O logarítmo e aplicações da integral Aula 31 - ICMC

O logarı́tmo e a exponencial
Volume de Sólido de Revolução
O logarı́tmo e aplicações da integral
Aula 31
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
27 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
O logarı́tmo e a exponencial
Volume de Sólido de Revolução
O logarı́tmo e a exponencial
Agora vamos dar uma definição precisa de logarı́timo (sem usar a
exponenciação). A seguir utilizamos o logarı́timo para definir a
exponencial.
Definição
A função logarı́tmo natural é uma função definida por
Z x
1
dt,
x > 0.
ln x =
1 t
Observação: A função ln x está bem definida pois a integral de
uma função contı́nua sempre existe.
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O logarı́tmo e a exponencial
Volume de Sólido de Revolução
Propriedades do logarı́tmo.
(a) ln 1 = 0,
1
(b) ln′ x = para todo x > 0,
x
(c) ln(ab) = ln a + ln b, para todo a, b > 0,
a
(d) ln
= ln a − ln b, para todo a, b > 0,
b
(e) ln(ar ) = r ln a para todo a > 0 e r racional.
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O logarı́tmo e a exponencial
Volume de Sólido de Revolução
Gráfico do logarı́tmo. Como a derivada de ln x é sempre positiva,
o logarı́tmo é crescente e como a derivada segunda é sempre
negativa, ln′′ (x) = −1/x 2 , o logarı́tmo tem convavidade para
abaixo em (0, +∞).
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Volume de Sólido de Revolução
Calculemos seus limites. Utilizando a propriedade (e) com a = 2 e
r = n, onde n ∈ N, temos que ln(2n ) = n ln 2. Portanto
ln(2n ) → +∞ quando n → +∞. Mas, como ln x é crescente,
temos que
lim ln x = +∞.
x→+∞
Por outro lado, fazendo t = 1/x, então t → +∞ quando x → 0+ .
Portanto,
1
lim+ ln x = lim ln
= lim − ln t = −∞.
t→+∞
t→+∞
t
x→0
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Volume de Sólido de Revolução
Como ln 1 = 0, lim ln x = +∞ e ln x é uma função contı́nua
x→+∞
crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número
onde ln x assume o valor 1. Esse número é denotado por e.
Definição
Denotamos por e o número tal que ln e = 1.
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Esta definição é consistente com a definição do número e como
um limite.
Provemos que
lim (1 + x)1/x = e.
x→0
Seja f (x) = ln x. Então f ′ (1) = 1 e pela definição de derivada
ln(1 + x)
f (1 + x) − f (1)
= lim
x→0
x
x
= lim ln(1 + x)1/x = ln lim (1 + x)1/x ,
1 = f ′ (1) = lim
x→0
x→0
x→0
pois a função ln é contı́nua. Assim,
lim (1 + x)1/x = e.
x→0
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Volume de Sólido de Revolução
Definimos e x : R → (0, ∞) por e x = ln−1 (x).
Como ln(e x e y ) = ln(e x ) + ln(e y ) = x + y = ln(e x+y ) temos que
e x+y = e x e y , para todo x, y ∈ R.
Como ln′ (x) = 1/x temos que (e x )′ = e x . De fato
ln(ln−1 (x)) = x temos que
ln′ (ln−1 (x))(ln−1 )′ (x) =
(ln−1 )′ (x)
=1 e
ln−1 (x)
(e x )′ = e x .
Definimos loga x = ln(x)/ln(a) e ax = (loga )−1 x e ax = y implica
que x = loga (y ) = ln(y )/ln(a) e ax = y = e xln(a)
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Secções Transversais
Volume de Sólido de Revolução
Seja S um sólido qualquer. Interceptamos S com um plano e
obtemos uma região plana que é chamada de secção transversal
de S. Seja A(x) a área de secção transversal perpendicular ao eixo
x e passando pelo ponto x, onde a ≤ x ≤ b. Seja P = (xi ) uma
partição de [a, b].
Vamos dividir S em n fatias usando os planos Px1 , · · · , Pxn−1 .
Escolhemos pontos ci ∈ [xi −1 , xi ] e aproximamos a i-ésima fatia Si
por um cilindro com área de base A(ci ) e altura ∆xi .
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Secções Transversais
O volume deste cilindro é A(ci )∆xi ; assim, uma aproximação para
o volume da i-ésima fatia Si é
V (Si ) ≈ A(ci )∆xi .
Somando os volumes destas fatias obtemos uma aproximação para
o volume total
n
X
A(ci )∆xi .
V ≈
i =1
Fazendo kPk = max ∆xi → 0, esta aproximação parece melhorar.
1≤i ≤n
Portanto, definimos o volume do sólido S por
V = lim
kPk→0
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n
X
A(ci )∆xi =
i =1
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Z
b
A(x) dx.
a
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Secções Transversais
Em particular, se S é o conjunto obtido por rotação, em torno do
eixo x, do conjunto
A = {(x, y ) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)},
então
A(x) = π[f (x)]2 .
Portanto, o volume do sólido S obtido por rotação, em torno
do eixo x, do conjunto A é
V =π
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Z
b
[f (x)]2 dx.
a
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Secções Transversais
Exemplo
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
√
x da região sob a curva y = x de 0 até 4.
Quando fatiamos através do ponto x, obtemos um disco com raio
√
x. A área desta secção transversal é
√
A(x) = π( x)2 = πx.
Portanto, o volume do sólido é
Z
Z 4
A(x) dx = π
V =
0
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4
0
x 2 4
x dx = π = 8π.
2 0
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Secções Transversais
Para determinar o volume de um sólido obtido com a rotação, em
torno do eixo y , de uma região compreendida entre o eixo y e uma
curva x = R(y ), c ≤ y ≤ d, usamos o método com x substituı́do
por y . Nesse caso, a secção transversal circular é
2
A(y ) = π[R(y )]
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e o volume
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V =
Z
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d
A(y ) dy .
c
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Secções Transversais
Exemplo
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
y , da região compreendida entre o eixo y e a curva
2
x = , 1 ≤ y ≤ 4.
y
O volume é
Z 4 2
Z 4
2
1 4
A(y ) dy = π
V =
= 3π.
dy = 4π −
y
y 1
1
1
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Secções Transversais
Exemplo
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
x , do conjunto
1
A = (x, y ) ∈ R2 ;
≤y ≤x, 1≤x ≤2 .
x
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Secções Transversais
O volume V = V2 − V1 , onde V2 e V1 são os volumes obtidos pela
rotação, em torno do eixo x, dos conjuntos
A2 = (x, y ) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2
e
1
2
A1 = (x, y ) ∈ R ; 0 ≤ y ≤ , 1 ≤ x ≤ 2 .
x
Assim,
V2 = π
Z
1
Portanto, V =
2
7π
x dx =
3
2
V1 = π
Z
2
1
7π π
11π
− =
.
3
2
6
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1
π
dx = .
2
x
2
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Secções Transversais
Exemplo
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
y , da região compreendida entre a parábola y = x 2 e a reta
y = 2x no primeiro quadrante.
A reta e a parábola se cortam em y = 0 e y = 4, portanto os
limites de integração são c = 0 e d = 4. O volume V = V2 − V1 ,
são os volumes dos sólidos obtidos pela rotação, em torno do eixo
y
√
y , das curvas R(y ) = y e r (y ) = , respectivamente. Assim,
2
Z 4
Z 4 2
√
π16
y
( y )2 dy = 8π
dy =
.
V2 = π
V1 = π
3
0
0 4
Portanto, V = 8π −
Alexandre Nolasco de Carvalho
16π
8π
=
.
3
3
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