
b) 0.123952
d) 0.666...
Carlos Barrico
Computação Científica
Folha Prática – Computação Numérica
34. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no
sistema F(6, 4, -2, 3):
a) 0.0055555
d) 0.055555
b) 1345.15
e) 13.053
c) 0.000123425
35. Dada a quantidade X =
(
)
1
3
3
+
− , realize os seguintes cálculos
3 11
20
a) Determine o valor exato de X com cinco dígitos significativos
b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo arredondamento por defeito (corte do
número)
c) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos com arredondamento simétrico
d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual nas aproximações obtidas nas
alíneas b) e c).
36. Seja m = (1/2)b1-n é a unidade de erro de arredondamento de um sistema de ponto flutuante
F(b, p, emin, emax).
a) Qual é o valor em F de 1 + m ?
b) Qual o menor número positivo e, de F, tal que 1 + e > 1 ?
37. Calcular um limite superior para o erro de truncatura quando se usa 1 – (x 2/2) para aproximar
cos(x) para x  [0.0, 0.1].
38. Considere o seguinte integral:
1
4∫
1
2
0 1+x
dx
a) Calcule aproximações para o integral anterior, usando a regra
b
∫ f ( x)dx
a
n−1
= h
∑ f (x i) + R, com R
= (h/2)(b−a)f '(),
∈[a ,b ].
i=0
Selecione h = 1/n (n = 1, 2, 4, 8, …, 1024).
b) Conhecido o valor exato do integral determine o erro em cada aproximação.
c) Obtenha um limite superior para o erro de truncatura em cada passo.
d) Obtenha estimativas para o erro devido a arredondamentos (calculando a diferença entre
os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comente
sobre a dominância de cada erro quando n cresce.
39. Escreva aproximações com seis dígitos significativos para os números
a) 1/11
Carlos Barrico
b) √(2)
c) e3
5
Folha Prática – Computação Numérica
Computação Científica
40. Obtenha os erros absolutos, erros relativos e percentagem de erros das aproximações
a) √(3)  1.73
b)
1
 0.166667
6
c) π  3.1416
41. A Agência Nacional do Petróleo efetuou verificações em bombas de postos de gasolina, obtendo
como resultado a tabela apresentada abaixo. Qual dos postos está a enganar o consumidor em
maior proporção?
Posto
Quantidade de gasolina
efetivamente dispensada
Quantidade de gasolina
medida pela bomba
Shill
9,90
10,00
Bri
19,90
20,00
Texis
29,80
30,00
Ipiris
29,95
30,00
42. Se A = 3.56 ± 0.05 e B =3.25 ± 0.04, em que intervalo se encontra o resultado de A + B
43. A fórmula para calcular a tensão normal em uma barra longitudinal é dada por ∈ = F/AE, onde F
= força normal aplicada, A = área da barra e E = módulo de Young. Se F = 50 ± 0.5N, A = 0.2 ±
0.002 m2 e E = 210 x 109 ± 1 × 109 Pa, qual é o maior erro na medida da tensão?
44. Caso se queira especificar um número m para o mínimo de dígitos significativos corretos de um
determinado resultado, então o valor do erro aproximado relativo deve ser |∈a| ≤ 0.5 x 102−m%.
Por outro lado, dado o valor para |∈a|, o número mínimo de dígitos corretos é dado por
m ≤ 2 − log(∣ ∈a∣/0.5). Responda:
a) O erro aproximado relativo no cálculo da raiz de uma equação é 0,004%. Qual o número
mínimo de dígitos corretos da solução?
b) Qual o menor erro aproximado relativo para obtermos uma solução com 6 dígitos corretos?
45. No cálculo do volume de um cubo com lado de 5cm, a incerteza na medição de cada lado é de
10%. Qual o erro relativo máximo na medida do volume do cubo?
46. Considere o cálculo de f'(2) para a função f(x) = x 2 utilizando f'(x) = (f(x + h) − f(x)) / h.
Responda:
a) Qual o erro se utilizarmos h = 0.2 ?
b) Qual o valor de h para que tenhamos pelo menos 3 dígitos corretos na solução ?
6
Carlos Barrico