aplicaçoes de cálculo diferencial e integral i na engenharia elétrica

APLICAÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NA
ENGENHARIA ELÉTRICA
Paola C. Franzini – [email protected]
Denise H. L. Ferreira – [email protected]
Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias
Rodovia D. Pedro I, km 136 – Parque das Universidades
CEP 13086-900 Campinas, SP
Resumo: Muitas pesquisas têm mostrado que os alunos do curso das engenharias
normalmente apresentam muitas dificuldades na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral
I, é possível que uma das razões esteja relacionada com as dificuldades em conteúdos
matemáticos que trazem consigo de séries anteriores e, também por outro lado, por
vivenciarem muitas vezes um ensino descontextualizado da realidade. Nesse sentido,
abordamos neste trabalho algumas aplicações reais do curso de Engenharia Elétrica
relacionadas à disciplina em questão de forma que o aluno possa visualizar a vinculação com
o curso escolhido e ao mesmo tempo auxiliar o docente em suas atividades
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem, Cálculo I, Engenharia Elétrica
1
INTRODUÇÃO
Tendo em vista as dificuldades apresentadas pelos diversos alunos das engenharias no
ensino e aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, parece oportuno
investir em problemas relacionados com a área de engenharias, na tentativa de dar mais
sentido a essa aprendizagem.
Na tentativa de minimizar esse problema, torna-se necessário investir em outras
estratégias de ensino e aprendizagem, como por exemplo, a Modelagem Matemática, pois a
utilização dessa estratégia possibilita o tratamento de situações reais, resgatando a
investigação, a construção dos conteúdos matemáticos, a reflexão e a argumentação crítica.
Nessa linha, Skovsmose (2001) afirma que um dos objetivos da Educação Matemática é
habilitar os alunos em aplicar a Matemática na sociedade, utilizando-a no entendimento da
realidade. A sua preocupação está voltada para a formação de alunos com poder de
argumentação através do pensamento reflexivo, com comprometimento com a realidade. Para
o autor, trazer essa perspectiva para as aulas de Matemática pode desenvolver a capacidade de
perceber a importância da Matemática na estrutura social e política da sociedade, focada na
formação da cidadania e das consciências política e social do estudante, que busca valorizar as
habilidades individuais necessárias para uma efetiva participação em uma sociedade
democrática.
Para Bassanezi (2002, p. 16), “A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções
na linguagem do mundo real”. Nesse ambiente, as ações são voltadas a experimentação,
visualização, interpretação, previsão. Além disso, a Modelagem Matemática pode auxiliar os
alunos a identificarem aplicações em outras áreas do conhecimento e em diferentes contextos.
Muitas das habilidades requeridas para o engenheiro, tais como: raciocinar, analisar e
argumentar com clareza, demonstrar idéias, lidar com informação e tecnologia podem ser
favorecidas através do desenvolvimento de atividades de aprendizagem dessa natureza, pois
requer interação, colaboração, cooperação, participação ativa, envolvimento em atividades de
estudo, socialização de idéias, capacidade de argumentação e síntese, capacidade de expressar
idéias próprias, disposição para rever resultados obtidos.
É comum os alunos utilizarem várias ferramentas matemáticas no cotidiano sem se dar
conta disso. Contudo, quando esses conceitos são formalizados matematicamente, tudo o que
parecia trivial passa a ser encarado como uma situação complexa, gerando insegurança e
incertezas. Esse fato freqüentemente ocorre com os alunos ingressantes na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I.
Nos últimos anos, alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral como os de Anton,
Bivens e Davis (2007), Stewart (2006) e Thomas et al (2005) abordam aplicações da
matemática em situações do cotidiano.
Sobretudo para o aluno de Engenharia, a aprendizagem de conceitos matemáticos pode
ser auxiliada ao trabalhar com a aplicação desses conceitos em problemas reais através do uso
da tecnologia, dando mais sentido para essa aprendizagem.
Zbiek e Conner (2006) destacam alguns objetivos a serem alcançados ao se trabalhar com
a Modelagem Matemática em sala de aula, como, por exemplo, preparar os alunos para
trabalhar profissionalmente com a Modelagem, motivar os alunos mostrando para eles as
aplicabilidades das idéias matemáticas no mundo real, e fornecer oportunidades para que os
estudantes a integrem com outras áreas do currículo.
Os apontamentos acima nos levaram a interagir com professores da área para levantar
dados, informações e problemas relacionados especificamente com a área de Engenharia
Elétrica com a finalidade de construir modelos matemáticos que utilizam conceitos do
Cálculo Integral e Diferencial I. Na seção 3 detalhamos duas aplicações da Engenharia
Elétrica relacionadas com a disciplina Cálculo Diferencial e Integral I.
