Lista 4 - Instituto de Matemática

INSTITUTO DE APLICAÇ ÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA
Disciplina: Matemática
Professor: Marcello Amadeo
Série: 9º ano / EF
Aluna(o): __________________________________________________
Turma: _____
LISTA 3 – SEMELHANÇA
FIGURAS SEMELHANTES
Em Matemática, quando usamos medidas proporcionais para desenhar figuras, ampliando-as ou reduzindo-as,
dizemos que são figuras semelhantes. A semelhança de figuras é usada na construção de mapas, de maquetes de
prédios, em fotografias e em muitas outras situações.
Cópia reduzida do
desenho
Desenho original
Cópia ampliada do desenho
FIGURAS SEMELHANTES
Dizemos que duas figuras têm a mesma forma ou são semelhantes quando:
 Todos os ângulos correspondentes têm medidas iguais e
 As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais.
Pentágonos semelhantes
Decaedros semelhantes
1
Os retângulos representados a seguir têm ângulos congruentes e seus lados homólogos (correspondentes) são
proporcionais. Nesse caso os retângulos são semelhantes.
ETIMOLOGIA
Em matemática, existem duas
possíveis origens para o uso
da palavra homólogo.
Os lados homólogos
são proporcionais
3 6
=
2 9
Homólogo = homo + logos
Homo (grego, ὁμο): mesmo
Logos (grego, λόγος): razão
Homólogo = homo + locus
Homo (grego): mesmo
Locus (latim): lugar
Já os retângulos a seguir têm ângulos congruentes, mas seus lados formados por
vértices correspondentes (lados homólogos) não são proporcionais. Logo, esses
retângulos não são semelhantes.
Os lados homólogos
não são proporcionais
15 50
≠
20 50
RAZÃO DE SEMELHANÇA
Dois polígonos são semelhantes quando têm seus ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais.
A razão entre qualquer lado de um polígono e seu lado homólogo é denominada de razão de semelhança.
SEMELHANÇA ENTRE POLÍGONOS
Dizemos que dois polígonos são semelhantes se possuem ângulos iguais e lados respectivamente
proporcionais. Intuitivamente, isto quer dizer que os polígonos possuem o mesmo “formato”, embora não
necessariamente o mesmo “tamanho”.
D'
D
C






C'


B
A
B'
A'
Os lados situados entre ângulos respectivamente iguais são chamados de lados homólogos. Assim, na figura
anterior, o homólogo de ̅̅̅̅
AB é ̅̅̅̅̅
A′B′, o homólogo de ̅̅̅̅
BC é ̅̅̅̅̅
B′C′, e assim por diante. Ainda, a razão entre dois lados
homólogos quaisquer é chamada razão de semelhança.
Por exemplo, os pentágonos ABCDE e A′ B ′ C ′ D′ E′ representados a seguir, são semelhantes:
Assim, a razão de semelhança entre os pentágonos é dada por:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
= = = = =𝑘
𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ 𝑑′ 𝑒′
2
EXERCÍCIOS
7 questões
1) Sabendo que os trapézios da figura são
semelhantes:
5) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a
rua “B”, como na figura. As divisas laterais são
perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de
cada lote de frente para a rua “B”, sabendo-se
que a frente total para essa rua é 120m?
̂, M
̂, G
̂ e P
̂.
a) Dê a medida dos ângulos D
6) Observe os dois retângulos semelhantes a
seguir e calcule o que se pede:
b) Determine a medida do lado ̅̅̅̅
DG.
2) As medidas dos lados de um quadrilátero são
8cm,10cm, 12cm e 14cm. Quais as medidas
desses lados numa ampliação de 2 para 3?
a) Razão de semelhança entre o primeiro e
o segundo retângulo:
b) Razão dos perímetros entre o primeiro e
o segundo retângulo:
3) Os paralelogramos a seguir são semelhantes?
Justifique sua resposta.
c) Razão das áreas entre o primeiro e o
segundo retângulo:
7) Observe os dois retângulos semelhantes a
seguir e calcule o que se pede:
4) As figuras ao lado são semelhantes. Determine
a medida x indicada.
a) Razão de semelhança entre o primeiro e
o segundo retângulo:
b) Razão dos perímetros entre o primeiro e
o segundo retângulo:
c) Razão das áreas entre o primeiro e o
segundo retângulo
3
PERIMETRO E ÁREA: INICIAÇÃO AO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
Após esses exercícios estamos induzidos a enunciar os seguintes resultados:
PERÍMETRO DE FIGURAS SEMELHANTES
Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão de semelhança entre os polígonos.
