Lista 3

Lista 3 - Teoria de Anéis - 2014
Professor: Marcelo Muniz Alves
Data: 1/09/2014
Nesta lista, salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade.
1. (mdc e mmc) Sejam a, b números inteiros positivos. Acrescentando expoentes nulos se necessário,
podemos “fatorar” ambos com os mesmos primos:
a = pα1 1 pα2 2 · · · pαnn
b = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβnn
com p1 , . . . , pn primos distintos, αi ≥ 0 e βi ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n. Por exemplo, para a = 280
e b = 234 escrevemos 280 = 23 · 30 · 51 · 71 · 130 e 234 = 21 · 32 · 50 · 70 · 131 .
(a) Mostre que os divisores comuns (positivos) de a e b são da forma
c = pr11 pr22 · · · prnn
com 0 ≤ ri ≤ mi , onde mi = min{αi , βi }.
(b) Conclua que o mdc de a e b é
mn
2
d = p1m1 pm
2 · · · pn
(c) Fazendo um raciocı́nio análogo, prove que o mmc é
M
Mn
1 M2
= pM
1 p2 · · · pn
onde Mi = max{αi , βi }.
(d) Conclua que ab = mdc(a, b) mmc(a, b).
2. Usando os anéis Zm de inteiros módulo m, dê exemplos de anéis que
(a) possuem divisores de zero.
(b) possuem elementos nilpotentes além do zero (um elemento é nilpotente se existe n > 0 tal
que an = 0).
(c) possuem divisores de zero e elementos invertı́veis (além da unidade).
3. Seja m um inteiro positivo. Mostre que se a 6= 0 em Zm então ou a é invertı́vel, ou é divisor de
zero.
4. Mostre que a aplicação
ϕ ::
√
Q( m) → M
2 (Q) √
a mb
a + b m 7→
b a
√
é um isomorfismo sobre sua imagem. Em particular, isso mostra que Q( m) é isomorfo a um
corpo de matrizes cujas entradas são números racionais.
5. Mostre que a aplicação
f : Z[i] → Z5
a + bi 7→ a + 3b
é um homomorfismo sobrejetor. Mostre que seu núcleo é o ideal h3 + ii.
Para provar esta última afirmação, primeiro encontre expressões explı́citas para os elementos
a + bi que estão no núcleo, e depois verifique que todas as soluções são mĺtiplas de 3 + i.
6. Sejam m, n inteiros positivos.
(a) Mostre que se existe um homomorfismo de Zm em Zn , ele é único.
(b) Mostre que se n divide m então existe um homomorfismo de Zm em Zn (que é sobrejetor).
sugestão: o problema é provar que a aplicação está bem definida.
(c) Reciprocamente, mostre que se existe um homomorfismo de Zm em Zn então n divide m.
7. Mostre que a aplicação
ϕ:
Z2 × Z3 → Z6
([a]2 , [b]3 ) 7→ [3a − 2b]6
é um isomorfismo de anéis (onde representamos a classe do inteiro a módulo m por [a]m ).
Este isomorfismo surpreendente vem do Teorema Chinês dos Restos de teoria de números.
8. Sejam A, B anéis e ϕ : A → B um homomorfismo.
(a) Suponha que Z é subanel de ambos. Mostre que ϕ(m) = m para cada m ∈ Z.
Sugestão: por definição, ϕ(1) = 1. Prossiga por indução para mostrar que ϕ(m) = m para
todo m ∈ N, e depois complete a prova para os inteiros usando o fato que ϕ(−a) = −ϕ(a).
(b) Suponha que Q é subanel de A e B. Mostre que ϕ(m/n) = m/n para cada m/n ∈ Q.
Sugestão: o resultado já vale para inteiros. Para prosseguir, prove primeiro que ϕ(1/n) =
1/n (e lembre que 1/n é o inverso de n).
9. Sejam A e B anéis, sejam a0 , a1 , . . . , an ∈ A, α ∈ A, e suponha que a0 + a1 α + · · · + an αn = 0.
Mostre que se ϕ : A → B é um homomorfismo então
ϕ(a0 ) + ϕ(a1 )ϕ(α) + · · · + ϕ(an )ϕ(α)n = 0.
10. (conjugação)
(a) Mostre que a conjugação complexa é um homomorfismo bijetor de C em C.
√
√
(b) Seja m um inteiro positivo que não é quadrado perfeito e seja Q( m) = {a+b m; a, b ∈ Q}.
Mostre que a “conjugação”
√
√
σ : Q( m) → Q( m)
√
√
a + b m 7→ a − b m
é um isomorfismo.
√
(c) Mostre que os únicos homomorfismos de Q( m) em si mesmo são a identidade e a aplicação
σ do item 10b.
sugestão: exercı́cios 8 e 9.
√
√
(d) Mostre que não existe homomorfismo de Q( 2) em Q( 3).
sugestão: exercı́cios 8 e 9.
√
√
(e) Generalize o último item para homomorfismos de Q( m) em Q( n).
11. Seja ϕ : A → B um homomorfismo. Nos itens abaixo, determine se a afirmação é verdadeira ou
falsa; se for verdadeira, prove, e se for falsa, dê um contraexemplo.