2
OBJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é favorecer o processo de ensino e aprendizagem da
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, sobretudo para alunos do curso da Engenharia
Elétrica, por intermédio de assuntos relacionados com a realidade do curso.
Podemos destacar como objetivos complementares:
 Promover relações entre diferentes disciplinas presentes no currículo;
 Auxiliar o docente no processo de ensino.
 Deixar o aluno mais motivado para a aprendizagem da disciplina
3
APLICAÇÕES
Para esse trabalho abordamos duas aplicações relacionadas com a área de Engenharia
Elétrica. A primeira delas envolveu um experimento realizado para estudar a lei de Ohm e a
segunda foi feita a análise de dados da temperatura e potência levantados por um docente da
Faculdade de Engenharia Elétrica. A seguir detalhamos as duas aplicações.
3.1 Lei de Ohm
Quando uma corrente elétrica é estabelecida em um condutor metálico, um número muito
elevado de elétrons livres passa a se deslocar nesse condutor. Nesse movimento, os elétrons
colidem entre si e também contra os átomos que constituem o metal. Portanto, os elétrons
encontram uma certa dificuldade para se deslocar, isto é, uma resistência elétrica, que pode
ser definida como a capacidade de um corpo qualquer se opor à passagem de corrente elétrica
pelo mesmo. Seu cálculo é dado pela Lei de Ohm.
Neste experimento, discutiremos a Lei de Ohm para resistores ôhmicos e não ôhmicos,
através de gráficos e alguns questionamentos relacionados ao Cálculo Diferencial I. Os
instrumentos utilizados no experimento foram: multímetro e o apinel de acrílico.
O multímetro é destinado a medir e avaliar grandezas elétricas, um Multímetro ou
Multitester é um instrumento que pode ter mostrador analógico (de ponteiro) ou digital.
Aparelho utilizado como voltímetro, amperímetro e ohmímetro por padrão. A função do
Multitester pode ser escolhida através da chave seletora localizada abaixo do painel.
O painel de acrílico para associações de resistores é uma mesa auxiliadora para a
utilização de resistores e outros cálculos relacionados a estes.
Os procedimentos realizados estão listados abaixo.
Procedimento 1
Medir dez valores de V (diferença de potencial) entre 1,0 e 10,0 volts e obter o valor de I
(corrente na escala mA) no amperímetro (Tabela 1) e o gráfico correspondente obtido no
Excel (Figura 1).
Tabela 1- Dados referentes ao procedimento 1
Va
Iab
b (V)
(mA)
1,0
9,9
20,
2,0 6
29,
3,0 7
39,
4,0 6
49,
5,0 2
58,
6,0 8
68,
7,0 5
77,
8,0 7
87,
9,0 1
10,
96,
0
6
Vab (V) X Iab (mA)
12,0
10,0
Vab (V)
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0
20
40
60
80
100
120
Iab (mA)
Figura 1 – Gráfico relacionando tensão e corrente entre os pontos a e b
Este procedimento pode suscitar as seguintes questões:
1) Ache o coeficiente angular e linear da reta:
Coeficiente linear (onde a reta intercepta o eixo y) = 0
Coeficiente angular = ΔV / ΔI = V – Vo / I – Io = 8 - 2,4 / 77,7 - 24 = 0,104
2) Qual é a equação da reta?
f(x) = ax + b
f(x) =0,104*x + 0
onde, o f(x) é a voltagem entre a e b (Vab) e o x é a corrente entre a e b (Iab).
Logo, a equação da reta é V(I) = 0,104*I .
Pela Primeira Lei de Ohm, sabemos que a diferença de potencial, V, dividido pela
corrente eléctrica, I , é resistência do resistor, R (1).
(1)
Então pela equação da reta obtida, deduzimos que o coeficiente angular dela (0,104) é o
valor da resistência, já que esta grandeza é constante. E podemos também observar que se
multiplicarmos a voltagem com a corrente experimentais, a resistência obtida será valores
próximos ao do coeficiente angular.
Procedimento 2
Integrando uma lâmpada ao circuito, fazer uma nova tabela envolvendo voltagem e
corrente (Tabela 2) e o gráfico correspondente obtido no Excel (Figura 2).
