INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
Estatística II - Licenciatura em Gestão
Época de Recurso - Parte prática – (14 valores) – 24/01/2011
Nome: ____________________________________________________________________Nº _____________
Espaço reservado para a classificação (não escrever aqui)
Cot.
a)
I b)
10
15
-------
Soma
25
Classif.
-------
Cot. Classif.
a)
II b)
15
15
-------
-------
Cot. Classif. Teór. Nota
Cot. Classif.
a)
III
30
15
---------
---------
15
a)
b)
IV c)
d)
e)
15
15
15
15
10
70
I
Considere os seguintes estimadores para Ѳ, média de uma população de Bernoulli, obtidos a partir de uma
amostra aleatória de dimensão n:
T
∑
;
T
∑
a) Verifique se T e T são estimadores centrados para Ѳ.
1
b) Dos dois estimadores, qual o mais eficiente. Justifique.
II
Numa amostra aleatória de 100 eleitores de certo aglomerado populacional, 38 revelaram tencionar votar no
candidato A nas próximas eleições.
a) Utilizando um nível de significância de 0,01, ensaie a hipótese de a percentagem dos que tencionam
votar nesse candidato ser de 40% contra a alternativa de ser inferior.
2
b) Qual a probabilidade de, na alínea anterior, ter tomado uma decisão errada, se de facto essa
percentagem for de 30%?
III
a) O gestor de recursos humanos de certa empresa pretende averiguar se o nível de absentismo está ou não
relacionado com o facto de o trabalhador ser do sexo feminino ou masculino. Para tal, recolheu uma
amostra aleatória de 100 pessoas, a qual forneceu os resultados constantes do quadro abaixo.
Nível/ Sexo
Homens
Mulheres
20
15
Baixo
15
20
Médio
5
25
Elevado
Em face destes resultados, e com um nível de significância de 0,05, o que pode o gestor concluir?
3
IV
Um investigador pretende formular um modelo para explicar o salário dos licenciados de Portugal (variável
SAL). Como variáveis explicativas propõe as seguintes: EXP – Anos de experiência no mercado de trabalho de
um licenciado; EDUC – Anos de educação académica de um licenciado; IDADE – idade do licenciado;
FILHOS – número de filhos de um licenciado.
Representando as variáveis em logaritmos pelo seu nome precedido de um L, o modelo de regressão linear
proposto é o seguinte:
LSAL
Com base em
LSAL
β
β
β
β
β
β
321 observações obteve-se a seguinte regressão estimada:
4,359
0,213
(0,013)
0,0227
(0,005)
0,972065
;
0,533
(0,031)
erro
0,0045
(0,001)
padrão da regressão
0,008
(0,009)
0,17956
a) Interprete o coeficiente de determinação e estude (ao nível de significância de 5%) a significância das
variáveis explicativas em conjunto;
4
b) Interprete as estimativas obtidas para os coeficientes das variáveis experiência e filhos (β2 e β6) e, para
um nível de significância de 10%, investigue a significância estatística de cada um destes coeficientes;
c) Alguns especialistas afirmam que a única variável relevante para a explicação do salário de um
licenciado em Portugal é a relativa à sua experiência. Estimado o correspondente modelo, obteve-se a
seguinte regressão estimada:
LSAL
8,322 0,306
0,053139
O que pode concluir acerca da afirmação destes especialistas (considere uma dimensão do teste de 5%)?
5
d) Suspeitando-se de que poderiam não ser válidas algumas das hipóteses do MRL, realizou-se a regressão
a seguir indicada e onde RES representa os resíduos do modelo inicial e
os valores previstos pelo
modelo para o logaritmo do salário:
0,096 0,021
L 0,002
L
0,015022
Explicite o objectivo da regressão presente acima e, em face dos resultados, o que pode concluir?
e) Tendo em consideração o modelo inicial, preveja o valor do salário de um certo licenciado com 5 anos de
experiência, 9 anos de educação académica, 30 anos de idade e um filho.
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Estatística II - Licenciatura em Gestão
Época de Recurso – Parte teórica – (6 valores) - 24/01/2011
Nome:______________________________________________________________________Nº____________
1. Questões de Verdadeiro/Falso (2 valores). Para cada afirmação, assinale se esta é verdadeira (V) ou falsa
(F). Uma resposta certa vale 0,25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor.
V
F
Um intervalo de confiança a 95% para um parâmetro é uma realização particular de um
intervalo aleatório de probabilidade igual a 0,95.
Seja ( X 1 , X 2 ,..., X n ) uma amostra aleatória de uma população X de média µ. Então T = X 1
pode ser tomado como estimador centrado de µ.
No teste bilateral de uma hipótese estatística sobre a média de uma população normal existe
uma região crítica óptima (ou mais potente).
No teste de ajustamento de uma variável contínua, : ~
, a não rejeição da hipótese
aparentada,
:
;
1,2, … ;
|
, implica a não rejeição de H0.
No modelo de regressão linear (MRL), para testar uma restrição linear dos coeficientes de
regressão é indiferente usar a estatística T~t(n-k) ou a F~F(1,n-k).
Se no MRL não se verifica a hipótese Cov (u t , u s | X ) = 0 ; t , s = 1,2,..., n ; t ≠ s , então os
estimadores dos mínimos quadrados dos coeficientes de regressão estão correlacionados.
Num modelo de regressão linear, com dados seccionais, não pode existir autocorrelação.
No modelo y t = β 1 + β 2 xt 2 + β 3 d t + u t , a verificar as hipóteses básicas e onde d t é uma
variável artificial, β 3 é o efeito da presença da característica sobre o termo independente.
2. Questões de resposta múltipla (2 valores). Escolha a alternativa correcta com um X. Uma resposta certa
vale 0,5 valores e uma resposta errada penaliza em 0,25 valores.
a) Nos testes de hipóteses paramétricas desempenha papel importante:
[ ] A desigualdade de Frechet-Crámer-Rao.
[ ] O Lema de Neyman-Pearson.
[ ] O Teorema de Gauss-Markov.
b) Pretendendo-se testar, no MRL a verificar as hipóteses H1-H6, a hipótese do coeficiente de regressão
ser negativo, as hipóteses nula e alternativa são:
[]
[]
[]
:
0 e
:
0
:
0 e
:
0
:
0 e
:
0
c) Os estimadores dos mínimos quadrados dos coeficientes de regressão no MRL deixam de ser BLUE
quando:
[ ] Não se verifica a hipótese da normalidade (H6).
[ ] Existe multicolinearidade (não perfeita).
[]
Existe heterocedasticidade.
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d) Para reduzir a amplitude de um intervalo de confiança para a média de uma população normal de
variância conhecida pode diminuir-se:
[ ] A dimensão da amostra mantendo-se fixo o grau de confiança.
[ ] O grau de confiança mantendo-se fixa a dimensão da amostra.
[ ] A variância da população mantendo fixos o grau de confiança e a dimensão da amostra.
3. Perguntas de desenvolvimento (2 valores) – Cada resposta certa vale 1 valor.
a) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança para o parâmetro
1
;
1,2, … ; 0
1.
da população
~
|
b) Considere o MRL y = β1 + β 2 x2 + β 3 x3 + ... + β k xk + u a verificar as hipóteses H1-H6 e suponha que
pretendia testar a seguinte restrição linear:
2 =1. Obtenha o correspondente modelo restrito e diga
como procederia para realizar o referido teste.
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