(a) Se a ∈ A tem inverso em A então ϕ(a) tem inverso em B.
(b) Se ϕ(a) tem inverso em B então a tem inverso em A.
(c) Se a ∈ A é nilpotente então ϕ(a) ∈ B é nilpotente (dizemos que a é nilpotente se existe
n > 0 tal que an = 0).
(d) Se ϕ(a) ∈ A é nilpotente então a ∈ A é nilpotente.
(e) Se A tem divisores de zero então B tem divisores de zero.
(f) Se B tem divisores de zero então A tem divisores de zero.
(g) Se A é domı́nio de integridade então B também é.
(h) Se B é domı́nio de integridade então A também é.
12. Discuta os mesmos itens do exercı́cio anterior supondo agora que ϕ é um isomorfismo.
sugestão: lembre que agora você tem ϕ−1 : B → A, que também é um homomorfismo.
13. Use os exercı́cios 9, 11 e 12 para provar que os anéis abaixo não são isomorfos.
(a) Z3 × Z3 e Z9 .
(b) Z e Q.
√
(c) Z[i] e Z[ 2].
Problemas
14. (corpo de 4 elementos) O corpo F4 é o conjunto F4 = {a + bα; a, b ∈ Z2 } com soma feita
“coordenada a coordenada”, e produto definido pela equação α2 = 1 + α. Este anel não é igual
a Z4 (não é nem isomorfo a Z4 ; por quê?)
√
Usando o que foi feito para Q( m), encontre uma bijeção de F4 com um conjunto B de matrizes
2 × 2 com entradas em Z2 . Mostre que B é subanel comutativo do anel de matrizes M2 (Z2 ), e
mostre ainda que B é um corpo (faça as contas diretamente com as matrizes, sem fazer referência
a F4 ).
15. Mostre que existe um homomorfismo f : Z[i] → Zm se e somente se existe α ∈ Zm tal que
α2 = −1.
(Sabe-se que −1 é um quadrado em Zp (p primo) se e somente se p ≡ 1 mod 4; portanto,
existem infinitos exemplos de homomorfismos como o do exercicio 5).
16. Dizemos que uma propriedade é preservada por isomorfismos se, toda vez que ela vale em um
anel, vale em todo anel isomorfo a ele. Decida quais das propriedades abaixo são preservadas
por isomorfismos.
(a) A tem divisores de zero.
(b) A é subanel de R.
(c) A é um anel de matrizes.
(d) O número de elementos de A, quando A é finito.
(e) A tem elementos nilpotentes diferentes de zero (um elemento a ∈ A é nilpotente se existe
n positivo tal que an = 0).
(f) A é um corpo.
(g) A é um domı́nio de integridade.
17. (Anéis sem unidade) Neste exercı́cio você mostrará que todo anel sem unidade pode ser identificado com um ideal de um anel com unidade.
(a) Seja A um anel comutativo sem unidade. Seja B = A × Z com as seguintes operações:
(a, m) + (b, n) = (a + b, m + n)
(a, m)(b, n) = (ab + na + mb, mn)
Note que a operação de soma é a usual em A × Z mas o produto é bem diferente.
Como a operação de soma é a mesma definida para o produto de anéis, os 4 primeiros
axiomas de anel, que só dizem respeito à soma, estão satisfeitos.
Prove que o produto é associativo, distributivo, comutativo, e que (0, 1) é a unidade de B.
(b) Mostre que a aplicação f : A → B que leva a ∈ A em (a, 0) ∈ B é injetora, e preserva soma
e produto. Dizemos que f é um homomorfismo de anéis sem unidade.
(c) Mostre que A′ = A × {0} ⊂ B é um ideal de B. Deste modo prova-se que, a menos de
aplicar um isomorfismo, todo anel sem unidade é um ideal de um anel com unidade.
18. Considere os ideais de Z como anéis sem unidade.
(a) Sejam n, m inteiros não-nulos. Mostre que existe bijeção de nZ em mZ que preserva a
soma.
(b) Por outro lado, mostre que se n 6= m então não existe isomorfismo de anéis sem unidade
de nZ em mZ.
19. Uma função contı́nua f : R → R tem suporte compacto se existe um intervalo fechado I = [a, b]
tal que f (x) = 0 se x ∈
/ I (a e b dependem da função). Funções deste tipo aparecem em
problemas de equações diferenciais, por exemplo, e também em geometria diferencial.
(a) Sendo a < b, verifique que a função f : R → R definida por f (x) = (x − a)(b − x) para
a ≤ x ≤ b e f (x) = 0 para os outros pontos é uma função contı́nua com suporte compacto,
e que é positiva em (a, b).
(b) Mostre que o conjunto A das funções contı́nuas de suporte compacto satisfaz as condições de
ser subanel do anel de funções contı́nuas, com exceção da propriedade de conter a unidade
(que é a função constante igual a 1).
(c) Verifique que o conjunto A = {f + c; f ∈ A, c ∈ R} é um subanel (com unidade) de C(R).
(d) Mostre que A é isomorfo ao anel obtido em A × R com as mesmas fórmulas do item 17a.
(Podemos trabalhar com R no lugar de Z porque sabemos que podemos multiplicar elementos de A por elementos de R).