1Q1. Sejam V um espaço vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1

1Q 1. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita n ≥ 1. Assinale a
alternativa que contém uma afirmação FALSA:
(a) se B é um conjunto de geradores de V com n elementos então B é uma
base de V ;
(b) toda base de V tem n elementos;
(c) todo subconjunto de V com n elementos é uma base de V ;
(d) se B é um subconjunto linearmente independente de V com n elementos
então B é uma base de V ;
(e) se B é um subconjunto de V com n elementos e se v ∈ V não está em
B então o conjunto B ∪ {v} é linearmente dependente.
1Q2. Considere o conjunto:
A = 1 + x + x2 + x3 + x4 , 1 + 2x3 + 2x4 , 1 + x + x2 + x3 + 3x4 .
Assinale a alternativa contendo dois polinômios que reunidos a A formam
uma base de P4 (R):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
x2 + x3 e x2 − x3 ;
x + x2 − x3 e x − x2 + x3 ;
x4 e 1 − x4 ;
2 + x + x2 + 3x3 e 2 + x − x2 − x3 ;
1 + x e x2 + x3 .
1Q3. Sejam a, b, c ∈ R e seja S o subespaço de R4 dado por:
S = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, a, b, c)].
Pode-se afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
dim(S) = 3 se
dim(S) = 4 se
dim(S) = 4;
dim(S) = 3 se
dim(S) = 3 se
e somente se a = 0 e b = c;
e somente se b =
6 a e b 6= c;
e somente se b = c;
e somente se −2a + b + c = 0.
1Q4. Sejam a ∈ R e B = {1, et , 2eat }. Pode-se afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
B
B
B
B
B
é
é
é
é
é
linearmente
linearmente
linearmente
linearmente
linearmente
dependente;
independente;
independente se e somente se a 6= 0 e a 6= 1;
independente se e somente se a =
6 1;
independente se e somente se a =
6 0.
1Q5. Seja S o subespaço de M2×3 (R) definido por:
−2w y z
S=
: u, w, y, z ∈ R, y − z − 3u = 0, z + w + u = 0 .
w 0 u
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
todo subconjunto de S com 3 elementos gera S;
S possui um subconjunto linearmente independente com 3 elementos;
S possui um conjunto de geradores com 2 elementos;
dim(S) = 3;
dim(S) = 4.
1Q6. Sejam a ∈ R e B = {(1, a, 1), (1, 1, a), (a, 1, 1)}. Tem-se que B é uma
base de R3 se e somente se:
(a) a 6= 1 ou a 6= −2;
(b) a =
6 1ea=
6 2;
(c) a =
6 1ea=
6 −1;
√
√
(d) a 6= 0, a 6= 2 e a 6= − 2;
(e) a 6= 1 e a 6= −2.
1Q7. Seja S o conjunto solução de um sistema linear homogêneo com m
equações e n incógnitas, sendo m < n e pelo menos uma equação não nula.
Assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
S tem dimensão finita;
dim(S) ≥ n − m;
dim(S) = n;
o conjunto S é infinito;
dim(S) ≥ 1.
1Q8. Seja n ≥ 2. Assinale a alternativa em que S é um subespaço vetorial
de Rn (munido das operações usuais):
(a) S = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 + · · · + xn + 1 = 0 ;
(b) S = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 , . . . , xn são números inteiros ;
(c) S = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 > 0, . . . , xn > 0 ;
(d) S = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n−1 = xn ;
(e) S = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 + · · · + xn = 0 .
1Q9. Considere os seguintes subespaços de R4 :
S1 = (a, b, 2a, 2b) : a, b ∈ R , S2 = [(1, 1, 2, 2), (1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 2)].
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
dim(S1 ) = 2, dim(S2 ) = 2 e S1 = S2 ;
dim(S1 ) = 2, dim(S2 ) = 2 e S1 =
6 S2 ;
dim(S1 ) = 2 e dim(S2 ) = 3;
S2 ⊂ S1 e S1 6= S2 ;
S1 ⊂ S2 e S1 6= S2 .
1Q10. Considere os seguintes subespaços de R3 :
U = (x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0 , W = (x, −x, x) : x ∈ R .
Assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
dim(U + W ) = 3;
dim(W ) = 1;
o conjunto U ∪ W é um subespaço de R3 ;
dim(U ) = 2;
dim(U ∩ W ) = 0.
1Q11. Considere o subespaço S = [1, t, t2 , et − 1, et − t, et − t2 ] do espaço
vetorial de todas as funções f : R → R. A dimensão de S é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3;
4;
6;
2;
5.
1Q12. Se y : R → R é a solução da equação diferencial:
y 00 − 3y 0 + 2y = 0
satisfazendo as condições iniciais y(0) = 1, y 0 (0) = 3, então y(1) é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
e − 2e2 ;
2e + e2 ;
2e − e2 ;
−e + 2e2 ;
e + 2e2 .
1Q13. Seja B = {p1 , p2 , p3 , p4 } um subconjunto de P3 (R) com 4 elementos.
Pode-se afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
B é uma base de P3 (R) se e somente se B é linearmente independente;
existe uma base de P3 (R) que contém B;
B gera P3 (R);
existe uma base de P3 (R) contida em B;
B é linearmente independente.
1Q14. Seja S o conjunto solução da equação diferencial:
y 000 − y 00 − y 0 + y = 0.
Uma base de S é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{et , e−t };
{et , e−t , te−t };
{et , e−t , tet };
{t, et , e−t };
{et , e−t , tet , te−t }.
1Q15. Assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA:
(a) o conjunto {1, t − 1, t2 − 1, t3 − 1} é uma base de P3 (R);
(b) o conjunto {t − 1, t2 − t, t3 − t2 } não pode ser completado a uma base
de P3 (R);
(c) o conjunto ac db ∈ M2 (R) : a + b + c + d = 0 é um subespaço vetorial
de M2 (R);
1 1 0 1 0 0 (d) o conjunto
,
,
é linearmente independente;
01 01 10 01 10 10 1 0 (e) o conjunto
não gera M2 (R).
0 0 , 1 0 , 1 1 , −1 0
1Q16. Sejam a, b números reais não nulos e considere as matrizes:
1 0
a a
0 1
A=
, B=
, C=
.
0 −1
b b
1 1
Então, a matriz 20 11 pertence ao subespaço de M2 (R) gerado por A, B, C
se e somente se:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
a = 3 e b = 2;
b − a = 0;
2b − 3a = 0;
3b − 2a = 0;
a = 2 e b = 3.
1Q17. Sejam {u1 , . . . , um }, {v1 , . . . , vn } dois subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V , onde u1 , . . . , um são dois a dois distintos
e v1 , . . . , vn são dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmações:
(I) se m = n então [u1 , . . . , um ] = [v1 , . . . , vn ];
(II) se [u1 , . . . , um ] = [v1 , . . . , vn ] então m = n;
(III) a dimensão do subespaço [u1 , . . . , um ] é igual a m.
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.
1Q18. Considere os seguintes subespaços de R4 :
U = (x, y, z, t) ∈ R4 : y + z = t ,
W = (x, y, z, t) ∈ R4 : x − y = 0, z − t = 0 .
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
dim(U
dim(U
dim(U
dim(U
dim(U
+ W) = 4
+ W) = 3
+ W) = 4
+ W) = 2
+ W) = 3
e
e
e
e
e
dim(U
dim(U
dim(U
dim(U
dim(U
∩ W ) = 1;
∩ W ) = 1;
∩ W ) = 0;
∩ W ) = 2;
∩ W ) = 2.
1Q19. Sejam V um espaço vetorial e {v1 , . . . , vn } um subconjunto linearmente independente de V com n elementos. Considere as seguintes afirmações:
(I) o conjunto {v1 , . . . , vn } é uma base de V se e somente se o conjunto
{v1 , . . . , vn , v} é linearmente dependente para todo v ∈ V tal que
v 6∈ {v1 , . . . , vn };
(II) dim(V ) ≥ n;
(III) dim(V ) = n.
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.
1Q20. Considere o subespaço:
S = p ∈ P3 (R) : p(1) = p(−1)
de P3 (R). Uma base para S é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{1, 1 − x, x − x3 };
{1, x − x2 , x − x3 };
{1, 1 − x2 , x − x3 };
{1, x2 };
{x2 , x − x3 }.