Observe no caso de dois triângulos semelhantes, podemos fazer uma breve demonstração desse fato.
Sejam ABC e A’B’C’ triângulos semelhantes cuja razão de semelhança seja um número k.
Tente acompanhar o seguinte raciocínio matemático:
𝑎
= 𝑘 ⇒ 𝑎 = 𝑘𝑎′
𝑎′
𝑏
= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑏 ′
𝑏′
𝑐
= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑐 ′
𝑐
𝑑
= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑑′
𝑑
(1)
(2)
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑘𝑎′ + 𝑘𝑏 ′ + 𝑘𝑐 ′ + 𝑘𝑑′
(1)+(2)+(3)+(4)
⇒
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑘(𝑎′ + 𝑏 ′ + 𝑐 ′ + 𝑑′ )
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
=𝑘
+ 𝑏′ + 𝑐′ + 𝑑′
(3)
𝑎′
(4)
Isto é, mostramos que a razão entre os perímetros de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
= ′= ′= ′
=𝑘
′
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 + 𝑏′ + 𝑐 ′
Note que para o caso de quadriláteros, o raciocínio algébrico seria o mesmo:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
=
=
=
=
𝑘
⇒
=𝑘
𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑′
𝑎′ + 𝑏 ′ + 𝑐 ′ + 𝑑 ′
Assim como para o caso de pentágonos semelhantes:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒
=
=
=
=
=
𝑘
⇒
=𝑘
𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑑 ′ 𝑒 ′
𝑎′ + 𝑏 ′ + 𝑐 ′ + 𝑑 ′ + 𝑒′
E, analogamente, para qualquer outro par de polígonos semelhantes:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑧
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + (… ) + 𝑧
=
=
=
(…
)
=
=
𝑘
⇒
=𝑘
𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′
𝑧′
𝑎′ + 𝑏 ′ + 𝑐 ′ + (… ) + 𝑧 ′
ÁREA DE FIGURAS SEMELHANTES
Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança entre os
polígonos.
Podemos fazer um raciocínio semelhante para justificarmos o resultado relativo às áreas de figuras semelhantes.
Para tanto, considere novamente dois triângulos ABC e A’B’C’ semelhantes, cuja razão de semelhança seja k.
4
Note que as alturas h e h’, relativas às bases c e c’, respectivamente, também respeitam a mesma razão de
semelhança k, isto é:
𝑐
=𝑘
e
𝑐 = 𝑘𝑐′
e
𝑐′
Que poderia equivalente a:
ℎ
ℎ′
=𝑘
ℎ = 𝑘ℎ′
As áreas dos triângulos seriam:
Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶
=
𝑐⋅ℎ
2
e
Á𝑟𝑒𝑎𝐴′𝐵′𝐶′
=
𝑐′⋅ℎ′
Portanto, a razão entre as áreas ficaria:
Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶
Á𝑟𝑒𝑎𝐴′𝐵′𝐶′
=
2
𝑐ℎ/2
𝑐 ⋅ ℎ 𝑘𝑐′ ⋅ 𝑘ℎ′
=
=
= 𝑘 ⋅ 𝑘 = 𝑘2
𝑐 ′ ℎ′ /2 𝑐 ′ ℎ′
𝑐′ ⋅ ℎ′
Analogamente, podemos adaptar o mesmo raciocínio para qualquer outro polígono.
EXERCÍCIOS
6 questões
8) Um retângulo cuja medida da base é 7 cm e a
da altura é 12 cm é semelhante a outro
retângulo com 6 de altura. Qual a razão entre
a área do primeiro retângulo e a do segundo?
11) Os pentágonos ABCDE e A’B’C’D’E’
desenhados abaixo são semelhantes. Calcule
os valores de x e y.
9) As áreas de dois polígonos semelhantes estão
entre si na razão 144 ∶ 25. Qual a razão de
semelhança entre os polígonos semelhantes?
12) Um lado de um triângulo mede 45m. Num
triângulo semelhante, o lado correspondente
mede 30m. Se o perímetro do primeiro é de
120m, o do segundo é de:
(A) 80m.
(B) 50m.
(C) 70m.
(D) 100m.
10) Os trapézios ABCD e MNOP são semelhantes.
A razão de semelhança entre ABCD e MNOP
é 0,25. Se o perímetro de MNOP é igual a 48,4
cm, qual é o perímetro de ABCD?
13) Os perímetros de dois triângulos semelhantes
estão entre si na razão 4: 3. Os lados do maior
medem 8cm, 6cm e 10cm. Determine as
medidas dos lados do triângulo menor.
