Sistemas de numeração

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Sistemas de numeração
Nos sistemas digitais, recorre-se com frequência a diferentes sistemas de numeração para representar a
informação digital.
Sistema de numeração decimal
No sistema de numeração decimal são utilizados os dígitos 0, 1, 2...., 8, 9. Para representar números superiores a
9, utiliza-se uma convenção que atribui significado à posição ocupada por cada dígito. Por exemplo, em função da
posição ocupada por cada dígito, o número 6903 traduz um valor numérico calculado por:
6903 = 6x103 + 9x10 2 + 0x101 + 3x10 0
Conforme se pode verificar, um número é expresso através da soma de potências de base 10 multiplicadas pelo
respectivo coeficiente (dígito).
Características do sistema de numeração decimal:
Base: 10
Dígitos: 0,1,2...8,9
Potências:
maior peso
10......
10 4
103 10 2 101
......
10000 1000 100 10
menor peso
10 0
1
Sistema de numeração binário
Em sistemas descritos através de variáveis lógicas recorre-se com frequência ao sistema de numeração de base 2
(binário). A vantagem na utilização deste sistema de numeração resulta da correspondência directa entre os
dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1.
Características do sistema de numeração binário:
Base: 2
Dígitos:0,1
Potências:
maior peso
2......
2 4 23
......
16 8
2
2
4
1
2
2
menor peso
20
1
Neste sistema os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2. Por exemplo, o número 19
(decimal) é representado pela sequência de dígitos binários
10011 = 1x2 4 + 0x2 3 + 0x2 2 + 1x21 + 1x2 0
10011 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19
Conversão entre o sistema decimal e binário
Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado que cada divisão desloca o ponto decimal em uma posição para a
esquerda, temos
N ....x 8 x 4 x 2 x 1 ⋅
=
= ....x 8 x 4 x 2 ⋅ + resto x 1
2
2
O dígito menos significativo x1 corresponde ao resto da divisão inteira e o quociente corresponde a um novo
'
número N =...x 8 x 4 x 2 ⋅ , onde x 2 passa a ser o dígito menos significativo.
Aplicando divisões sucessivas e considerando o resto, obtém-se a sequência de dígitos binários que representam
o número N no sistema de numeração binário. Por exemplo
menos significativo
19
1
2
9
1
2
4
0
mais significativo
19(10 ) = 10011( 2)
← base
2
2
0
2
1
1
2
0
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Sistema de numeração octal e hexadecimal
Estes sistemas de numeração são bastantes utilizados devido à uma relação especial com o sistema de
numeração binário.
No sistema de numeração octal, a base é 8 e os dígitos utilizados são 0,1,2,3....,7.
No sistema de numeração hexadecimal, a base é 16 e os dígitos utilizados são 0,1,2...9,A,B,C,D,E,F.
Binário
000
001
010
011
100
101
110
111
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
A relação especial com o sistema de numeração binário reside no facto de três dígitos binários representarem oito
(2 ) números distintos e quatro dígitos binários representarem dezasseis (2 ) números distintos. Esta relação
3
4
permite efectuar conversões entre estes sistemas de uma forma quase imediata, conforme se pode verificar no
seguinte exemplo.
7
3
67
4 24
8 678
67
4 44
8 678
67
4 24
8 Octal
1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 Binario
3
E
D
3
2
647
48 647
48 647
48 647
48 647
48 Hexadecimal
1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0
Binario
Conversões entre sistemas de numeração
Decimal⇒Binário
menos significativo
28
0
2
14
0
2
7
1
2
3
1
2
1
1
mais significativo
2
0
28(10 ) = 11100( 2)
Binário ⇒Decimal
10101(2) = 1x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x21 + 1x2 0 = 16 + 4 + 1 = 21(10)
Decimal⇒Octal
menos significativo
mais significativo
19(10 ) = 23( 8 )
19
3
8
2
2
8
0
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Octal ⇒Decimal
23(8) = 2x81 + 3x8 0 = 16 + 3 = 19(10 )
Decimal⇒Hexadecimal
45
D⇐13
menos significativo
mais significativo
16
2
2
16
0
45(10 ) = 2D (16 )
Hexadecimal ⇒Decimal
2D (16) = 2x161 + 13x16 0 = 32 + 13 = 45(10 )
Binário ⇔ Octal
6
0
5
67
4 24
8 678
6
47
4
8 678
67
4 44
8 Octal
1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 Binario
Binário ⇔ Hexadecimal
3
B
A
647
48 647
48 647
48 Hexadecimal
1 1 1 0 1 1 1 0 1 0
Binario
Octal ⇔ Hexadecimal
Neste caso, teremos que recorrer à conversão intermédia para a base binária ou decimal.
Exemplo : 752(8)=X(16)
Octal ⇒ Binário
678 678 6
474
8
1 1 1 1 0 1 0 1 0
7
5
2
conversão para binário = 111101010(2)
Binário⇒ Hexadecimal
1 1 1 1 0 1 0 1 0
14243 14243 14243
1
752(8)=1EA(16)
E
Octal ⇒ Decimal
752(8)
= 7x82 + 5x81 + 2x80
= 7x 64 + 5x8 + 2
= 448 + 40 + 2
= 490
conversão para decimal = 490(10)
A
Decimal ⇒ Hexadecimal
490
16
16
A⇐10 30
E⇐14 1
1
752(8)=1EA(16)
16
0
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Resumindo no grafo ...
Binário
Σ di bi
Grupos 3
÷B
Decimal
Octal
÷B
Grupos 4
Σ di bi
Σ di bi
÷B
Hexadecimal
Legenda
Σ di bi
Grupos 3/4
÷B
Método
Soma de potências de base b (bi) multiplicados pelo respectivo dígito (di)
Conversão directa entre dígito e grupo
Divisão sucessiva pela base B