Tabela 2- Dados referentes ao procedimento 2
Vab
(V)
Iab
(A)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0,32
0,57
0,74
0,83
0,98
1,06
1,16
1,28
1,38
1,48
Vab (V) X Iab (A)
12,0
10,0
Vab (V)
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Iab (A)
Figura 2 – Gráfico relacionando tensão e corrente entre os pontos a e b com a presença de
uma lâmpada
Qual a diferença entre os gráficos da Figura 1 e Figura 2?
O gráfico da Figura 1 é uma reta, logo obedece a Lei de Ohm (R = constante), já o
gráfico da Figura 2 não obedece esta lei, pois sua resistência é variável, devido a presença da
lâmpada.
Através de estudos experimentais, Georg Simon Ohm concluiu que, mantendo-se a
temperatura constante, a resistência elétrica de alguns condutores, como os metais e a grafite,
não variam quando se modifica a tensão nos seus terminais. Tais condutores são denominados
condutores ôhmicos ou lineares. Os demais condutores são denominados não ôhmicos ou não
lineares, como, por exemplo, gás contido em um tubo de iluminação.
Qual o valor da resistência da lâmpada?
O aumento da temperatura no filamento da lâmpada aumenta a sua resistência, pois a
curva de U x I acentua-se à medida que a corrente aumenta. Isto se deve ao fato que o
filamento sofre um aquecimento, pois ele é basicamente um metal, este aquecimento aumenta
sua resistividade elétrica.
O experimento permite concluir que certos tipos de materiais não obedece à lei de Ohm,
isto é, não possuem um comportamento linear.
3.2 Temperatura e potência
A Tabela 3 apresenta os dados referentes às variações na potência e na temperatura ao
longo do tempo obtidas por um sensor instalado na praça da alimentação da universidade em
questão no dia 08 de outubro de 2008. O evento 0 corresponde a hora 17,26, o evento 1
corresponde a 17, 27 e assim por diante.
Tabela 3 – Dados da temperatura e potência medidos por alunos da Engenharia Elétrica
Evento
Temperatura média
Potência média(W)
Potência média (dBm)
0
21,0667
7,92383E-09
1
21,16
9,02023E-09
-52,16666667
-51
2
21,2
9,58866E-09
-50,2
3
21,2
1,04315E-08
-49,83333333
4
21,2
9,52023E-09
-50,4
5
21,2667
6,02449E-09
-53,5
6
21,2
3,77204E-10
-64,4
7
21,2
4,90149E-10
-63,2
8
21,2
4,57391E-10
-64,16666667
9
21,2
2,73992E-09
-57,4
10
21,24
3,95043E-09
-56,6
11
21,2
3,69848E-09
-54,5
12
21,2
5,11863E-09
-53
13
21,2
4,18821E-09
-53,83333333
14
21,2
3,35972E-09
-54,8
15
21,2
4,44677E-09
-53,6
16
21,1667
3,87994E-09
-54
17
21,2
3,4898E-09
-54,6
18
21,2
2,30524E-09
-56,4
19
21,2
5,11897E-09
-54
20
21,12
8,76597E-09
-50,6
21
21,12
0,00000001
-50
22
21,2
1,00888E-08
-50
23
21,16
1,06244E-08
-49,8
24
21,1
1,00888E-08
-50
25
21,12
8,76597E-09
-50,6
26
21,16
1,10357E-08
-49,6
27
21,1
1,12946E-08
-49,5
28
21,2
2,16719E-09
-57,6
29
21,12
4,26288E-09
-54,4
30
21,1334
5,66072E-09
-52,5
31
21,12
6,63632E-09
-51,8
32
21,08
6,96306E-09
-51,6
33
21,0334
6,30957E-09
-52
34
21,08
6,30957E-09
-52
35
21,0667
5,54492E-09
-52,66666667
36
21,12
4,43579E-09
-53,6
37
21
2,04393E-09
-63,4
38
21,0334
1,23936E-11
-84
39
21,04
7,51832E-12
-84,5
40
20,96
6,70729E-12
-85,2
41
21,4857
3,75721E-11
-75
42
21,76
2,80944E-11
-80,2
43
21,92
1,53438E-11
-83,2
44
22
8,78549E-12
-82,5
45
22
6,39256E-12
-86,6
46
22,04
4,08675E-11
-75,8
47
22
7,27815E-10
-69,33333333
48
22
8,92917E-10
-66,2
49
22
0,000166667
-57,5
Com esses dados em mão, primeiramente tentamos explorar a possibilidade de relacionar
temperatura e potência através da opção análise de tendência da planilha Excel. Entretanto, a
análise mostrou nenhuma relação entre essas variáveis, fato que pode ser confirmado com o
docente responsável pelos dados.