5
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
O caso de semelhança em triângulos segue uma particularidade bastante conveniente, enunciada abaixo:
TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os ângulos correspondentes são congruentes ou os lados
homólogos proporcionais.
Pela própria definição de semelhança entre polígonos, temos que dois triângulos semelhantes têm ângulos
correspondentes congruentes (mesma medida) e ângulos congruentes proporcionais.
No entanto, a expressão se, e somente se, quer dizer que a recíproca também é verdadeira, isto é:
I.
Se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
II.
Se dois triângulos têm lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.
Observe a justificativa desse teorema, a começar com um triângulo ABC cortado por uma reta DE, paralela a BC.
Separando os
triângulos
Observe que:
̂≡A
̂
A
(ângulo comum aos dois triângulos)
̂≡D
̂
B
(ângulos correspondentes)
̂
Ĉ ≡ E
(ângulos correspondentes)
Para provar que os lados homólogos são proporcionais, traça-se por E, no triângulo
ABC, a reta ⃡EF paralela a ⃡EF, com F ∈ ̅̅̅̅
BC e aplica-se o teorema de Tales:
AD AE BF
=
=
AB AC BC
̅̅̅̅ ≡ DE
̅̅̅̅ e logo:
Sendo DBFE um paralelogramo, então BF
AD AE DE
=
=
AB AC BC
Donde se conclui que os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
6
SE E SOMENTE SE
Em matemática, a expressão
se, e somente se, quer dizer
que há uma equivalência
entre o que vem antes e o que
vem depois da expressão, isto
é, elas são equivalentes.
[1] se, e somente se [2]
Quer dizer:
[1] ⇒ [2]
[1] ⇐ [2]
Observe o triângulo a seguir, com seus ângulos e lados com medidas aproximadas:
Note que os ângulos homólogos têm mesma medida:
𝛼1 = 𝛼2 = 56,13°
𝛽1 = 𝛽2 = 36,04°
𝛾1 = 𝛾2 = 87,82°
A menos de aproximação, a razão entre os lados homólogos é constante:
5,54
= 2,0
2,77
3,93
≅ 2,0
1,96
EXERCÍCIOS
26 questões
14) Na figura, determine as medidas x e y, sabendo
̅̅̅̅.
̅̅̅̅ // CD
que BE
6,67
≅ 2,0
3,33
17) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura
mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a
sombra projetada de um poste mede 2,00 m.Se,
mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50
centímetros, a sombra da pessoa passou a medir:
(A) 30 cm
(B) 45 cm
(C) 50 cm
(D) 80 cm
(E)90 cm
18) Sabendo-se que um poste de 6m projeta uma
sombra de 4,0m, a altura de um prédio que projeta
uma sombra de 124m mede:
(A) 82,6cm
(B) 31m
(C) 186m
(D) 20,6m
15) Sabendo que ̅̅̅̅
DE // ̅̅̅̅
BC , utilize o teorema
fundamental da semelhança para determinar x e y.
̅̅̅̅ // ED
̅̅̅̅ . Os
19) Observe a figura abaixo, onde AB
valores de x e de y, são, respectivamente:
16) Para determinar a altura de um edifício, seu
zelador usou um artifício. Mediu a sombra do
prédio, que deu 6 metros, e mediu sua própria
sombra, que deu 0,20 metros. Sabendo-se que
sua altura é 1,60 metros, qual a altura do prédio?
(A)
(B)
(C)
(D)
7
7,5 e 12,5
12.5 e 7,5
14,7 e 24,5
24,5 e 14,7
20) Um triângulo de lados a = 6, b = 8 e c = 11 é
semelhante a outro de lados x, y e z. Se o lado x
corresponde ao lado a e x = 3, temos:
(A) y = 3 e z = 4.
(B) y = 5 e z = 4.
(C) y = 5 e z = 3.
(D) y = 4 e z = 5,5.
24) Qual é, em cm, o perímetro do triângulo ABP na
figura abaixo?
2cm
A
P
6cm
20º
C
21) Calcule o valor numérico de x e y na figura a
seguir. (Sugestão, separe os triângulos BCA e
DEA)
20º
16cm
B
25) Considere o triângulo ACD desenhado abaixo.
Determine a medida do lado ̅̅̅̅
AD.
26) Observe os triângulos representados abaixo, onde
̂ e B
̂ assinalados são congruentes.
os ângulos A
Calcule O perímetro do menor triângulo.
22) Na figura abaixo, calcule os valores de a e de b.
27) As bases de um trapézio medem 8 dm e 12 dm.
Os lados não paralelos medem 3 dm e 5 dm.
