Lista IV – Primalidade, equações diofantinas

Álgebra I
2015-1
IM-UFRJ
Bacharelado
Lista IV – Primalidade, equações diofantinas
Decomposição em primos
1. Utilize a decomposição em fatores primos para determinar o mdc e o mmc entre 756 e 1764.
2. Quais são os menores número positivos n e m tais que n×756 e m×1764 seja um quadrado?
3. Qual é o número de divisores de 15015?
4. Qual é o menor inteiro tendo 10 divisores?
5. Mostre que por todos p, q primos com p > q ≥ 5, (p2 − q 2 ) é múltiplo de 24.
6. Seja n um inteiro positivo. Prove que:
a) Se n > 4 não é primo, então n|(n − 1)!
b) Se 2n − 1 é primo então n é primo.
c) Todo inteiro da forma n4 + 4, com n > 1 é composto.
d) Todo inteiro da forma 3n + 2 tem um fator primo dessa forma.
e) O único primo da forma n3 − 1 é 7.
7. No sistema de numeração na base 10 consideramos o número 3x4y.
a) Determina x e y pra que esse número seja divisível por 36.
b) Sejam a, b, c os três números divisíveis por 36 obtidos na questão anterior. Determine os
menores números m, n e p tais que: ma, nb e pc sejam quadrados.
Primalidade
8. Prove que 4k + 3 e 5k + 4 são primos entre sí para todo k ∈ Z.
9. Determine todos os números inteiros n e a que verificam a relação n = a3 − a.
10. Sejam a e b inteiros tais que mdc(a, b) = p, p primo. Calcule mdc(a2 , b) e mdc(a2 , b2 ).
11. Determine a maior potência de 14 que divide 100!
12. Determine todos os primos que dividem 50!
13. Demonstre que existem infinitos primos da forma 4n + 3, n ∈ N.
14. Mostre as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas:
1
a) ∀n ∈ Z, se 27|(3.599 .n) então 27|n
b) ∀n ∈ Z, se 12|(3.599 .n) então 4|n
c) Se a e b são inteiros tais que existem λ e µ ∈ Z tais que aλ + bµ = 3 então mdc(a, b) = 1
ou 3.
15. Seja p um inteiro natural primo.
p
1. a) Demonstre que se k é um inteiro natural tal que 1 ≤ k ≤ p − 1, o número
é divisível
k
por p.
b) Deduza que ∀n ∈ N, o número (n + 1)p − np − 1 é divisível por p.
2. Demostre por indução completa que ∀n ∈ N, o número np − n é divisível por p.
3. Por quais valores de n temos: np−1 − 1 divisível por p?
Equações diofantinas (do 1° grau)
16. Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 16 e 27 quando dividido respectivamente por 39 e 56.
17. Consideramos a equação: 8x − 5y = 1.
1. a) Determine um par (x0 , y0 ) de inteiros solução da equação.
b) Resolve a equação em Z.
2. Um inteiro positivo n, dividido por 8, dá por resto 1. Esse mesmo número dividido por 5,
dá por resto 2.
a) Qual resto obtemos se dividimos esse números por 40 = (8 × 5)?
b) Ache n sabendo 3960 < n < 4000.
18. Determine se as equações diofantinas possuem soluções:
a) 31x + 7y = 2
b) 7x + 19y = 1921
c) 91x + 221y = 1079
d) 31x + 7y = t,
t∈Z
e) 7293x + 364y = 4732
19. Determinar todas as soluções das equações diofantinas do exercício acima e determinar
todas as soluções x0 e y0 das equações tais que x0 ≥ 0 e y0 ≥ 0.
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