Diante dessa situação, decidimos analisar essas variáveis separadamente por intermédio
de gráficos obtidos na planilha Excel (Figura 3 e Figura 4).
Evento X Temperatura (ºC)
22,2
22
Temperatura (ºC)
21,8
21,6
21,4
21,2
21
20,8
0
10
20
30
40
50
60
Eventos
Figura 3 – Gráfico relacionando a temperatura ao longo do tempo
Eventos X Potência (dBm)
0
0
10
20
30
40
50
60
-10
-20
Potência (dBm)
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
Eventos
Figura 4 – Gráfico relacionando a potência (intensidade de sinal) ao longo do tempo
Algumas questões foram formuladas:
1) O gráfico da temperatura em função do tempo sugere a forma analítica de uma função?
Qual? Caso não seja possível, a função por partes pode ser considerada?
2) A função é periódica? É contínua?
3) Em quais intervalos a função é crescente ou decrescente?
4) Qual o ponto de mínimo e de máximo?
5) Calcule os limites à direita e à esquerda em alguns períodos de tempo.
Analogamente, essas questões podem ser formuladas para o gráfico da potência em
função do tempo.
Além das questões propostas acima, decidimos validar que o valor médio de uma função
contínua (supondo neste caso as funções temperatura e potência) no intervalo [a,b] é dado por
(2).
b
M( f ) 
1
f ( x )dx
b  a a
(2)
Supondo que não temos a foram analítica da função que representa os dados de
temperatura da Tabela 3 vamos aproximar a integral pela Regra do Trapézio, dada por (3).
b
T   f ( x)dx 
a
h
 f ( x0   2 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ....  2 f ( xn1 )  f ( xn ))
2
(3)
onde h é a diferença entre os intervalos de tempo
Através da Regra do Trapézio obtemos (4).
T = 1/2 ( 21,0667 + 2*21,16 + 2*21,2 + . . .+ 2*22 + 22)
(4)
T = 1042,6393
Pelo valor médio temos (5).
M(f ) 
1
T , onde a = 0 e b = 49
ba
(5)
Assim, M(f) =1042,6393 / (49 – 0), ou seja, M(f) = 21,1702
Então, a média da temperatura através da Regra do Trapézio é 21,1702°C.
Se considerarmos todos os pontos, obtemos que a temperatura média é 21,283454°C.
Podemos observar que os valores obtidos (pelo teorema e pela média) são bastante próximos.
Repetindo o raciocino acima para a potência (intensidade de sinal) em dBm, temos que:
Através da Regra do Trapézio obtemos (6).
P = 1/2 (-52,1667+ 2*(-51) + 2* (-50,2)+ . . .+ 2*(-66,2) + (-57,5) )
P = -2918,4667
(6)
Pelo valor médio temos (7).
M(f ) 
1
P , onde a = 0 e b = 49
ba
(7)
Assim, M(f) = - 2918,4667 /(49 – 0), ou seja, M(f) = - 59,5605449.
Se considerarmos todos os pontos, obtemos que a potência média é -59,466 dBm.
Podemos observar que os valores obtidos (pelo teorema e pela média) são bastante próximos.
4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho é fruto de algumas inquietações a respeito do ensino e aprendizagem da
disciplina de Cálculo I nas engenharias. É comum encontrarmos elevados índices de
reprovação nessa disciplina pelos alunos desses cursos. Dessa forma, se faz necessário
investir em outras estratégias de ensino e aprendizagem, como por exemplo, o uso das
tecnologias e da Modelagem Matemática. O uso das tecnologias, porque cada vez mais essa
área nos surpreende com diversas inovações, úteis para o aprendizado. A utilização da
Modelagem Matemática se justifica porque possibilita o tratamento de situações reais,
resgatando a investigação, a construção dos conteúdos matemáticos, a reflexão e a
argumentação critica.
Como destaca Blum (1995), a motivação para aprender matemática, a facilitação para
essa aprendizagem, a preparação para a utilização da matemática em diferentes áreas do
conhecimento, e o desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do
papel da matemática na sociedade, são argumentos favoráveis para a abordagem da
modelagem matemática na sala de aula. E nessa mesma linha, Zbiek e Conner (2006), além de
reforçar a motivação para a aprendizagem, a partir da visualização das aplicabilidades da
matemática no mundo real, vêem na preparação dos alunos para trabalhar profissionalmente
com a modelagem e na possibilidade da integração da matemática com outras áreas do
conhecimento, outros fatores que contribuem favoravelmente para a adoção da modelagem
como estratégia pedagógica.