Prolongam-se os lados não paralelos até se
encontrarem. Calcule a medida dos dois lados do
menor triângulo assim obtido. (Sugestão:
prolongue os lados não paralelos do triângulo para
formar dois triângulos semelhantes)
23) Determine o valor de x e y nos triângulos abaixo.
28) Sendo ABCD um trapézio e ̅̅̅̅̅
MN // ̅̅̅̅
AB, calcule o
̅̅̅̅̅
comprimento de MN na figura, sabendo que todas
as medidas estão em centímetros.
8
29) Observe a figura abaixo, onde AD = 4cm, DE =
̅̅ // FB
̅̅̅̅ // ̅̅
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅
9cm, FC = 27cm e BD
CE
AG. Então,
̅̅̅̅ mede:
GC
33) No interior de um triângulo retângulo foram
colocados dois retângulos congruentes, como
mostra a figura abaixo. Se cada retângulo
possui dimensões 6 cm e 16 cm, determine o
valor de x.
A
G
B
F
D
E
C
(A) 60,75cm
(B) 39cm
(C) 12cm
(D) 15cm
30) Na figura, temos ̅̅̅̅
AB // ̅̅̅̅
CD. Calcule o valor de x:
C
4
D
P
34) Dada a figura abaixo, tem-se que:
A
12
8
x
B
̅̅̅̅ // CD
̅̅̅̅, calcule o valor de x na
31) Sabendo que AB
figura:
A
12
x
(A)
(B)
(C)
(D)
B
P
n = 9,6 e h = 7,2
m = 5,4 e h = 8,4
a = 14 e m = 9,6
h = 7,2 e n = 5,4
9
D
18
C
35) Observe a figura e assinale a alternativa falsa:
P
R
Q
x
32) Na figura, o quadrado DEFG está inscrito no
triângulo ABC. Sabendo que BD = 3,6cm e CE =
1,6cm, calcule a medida do lado do quadrado.
y
z


A
m
(A)  PAC   QBC
(B)  ABQ   ACR
(C)
(D)
9
𝑧
𝑥
𝑧
𝑥
=
=
𝑛
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛
𝑚
B

n
C
38) Na figura abaixo, os triângulos ABC e BDE têm os
ângulos  e Ê congruentes. Sabendo que AD =
8cm, BD = 4cm e BE = 6cm, calcule, em
̅̅.
centímetros, a medida de ̅̅
CE
36) O quadrilátero ABCD representado a seguir é um
paralelogramo. Determine o valor numérico da
medida x.
C
E
A
39) Na figura abaixo, ̅̅̅̅
AD = 8cm, ̅̅̅̅
BD = 3cm e ̅̅̅̅
AE =
̂
̂ a medida de
5cm. Sabendo-se que ABE ≡ ACD
̅̅
̅̅.
CE
̅̅̅̅ é bissetriz dos ângulos A
̂ e
37) Na figura abaixo, AC
Ĉ do quadrilátero ABCD. Calcule o valor de x.
D
A
3x –5
17
B
D
A
E
C
D
19
B
B
EXERCÍCIOS DE REFORÇO
14 questões
40) Os lados de um triângulo ABC medem AB = 8cm,
BC = 18cm e CA = 12cm. Calcule as medidas dos
lados de um triângulo semelhante a esse, cujo
perímetro é 76cm.
42) Os lados de um triângulo ABC medem AB =
12cm, BC = 19cm e AD = 10cm. Sabendo que
ΔABC ~ ΔMNP e que o perímetro do triângulo MNP
é igual a 123 cm, determine a medida dos lados
do triângulo MNP.
B
18cm
C
12cm
C
8cm
A
43) Os lados de um triângulo ABC medem 4cm, 6cm
e 8cm. As medidas dos lados do triângulo
semelhante ao triângulo ABC, cujo perímetro é
22,5cm, são:
(A) 6cm, 10cm e 6,5cm
(B) 5cm, 9cm e 8,5cm
(C) 6cm, 9cm e 7,5cm
(D) 5cm, 10cm e 7,5cm
41) Dois triângulos isósceles são semelhantes e suas
bases medem 14cm e 7cm. Se o perímetro do
segundo triângulo mede 27cm, cada lado
congruente do primeiro mede:
(A) 10 cm
(B) 5 cm
(C) 15 cm
(D) 20 cm
̅̅̅̅ e suas medidas são dadas
̅̅̅̅ é paralelo a BC
44) Se DE
em centímetros, determine x e y nos casos abaixo.
10
47) No triângulo ABC a seguir, as medidas são dadas
em centímetros. Determine a medida do segmento
̅̅̅̅
AE.
