Volume por Fatiamento e Rotação em torno de um Eixo Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP [email protected] Volume por Fatiamento Objetivo: Determinar o volume de um sólido usando fatiamento: a secção transversal do sólido em cada ponto x no intervalo [a, b] é uma região R(x) cuja área será A(x). Volume por fatiamento: Idéia e Definição Idéia: Se A(x) for uma função contı́nua de x, podemos usá-la para calcular o volume do sólido. Procedimento: • dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x; • fatiar o sólido em cada ponto determinado pelos subintervalos; • cada fatia cilı́ndrica tem volume aproximado de: Vk = área da base × altura = A(xk ) × ∆x • o volume total será: VSol. ∼ = n X A(xk ) · ∆x k=1 Tomando n → ∞, temos: Definição: O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b, cuja área da secção transversal por x é dada por A(x): Z b V = A(x) dx a Volume por fatiamento: Exemplo Exemplo (1): Determine o volume do sólido que situa-se entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = 0, e x = 4. As secções transversais perpendiculares ao eixo x são discos circulares cujas diagonais vão da parábola y = x2 à parábola y = 2 − x2. Volume por fatiamento: Exemplo (2) Teorema de Cavalieri: Sólidos com mesma altura e com área de secções transversais iguais em cada altura têm o mesmo volume. Exemplo (2): Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45◦ no centro do cilindro. Determine o volume da cunha. Sólidos de Revolução Conceito: São obtidos pela revolução de curvas planas em torno de um eixo. Neste caso, A(x) será uma circunferência: 2 A(x) = π (R(x)) √ Exemplo (3): Girando a curva y = x, com x ∈ [0, 4], em torno do eixo-x, temos: Sólidos de Revolução – Em torno da reta y Exemplo (4): Determine o volume do sólido obtido com √ a rotação, em torno da reta y = 1 da região limitada por y = x e pelas retas y = 1 e x = 4. Sólidos de Revolução – Em torno do eixo y Exemplo (5): Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva 2 x = , 1 ≤ y ≤ 4. y Sólidos de Revolução – Eixo vertical Exemplo (6): Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3, da região compreendida entre a parábola x = y 2 + 1 e a reta x = 3. Sólidos de Revolução – Secções Transversais em Forma de Arruela (em torno do eixo x) Idéia: Rotação de uma região limitada entre duas curvas: R(x) – raio externos e r(x) – raio interno. Assim: 2 2 2 2 A(x) = π [R(x)] − π [r(x)] = π [R(x)] − [r(x)] Exemplo (7): A região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Sólidos de Revolução – Secções Transversais em Forma de Arruela (em torno do eixo x) Sólidos de Revolução – Secções Transversais em Forma de Arruela (em torno do eixo y) Exemplo (8): A região compreendida entre a parábola y = x2 e pela reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Exercı́cios Propostos Thomas: Páginas 405 à 410, exercı́cios de 1 à 58.