Introdução a Informatica

Sistemas de Numeração Prof. Francisco Veríssimo Luciano PRONATEC Programador de Sistemas Sistemas de Numeração 1 1. O que é um número?
Até o final do século VI os números eram apenas: • 
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Apenas no final do século VI que foi introduzido o “0” zero. • 
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Passando a ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Durante o ano 825 d. c. o califa al-­‐Mamum deseja transformar seu reino em um grande centro de cultura. Contratando al-­‐Khowarizmi (maior matemá]co arabe de todos os tempos. Criando o sistema Decimal, que u]lizamos até hoje. Termo Algarismo é homenagem a al-­‐Khowarismi. Sistemas de Numeração 2 2. O que é sistema de numeração?
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Define como um número pode ser representado u]lizando diversas formas. • 
Qualquer número inteiro maior ou igual pode ser u]lizado como base. • 
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Acredita-­‐se que o sistema decimal (com base 10) tenha sido o primeiro, em coerência aos dedos das mãos. Os números escritos em um sistema de numeração de base “b” pode ser considerado no polinômio: • 
Número: anbⁿ + na-­‐1bⁿ⁻¹ + ... + a1b¹ + a0b⁰ Sendo os coeficientes a1 até an menores que base “b” Sistemas de Numeração 3 3. Sistema Decimal
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O sistema decimal u]liza como base “10” u]lizando os Algarismos: • 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 •  Podendo ser representado: 5.326 = 5000 + 300 + 20 + 6 ou 5 x 100 + 3 x 100 + 2 x 10 + 6 ou 5 x 10³ + 3 x 10² + 2 x 10¹ + 6 x 10⁰ • 
Nenhum algarismo do número pode ser maior ou igual a dez. Polinômio: Nro = dn10ⁿ + dn-­‐110ⁿ⁻¹ + d110¹ + d010⁰ Sistemas de Numeração 4 4. Sistema Binário
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O sistema binário possui apenas os Algarismos: • 
0 e 1 Exemplo 1: •  Podendo ser representado: Número 11010012 1x2⁶ + 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x1⁰ = 10510 Exemplo 2: •  Podendo ser representado: Número 11112 1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x1⁰ = 1510 • 
Polinômio: Nro = bn2ⁿ + bn-­‐12ⁿ⁻¹ + b12¹ + b02⁰ Sistemas de Numeração 5 5. Sistema Octal
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O sistema octal possui os Algarismos: • 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Exemplo 1: •  Podendo ser representado: Número 546218 5x8⁴ + 4x8³ + 6x8² + 2x8¹ + 1x8⁰ = 2292910 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 = 22929 Exemplo 2: •  Podendo ser representado: Número 12568 1x8³ + 2x8² + 5x8¹ + 6x8⁰ = 68610 512 + 128 + 40 + 6 = 686 • 
Polinômio: Nro = bn8ⁿ + bn-­‐18ⁿ⁻¹ + b18¹ + b08⁰ Sistemas de Numeração 6 6. Sistema Hexadecimal
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O sistema hexadecimal possui os Algarismos: • 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Exemplo 1: •  Podendo ser representado: Número 3BF4C16 3x16⁴ + B(11)x16³ + F(15)x16² + 4x16¹ + C(12)x16⁰ = 24558010 196608 + 45056 + 3840 + 64 + 12 = 245580 Algarismo Valor Exemplo 2: A 10 B 11 •  Podendo ser representado: Número 2AE16 C 12 2x16² + A(10)x16¹ + E(14)x16⁰ = 68610 D 13 E 14 512 + 160 + 14 = 686 F 15 • 
Polinômio: Nro = bn16ⁿ + bn-­‐116ⁿ⁻¹ + b116¹ + b016⁰ Sistemas de Numeração 7 1. Mudança de base decimal para outras bases
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Mudança de base decimal para qualquer outra base é muito simples. Sempre trabalhada com divisões. Nesse momento veremos a mudança para a base binária: 61
2 1
30
2 0
15
1
Ficando: 111101 Sendo que: 6110 = 1111012 2 7
1
Sistemas de Numeração 2 3
1
2 1 8 2. Mudança de base decimal para outras bases
Nesse momento veremos a mudança para a base octal: • 
61
8 5
7
Ficando: 758 Sendo que: 6110 = 758 Sistemas de Numeração 9 2. Mudança de base decimal para outras bases
Nesse momento veremos a mudança para a base hexadecimal: • 
61
16 13
3