Nessa direção, entramos em contato com professores do curso de Engenharia Elétrica que
ministram disciplinas da área para obter problemas e dados da área. Este contato c permitiu
contextualizar alguns conteúdos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Ao mesmo
tempo que o processo da Modelagem Matemática proporcionou ter uma visão de caráter
prático e utilitário da Matemática, desenvolvendo uma visão crítica quanto ao resultado
obtido.
Embora seja bastante presente o desejo dos alunos pela associação entre a realidade e os
conteúdos matemáticos vistos na sala de aula (FERREIRA; BRUMATTI, 2009a), é também
grande a dificuldade de concretizar essa associação. Essa dificuldade pode ser explicada por
diversos motivos, como por exemplo, a carga excessiva de trabalho do professor; a
dificuldade dos alunos em conteúdos matemáticos (FERREIRA; BRUMATTI, 2009b); a
exigência do ambiente de trabalho, restando pouco tempo para os afazeres escolares.
Relacionar o conteúdo matemático com o dia-a-dia do trabalho não é uma tarefa fácil, já
que, além da rigidez que em geral caracteriza os currículos, tal relacionamento exige, dos
alunos, tempo disponível para atividades externas (pesquisas, trabalhos em grupo, visitas a
empresas ou entidades, etc.) que extrapolam o cotidiano da sala de aula. Essa situação se
agrava em cursos noturnos, onde a maioria dos alunos trabalha durante o dia e não dispõe de
tempo para atividades extraclasse.
Acreditamos, entretanto, que, mesmo com essas dificuldades, esse relacionamento entre a
matemática curricular e a realidade do aluno, além de atender a alguns dos anseios da
comunidade estudantil, contribui para tornar a aprendizagem mais significativa e,
conseqüentemente, proporciona melhores resultados acadêmicos.
A pesquisa apenas está iniciando com a apresentação de conteúdos da disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I com assuntos da Engenharia Elétrica. Os exemplos ilustrados
na seção 3 podem ser úteis tanto para os docentes da disciplina como para os alunos do curso.
Entretanto, a pesquisa deve continuar na direção de construir outros exemplos, bem como
envolver os alunos no ambiente da Modelagem Matemática, para que eles mesmos possam
construir os seus próprios modelos, favorecendo a construção de um ambiente onde os alunos
façam simulações e analogias, na medida em que um mesmo modelo pode ser útil na
representação de diferentes situações, auxiliando os alunos na identificação de aplicações em
outras áreas do conhecimento e em diferentes contextos.
5
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte, 8 ed., Porto Alegre:
Bookman, 2007. 581 p.
BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. 389 p.
BLUM, W. Applications and Modeling in mathematics teaching and mathematics education –
some important aspects of practice and of research. In: SLOYER, C. et al (Eds.). Advances
and perspectives in the teaching of Mathematical modeling and Applications. Yorklyn,
DE: Water Street Mathematics, 1995, p. 1-20.
FERREIRA; D. H. L.; BRUMATTI, R. N. M. Vantagens e dificuldades em trabalhar com
problemas reais no ensino da Matemática, Anais do VI Congresso Iberoamericano de
Educación Matemática, Puerto Montt, Chile, 2009a, p. 1692-1698
FERREIRA, BRUMATTI, R. N. M. Um olhar voltado para alunos com dificuldades em
Matemática num curso de Engenharia Elétrica, Anais do VI Congresso Iberoamericano de
Educación Matemática, Puerto Montt, Chile, 2009b, p. 949-955.
SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica, Papirus, 2001. 160 p.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Pioneira, 2006. 581 p.
THOMAS, G. B.; FINNEY, R. L.; WEIR. M. D.; GIORDANO, F. R. Cálculo. 10 ed. São
Paulo: Addison Wesley, 2005. 660 p.
ZBIEK, R. M., CONNER, A. Beyond Motivation: exploring mathematical modeling as a
context for deepening students’ understanding of curricular mathematics. Educational
Studies in Mathematics. v. 63, n. 1, p. 89-112, 2006.
DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS I IN ELECTRICAL
ENGINEERING
Abstract: Many researches have show that the Engineering Course students usually present
many difficulties at the discipline of Differential and Integral Calculus I, it is possible that
one of the reasons for that is related to the difficulties in mathematical contents brought in
from previous education levels and, on the other hand, for having being taught at an out of
reality context. In such sense, we approach in the article some real applications at the
Electrical Engineering Course related to the subject discipline in such a way that the student
can envision the connection with the chosen course and, at the same time help the teacher on
its activities.
Key words: Teaching and learning, Calculus I, Electrical Engineering