Introduç˜ao `a Teoria dos Números - Notas 10 A funç˜ao de

Introdução à Teoria dos Números - Notas 10
A função de Euler
.
Definição 1 Sendo n um número natural, um sistema completo de restos módulo n é qualquer
conjunto de números inteiros {a1 , a2 , . . . an } tais que
Zn = {a1 , a2 , . . . , an }.
Exemplo 2 Em sala!
Note que um sistema completo de restos módulo n possui exatamente n números. É
simples ver que um conjunto com n números inteiros {a1 , a2 , . . . an } é um sistema completo
de restos módulo n se, e somente se, ai ̸≡ aj mod n se i ̸= j, isto é, para verificarmos se
um conjunto formado por n números é um sistema completo de restos módulo n,
basta verificarmos se ai ̸≡ aj mod n se i ̸= j.
Definição 3 A função φ(f i) de Euler é definida por
φ:N→N
dada por
φ(n) = número de elementos do conjunto {x ∈ N; 1 ≤ x ≤ n tal que mdc(x, n) = 1}.
Exemplo 4 Em sala!
Definição 5 Sendo n um número natural, um sistema reduzido de restos módulo n é qualquer
conjunto de números inteiros {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } tais que mdc(ai , n) = 1 e ai ̸≡ aj mod n se
i ̸= j.
Exemplo 6 Em sala!
Note que um sistema reduzido de restos módulo n possui exatamente φ(n) números. É
simples ver que um conjunto com φ(n) números inteiros {a1 , a2 , . . . an } é um sistema reduzido
de restos módulo n se, e somente se, ai ̸≡ aj mod n se i ̸= j e mdc(ai , n) = 1 ∀ i, isto é, para
verificarmos se um conjunto formado por φ(n) números é um sistema reduzdo de
restos módulo n, basta verificarmos se ai ̸≡ aj mod n se i ̸= j e se mdc(ai , n) = 1 ∀ i.
1
Observação 7 É importante observar que:
1) Sendo {a1 , a2 , . . . an } um sistema completo de restos módulo n então qualquer número
inteiro é congruente a um, e somente um, destes números módulo n.
2) Sendo {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } um sistema reduzido de restos módulo n, então qualquer número
primo com n é congruente a um, e somente um, destes números módulo n.
3) Sendo {a1 , a2 , . . . an } um sistema completo de restos módulo n então, neste conjunto,
existem exatamente φ(n) números primos com n e estes números constituem um sistema reduzido de restos módulo n.
Proposição 8 Seja n um número natural e a um número inteiro tal que mdc(a, n) = 1.
Então:
(a) Se {a1 , a2 , . . . an } é um sistema completo de restos módulo n, teremos que {aa1 , aa2 , . . . aan }
é um sistema completo de restos módulo n.
(b) Se {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } é um sistema reduzido de restos módulo n, teremos que {aa1 , aa2 , . . . , aaφ(n) }
é um sistema reduzido de restos módulo n.
Prova. Em sala!
Lema 9 Sejam n, a1 , a2 , . . . , an números inteiros tais que mdc(ai , n) = 1 ∀ i. Então
mdc(a1 a2 . . . an , n) = 1.
Prova. Em sala!
Teorema 10 (Euler) Sejam n um número natural e a um número inteiro satisfazendo mdc(a, n) =
1. Então
aφ(n) ≡ 1 mod n.
Prova. Em sala!
Exercı́cio 11 1) Seja n um número natural e a um número inteiro tal que mdc(a, n) = 1.
(a) É verdade que se Se {a1 , a2 , . . . an } é um sistema completo de restos módulo n, então
{a + a1 , a + a2 , . . . a + an } é um sistema completo de restos módulo n? Justifique!
(b) É verdade que se {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } é um sistema reduzido de restos módulo n, então
{a + a1 , a + a2 , . . . , a + aφ(n) } é um sistema reduzido de restos módulo n? Justifique!
2) Complete o conjunto {3, 21, 12} de maneira a obter um sistema completo de restos
módulo 10. Justifique!
3) Complete o conjunto {3, 21, 11} de maneira a obter um sistema reduzido de restos módulo
16. Jusitifique!
4) Mostre que, sendo n > 2 um número natural, o conjunto {1, 22 , 32 , . . . , n2 } não constitui
um sistema completo de restos módulo n.
2
5) Mostre que para a e b números naturais com mdc(a, b) = 1 temos
aφ(b) + bφ(a) ≡ mod ab.
6) Encontre, justificando, um sistema completo de restos módulo 11 formado somente por
múltiplos de 6.
7) Encontre, justificando, um sistema completo de restos módulo 7 formado somente por
números primos.
8) Sejam a, n, r números naturais com mdc(r, n) = 1. Mostre que na PA
a, a + r, . . . , a + (n − 1)r
há exatamente φ(n) números primos com n.
O teorema que será apresentado a seguir nos permitirá, dada a decomposição em fatores primos de um número natural n, determinar φ(n). Inicialmente mostremos a seguinte
proposição.
Proposição 12 Seja p um número primo. Então:
(a) φ(p) = p − 1
(b) Se n ∈ N, temos que φ(pn ) = pn − pn−1 .
Prova. Em sala!
Teorema 13 A função de Euler é multiplicativa, isto é, quaisquer que sejam n e m números
naturais satisfazendo mdc(n, m) = 1 teremos
φ(m.n) = φ(m).φ(n).
Prova. Em sala!
Exercı́cio 14 1) Determine o resto da divisão de (a) 560 por 26, (b)3100 por 10
2) Mostre que, se m > 2, então φ(m) é um número par.
3) Mostre que se {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } é um sistema reduzido de restos módulo n, então n
divide a1 + a2 + . . . + aφ(n) .
4) Supondo que mdc(a, m) = mdc(a − 1, m) = 1 mostre que
1 + a + a2 + . . . + aφ(m)−1 ≡ 0 mod m.
5) Sejam a, m números naturais, com m > 1 e mdc(a, m) = 1. Mostre que, n1 ≡
n2 mod φ(m), então
an1 ≡ an2 mod m.
6) Sendo n um número natural, mostre que n|φ(n) se, e somente se, n é da forma 1, 22 , 2a .3b
onde a, b ∈ N.
7) Mostre que φ(m) = mφ(m) para todo m ∈ N.
8) Mostre que, se d|n, então φ(d)|φ(n).
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