Ficando: 3D16 Sendo que: 6110 = 3D16 •  Logo podemos dizer: 6110 = 1111012 = 758 = 3D16 Sistemas de Numeração 10 Exercícios -­‐ converta os valores da base decimal para as demais: Decimal Binário Octal Hexa 3 10 15 301 1379 42685 Sistemas de Numeração 11 2. Mudança de binário para hexadecimal
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É realizada transformando os grupos de quatro dígitos binários, no sen]do da direita para a esquerda, diretamente em números hexadecimais. U]lizamos como base a tabela abaixo: Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Binário Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Sistemas de Numeração 12 2. Mudança de binário para hexadecimal
•  Exemplo: X16 = (10100110)2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 1010
0110 A 6 Sendo: A616 = 101001102 •  Exemplo: X16 = (110011)2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 0011
0011 3 3 Sendo: 3316 = 1100112 Sistemas de Numeração Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Binário Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F 13 3. Mudança de hexadecimal para binário
A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-­‐se os símbolos Hexadecimais em Decimal Binário Hexadecimal números binários de 4 dígitos: 0 0000 0 1 0001 1 •  Exemplo: 2 0010 2 3 0011 3 X2 = (A6)16 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 1010
0010 7 0111 7 8 1000 8 A 6 9 1001 9 10 1010 A Sendo: 101000102 = A616 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D •  Exemplo: 14 1110 E 15 1111 F X2 = (33)16 0011
0011 3 3 Sendo: 001100112 = A616 ou 1100112 = A616 Sistemas de Numeração 14 • 
4. Mudança de binário para octal
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É realizada transformando os grupos de três dígitos binários, no sen]do da direita para a esquerda, diretamente em números octais. Decimal Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 Sistemas de Numeração 15 4. Mudança de binário para octal
•  Exemplo: X8 = (1110010)2 Separamos em grupos de três dígitos: 001 110 010 1 6 2 Sendo: 1628 = 001100102 ou 1100102 = 1628 •  Exemplo: X8 = (10001)2 Separamos em grupos de três dígitos: 010 001 2 1 Sendo: 218 = 0100012 ou 100012 = 218 Sistemas de Numeração Decimal Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 16 5. Mudança de octal para binário
•  Exemplo: X2 = (77)8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 778 = 1111112 •  Exemplo: X2 = (123)8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 1238 = 001010112 ou 10100112 = 1238 Sistemas de Numeração Decimal Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 17 6. Mudança de octal para hexadecimal ou
hexadecimal para octal
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A conversão de números octais em hexadecimais (e vice-­‐
versa) deve ser feita transformando-­‐se os símbolos octais (ou hexadecimais) em binários e posterior transformação em hexadecimal (ou octal). Decimal Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sistemas de Numeração Binário Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F 18 6. Mudança de octal para hexadecimal ou
hexadecimal para octal
•  Exemplo octal para hexadecimal: X16 = (77)8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 778 = 1111112 = 3F16 •  Exemplo: X16 = (123)8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 1238 = 001010112 ou 10100112 = 1238 = 44316 Sistemas de Numeração 19 7. Aritmética Binária
•  Soma de binários: Na soma de binários obedecemos a regra a seguir: 0
+
0
=
0 0
+
1
=
1 1
+
0
=
1 1
+
1
=
0
e vai 1 1
+
1
+
1
=
1
Sistemas de Numeração e vai 1 20 7. Aritmética Binária
• 
• 
Soma de binários: Exemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 + 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 __________________ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 =
Sistemas de Numeração 310210 21 7. Aritmética Binária
•  Subtração de binários: Na soma de binários obedecemos a regra a seguir: 0
-­‐
0
=
0 1
-­‐
1
=
0 1
-­‐
0
=
1 0
-­‐
1
=
1
e empresta 1 Sistemas de Numeração 22 7. Aritmética Binária
• 
• 
Subtração de binários: Exemplo: 1 1 1 1 0 0 -­‐ 0 1 0 1 0 __________________ 1 0 0 1 0 =
1810 Sistemas de Numeração 23