Programação 2006/07

Computação Científica
Folha Prática - Representação de Números e Erros
1. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto fixo:
a) 24
b) 197
c) 1001
d) 7,65
e) 8,963
f) 266,66
2. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações binárias:
a) 1110110001
b) 10010110
c) 0,111010101
d) 101001,0101
3. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 0,7 com
precisão de 6 casas decimais?
4. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 333,476 com precisão de 3
casas decimais?
5. Qual é o maior número (em módulo) que pode ser representado com 11 dígitos binários? E qual é
o menor número (em módulo), excluindo-se zero?
6. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 3 símbolos (0, 1 e 2), qual deveria ser a
base utilizada? Como seria a representação do número decimal 29?
7. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7), qual
base poderia ser utilizada? Como seria a representação do número decimal 23.
8. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto flutuante, utilizando 8 dígitos
binários significativos: 7; 31; 65; 97; 1099; 0,1377; 265,43; 909,7463.
9. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações em binário com ponto
flutuante:
a) (1,001) x 2(0100)
b) -(1,10101) x 2(1001)
c) (1,011) x 2-(1110)
10. Quantos algarismos significativos são necessários para se representar a fração 1/3 com uma
precisão de 6 casas decimais utilizando binário com ponto flutuante?
11. Suponha que um sistema de representação binária com ponto flutuante utilize 6 algarismos para
representar a mantissa de um número e 4 algarismos para representar o expoente. Qual o
número imediatamente maior que (1,01001) x 2(0001) e qual o número imediatamente menor?
Quanto valem estes números na representação decimal? Neste caso, como poderia ser
representado o número decimal 2,6?
12. Converta para a base binária, usando o método das divisões sucessivas, os seguintes números
inteiros:
a) 13
c) 192
e) 347
b) 35
d) 255
f) 513
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g) 923
1
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13. Converta para a base binária, usando os processos das divisões sucessivas (quando necessário) e
das multiplicações sucessivas, os seguintes números reais com ponto fixo:
a) 0.5
c) 3.125
e) 7.5225
b) 1.25
d) 12.75
f) 4.25
g) 75.8
14. Represente no formato com ponto flutuante normalizado da base binária os seguintes números
reais:
a) 0.1
d) 1.25
g) 7.5225
b) 0.5
e) 3.8
h) 4.25
c) 0.625
f) 12.75
i) 75.8
15. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6},
F(10, 4, -5, 6): .d1d2d3d4 x 10e.
a) Determine o maior e menor números positivos que este computador pode representar.
b) Para que números ocorre overflow e underflow ?
16. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6},
F(10, 4, -5, 6):  .d1d2d3d4 x 10e.
Determine o resultado das seguintes operações (começar por representar os valores no formato
de ponto flutuante normalizado):
a) 12.7542 + 7.5225
d) 1.25 x 3.125
b) 4.32567 + 0.00654
e) 12.7542 / 1.25
c) 75.87643 – 46.00222
17. Considere um hipotético computador com 4 dígitos, base binária (b=2) e expoente e  {-5, …,
6}, F(2, 4, -5, 6):  d1d2d3d4 x 2e.
Determine todos os valores possíveis neste computador.
18. Represente o número 12 em notação normalizada de 2 dígitos, base binária e intervalo dos
expoentes definido em { -4, …, 5 }, F(2, 2, -4, 5).
19. Representar o número 25 em notação normalizada de 2 dígitos, base decimal e intervalo dos
expoentes definido em { -2, …, 3 }, F(10, 2, -2, 3).
20. Converta os seguintes números em binário para decimal, usando o algoritmo de Horner:
a) 10101010
b) 10011001
c) 10111
21. Converter os seguintes números binários fracionários, usando o algoritmo de Horner modificado,
para a base decimal
2
a) 1011.11
c) 1011011.1101
b) 1101.111
d) (0.11 010 ) = (0.11010010010... )
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22. Efetua as seguintes operações entre números binários:
a) 1111 + 0001
e) 110110 - 101011
i) 11001110 / 1101
b) 0001 + 0111
f) 10011 x 10011
j) 100100011 / 11101
c) 1010 + 0111
g) 1111 + 0101
k) 111000001 / 101001
d) 110110 – 101011
h) 101010 / 110
23. Represente os seguintes números reais no formato de ponto flutuante (normalizado):
a) 0.00025
e) 4.25
b) 0.125
f) 75.8
c) 12.75
g) 80142.7601310
d) 7.5225
h) 11001.112
24. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(10, 2, -2, 3), determine:
a) o menor número positivo possível;
b) o maior número positivo possível;
c) As regiões de underflow e de overflow;
d) o maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que mantém o resultado
inalterado (precisão da máquina);
e) o número de elementos do sistema F.
25. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(2, 3, -1, 2), determine:
a) o menor número positivo possível e respetivas regiões de underflow;
b) o maior número positivo possível e respetivas regiões de overflow;
c) O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 mantendo o resultado inalterado
(precisão da máquina);
d) o número de elementos do sistema F.
26. Quantos dígitos significativos existem em cada um dos seguintes números?
a) 00001000020000
b) 10000200003004
c) 000123.0004500
27. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de dígitos
significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando
x + y com x = 0.123 x 104 e y = 0.456 x 10-3.
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28. Para x = 0.433 x 102, y = 0.745 x 100 e z = 0.100 x 101, calcule usando aritmética de três dígitos
significativos:
a) x + y
b) y/x
c) x.z
d) Quantos dígitos significativos apresentam os resultados ?