48) Seja um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC
medem, respectivamente, 12cm e 5cm. A
mediatriz da hipotenusa BC intercepta ̅̅̅̅
AC no
̅̅̅ mede:
ponto P. Então, ̅PC
(A) 31,2cm
(B) 2,5cm
(C) 16,9cm
(D) 7cm
45) Sabendo que ̅̅̅̅
AB // ̅̅̅̅
CD, calcule o valor de x na
figura:
C
E
A
5
x
10
D
5
B
49) As bases de um trapézio isósceles ABCD medem
50cm e 30cm e a altura, 10cm. Prolongando-se os
lados não paralelos, ̅̅̅
AC e ̅̅̅̅
BD, eles se intersectam
num ponto E. Determine a altura do triângulo ABE
e a altura do triângulo CDE.
46) Na figura ao lado, r // s. t ⊥ s, AB = 21cm e CD =
12cm, calcule o valor numérico de x.
50) Na figura seguinte, sabendo-se que AB = 6cm,
BC = 10cm e AC = 8cm, m e h são,
respectivamente, iguais a:
A
h
m
B
(E)
(A)
(B)
(C)
11
6,4cm
4,8cm
6,4cm
3,6cm
e
e
e
e
3,6cm
3,6cm
4,8cm
4,8cm

D
C
51) Sabendo-se que AB = 3cm, BC = 5cm e AD =
2,4cm, o valor de b na figura abaixo é:
53) Assinale a alternativa que possui medidas
possíveis, para que ̅̅̅̅
FG // ̅̅̅̅
BC:
A
C
b

B
(D)
(A)
(B)
(C)
G
n
C
D
1,44 cm
4,00 cm
6,25 cm
3,30 cm
A
(A)
(B)
(C)
(D)
52) O valor de n na figura anterior é:
(A) 1,80 cm
(B) 1,92 cm
(C) 3,20 cm
(D) 3,00 cm
B
B
AB = 14, AF = 6, AC = 7, AG = 3.
AB = 12, FB = 3, AC = 8, AG = 6.
AF = 6, FB = 5, AG = 9, GC = 8.
AC = 21, GC = 9, AB = 14, AF = 5.
EXERCÍCIOS SUPLEMENT ARES
14 questões
̅̅̅̅ e
54) No trapézio ABCD, o ponto M pertence a AD
2AD
AM =
. O ponto N ∈ ̅̅̅̅
BC e NB = 2NC.
3
D
55) Observe a figura e assinale a alternativa correta:
L
C
G
a
M
N
x
50
A
B
M
̅̅̅̅̅ é paralelo às bases do trapézio.
a) Mostre que MN
b) Sendo AD = 12 cm e BC = 15 cm, calcule as
̅̅̅̅̅
medidas dos segmentos determinados por MN
sobre os lados.
12
(A)
𝑥=
(B)
𝑥=
(C)
𝑥=
(D)
𝑥=
(E)
𝑥=
b
𝑏+𝑐
𝑎𝑐
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
1
𝑎+𝑐
𝑏+𝑐
𝑎𝑐
𝑎𝑐
𝑏+𝑐
50
B
K
c
⃡
̅̅̅̅̅ = 12, a reta AD
59) Num triângulo ABC de lado MN
̅̅̅̅ em dois segmentos
divide internamente o lado BC
̂ = 𝑥 e ACD
̂ = 𝑦, o
̅̅̅̅
BD = 18 e ̅̅̅̅
DC = 6 . Se ABD
̂
ângulo BDA é dado por:
(A) y – x
(B) x + y
(C) 2x – y
(D) 2y – x
(E) 2x + y
56) Na figura a seguir, os quadrados ABCD, EFGC e
MNPG têm os lados medindo b, a e x,
respectivamente. Determine x em função de a e b.
57) No trapézio ABCD representado abaixo de base
menor AB = a, base maior CD = b, altura h, I é o
ponto de interseção das diagonais. O segmento
̅̅̅̅̅, paralelo as bases do trapézio intersecta os
MQ
̅̅̅̅, ID
̅ e BC
̅̅̅̅ nos pontos M, N, P e
̅̅̅, IC
segmentos AD
Q, respectivamente.
a
A
I
x
M
h
B
N
P
Q
60) Mostre que a medida das diagonais de um
D
b
C
pentágono regular de lado x é dada por
𝑥(1+√5)
2
̅̅̅̅̅ = NP
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
58) Se MN
PQ, então a distância x, entre as
̅̅̅̅ e MQ
̅̅̅̅̅ vale:
paralelas AB
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2ah
2a  b
2ah
3a  b
2ah
a  2b
3ah
a  2b
3ah
3a  b
13
.
𝑑=