29. Supondo que as operações abaixo são processadas numa máquina com 4 dígitos significativos e
fazendo-se:
X1 = 0.3491 x 104
X2 = 0.2345 x 100
determinar os resultados das seguintes expressões:
a) (X2 + X1) – X1
b) X2 + (X1 – X1)
c) Compare e comente os resultados obtidos.
30. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por
arredondamento simétrico, verifique que:
a) (4210 – 4.99) – 0.002 ≠ 4210 – (4.99 – 0.002)
b) (0.123 / 7.97) x 84.9 ≠ (0.123 x 84.9) / 7.97
c) 15.9 x (4.99 + 0.02) ≠ (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02)
31. Considere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represente nesse sistema, os seguintes números de modo
que eles estejam normalizados:
a) 0.35
c) 5391.3
b) 0.0123
d) 0.0003
32. Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER) das seguintes aproximações:
a) X = 231.29 e fl(X) = 232.04
c) X = 12.329 e fl(X) = 12.331
b) X = 0.5682 e fl(X) = 0.5701
d) X = 0.397682 e fl(X) = 0.396965
33. Arredonde cada um dos seguintes números a cinco dígitos significativos:
a) 0123.395
b) 0123.205
c) 0123.206
34. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no
sistema F(10, 4, -98, 99):
4
a) 0.333333
c) 0.348446
b) 0.123952
d) 0.666...
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35. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no
sistema F(6, 4, -2, 3):
a) 0.0055555
d) 0.055555
b) 1345.15
e) 13.053
c) 0.000123425
36. Dada a quantidade X =
(
)
1
3
3
+
− , realize os seguintes cálculos
3 11
20
a) Determine o valor exato de X com cinco dígitos significativos
b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo arredondamento por defeito (corte do
número)
c) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos com arredondamento simétrico
d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual nas aproximações obtidas nas
alíneas b) e c).
37. Seja m = (1/2)b1-n é a unidade de erro de arredondamento de um sistema de ponto flutuante
F(b, p, emin, emax).
a) Qual é o valor em F de 1 + m ?
b) Qual o menor número positivo e, de F, tal que 1 + e > 1 ?
38. Calcular um limite superior para o erro de truncatura quando se usa 1 – (x 2/2) para aproximar
cos(x) para x  [0.0, 0.1].
39. Considere o seguinte integral:
1
4∫
1
2
0 1+x
dx
a) Calcule aproximações para o integral anterior, usando a regra
b
∫ f ( x)dx
a
n−1
= h
∑ f (x i) + R, com R
= (h/2)(b−a)f '(),
∈[a ,b ].
i=0
Selecione h = 1/n (n = 1, 2, 4, 8, …, 1024).
b) Conhecido o valor exato do integral determine o erro em cada aproximação.
c) Obtenha um limite superior para o erro de truncatura em cada passo.
d) Obtenha estimativas para o erro devido a arredondamentos (calculando a diferença entre
os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comente
sobre a dominância de cada erro quando n cresce.
40. Escreva aproximações com seis dígitos significativos para os números
a) 1/11
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b) √(2)
c) e3
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41. Obtenha os erros absolutos, erros relativos e percentagem de erros das aproximações
a) √(3)  1.73
b)
1
 0.166667
6
c) π  3.1416
42. A Agência Nacional do Petróleo efetuou verificações em bombas de postos de gasolina, obtendo
como resultado a tabela apresentada abaixo. Qual dos postos está a enganar o consumidor em
maior proporção?
Posto
Quantidade de gasolina
efetivamente dispensada
Quantidade de gasolina
medida pela bomba
Shill
9,90
10,00
Bri
19,90
20,00
Texis
29,80
30,00
Ipiris
29,95
30,00
43. Se A = 3.56 ± 0.05 e B =3.25 ± 0.04, em que intervalo se encontra o resultado de A + B
44. A fórmula para calcular a tensão normal em uma barra longitudinal é dada por ∈ = F/AE, onde F
= força normal aplicada, A = área da barra e E = módulo de Young. Se F = 50 ± 0.5N, A = 0.2 ±
0.002 m2 e E = 210 x 109 ± 1 × 109 Pa, qual é o maior erro na medida da tensão?
45. Caso se queira especificar um número m para o mínimo de dígitos significativos corretos de um
determinado resultado, então o valor do erro aproximado relativo deve ser |∈a| ≤ 0.5 x 102−m%.
Por outro lado, dado o valor para |∈a|, o número mínimo de dígitos corretos é dado por
m ≤ 2 − log(∣ ∈a∣/0.5). Responda:
a) O erro aproximado relativo no cálculo da raiz de uma equação é 0,004%. Qual o número
mínimo de dígitos corretos da solução?
b) Qual o menor erro aproximado relativo para obtermos uma solução com 6 dígitos corretos?
46. No cálculo do volume de um cubo com lado de 5cm, a incerteza na medição de cada lado é de
10%. Qual o erro relativo máximo na medida do volume do cubo?
47. Considere o cálculo de f'(2) para a função f(x) = x 2 utilizando f'(x) = (f(x + h) − f(x)) / h.
Responda:
a) Qual o erro se utilizarmos h = 0.2 ?
b) Qual o valor de h para que tenhamos pelo menos 3 dígitos corretos na solução ?
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