Geometria : conceitos básicos A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras bidimensionais, isto é, com duas dimensões. As figuras planas são figuras que são dispostas no plano, possuindo duas medidas que são o comprimento e a largura. A geometria plana foi criada pelo matemático Euclides de Alexandria, que tem base nos axiomas e postulados propostos por ele. Por esse motivo, a geometria plana também é chamada de geometria euclidiana. Origem da geometria. https://youtu.be/awQvKJbPMqE Khan academy https://youtu.be/jtaNT_y5qr4 Conceitos Básicos da Geometria Plana No estudo da geometria plana alguns conceitos são aceitos sem que precisamos provar. Esses conceitos são chamados de primitivos ou axiomas, aceito na matemática sem a necessidade de demonstrações. São eles: Ponto O ponto é representado na geometria por letras maiúsculas e é definido por Euclides como algo que não possui partes nem dimensões. Reta A reta é formada por pontos reunidos formando uma linha, sem largura e com comprimento. A reta é infinita para os dois sentidos. Representamos uma reta na geometria por letras minúsculas. As retas podem ser apresentadas nas seguintes posições: •Vertical; •Horizontal; •Inclinada. Existem alguns conceitos que também são estudados na geometria plana envolvendo as retas: •Retas Concorrentes: são retas que se cruzam em um ponto em comum; •Retas Paralelas: são retas que não se cruzam e estão a uma mesma distância no plano para todos os pontos. Plano O plano é formado por uma superfície que contém todos os pontos e retas. O plano possui duas dimensões: comprimento e largura. É representado na geometria por letras do alfabeto grego. As retas concorrentes são classificadas de acordo com os ângulos da seguinte forma: Perpendiculares: quando forma um ângulo reto (ângulo que mede 90°); Oblíquas: quando uma reta cruza a outra de forma não perpendicular. Nas retas concorrentes oblíquas, os ângulos formados pelo cruzamento em um ponto comum as duas retas são diferentes de 90°. Dessa forma, não importa a medida do ângulo para ser oblíqua, ele só tem que ser diferente de 90°. Duas retas concorrentes formam 4 ângulos entre si ao se cruzarem num ponto comum. A partir disso, podemos apresentar alguns conceitos em relação aos ângulos formados. Elementos das Retas As retas não possuem definição na matemática, no entanto, podemos dizer que uma reta é uma figura geométrica unidimensional, ou seja, só possui um dimensão. Portanto, só podemos medir o comprimento dos objetos dentro da reta. Esses objetos são: Semirreta Uma semirreta é definida por dois pontos A e B, onde A é o ponto de origem e B um ponto qualquer. O ponto A, que indica o origem da semirreta, corta a reta de modo que apenas um lado seja infinito. Então, uma semirreta é uma parte da reta, infinita somente de um lado. Exemplo: Segmento de Reta O segmento de reta é outro objeto que podemos destacar numa reta. O segmento de reta é formado por dois pontos A e B, o espaço entre A e B é que chamamos de segmento de reta. Dessa forma, diferentemente das semirretas, os segmentos de reta são finitos. Exemplo: Veja a diferença entre uma semirreta, uma reta e um segmento de reta: Semirreta: possui inicio mas não tem fim, ou seja, é infinita para um lado. Tem somente uma direção e sentido a partir da origem. Veja: Exemplo: Ela é denotada por AB com uma seta em cima indicando a direção. Reta: uma reta é uma linha infinita nos dois sentidos. Uma reta é representada na matemática por letras minúsculas. Além disso, a reta pode ser construída na direção vertical, horizontal ou inclinada. Veja: Exemplo: Segmento de Reta: um segmento de reta é uma parte da reta, ou seja, dado dois pontos A e B numa reta, a parte entre os pontos A e B é chamado de segmento de reta. Veja: Exemplo: Um segmento de reta é denotado por AB com um traço em cima. As retas, os segmentos de retas e as semirretas são muito importantes na Geometria e nos estudo de vetores na Física. Tipos de Segmentos de Retas Podemos ser classificá-los de acordo com sua disposição no plano. Vamos ver todos os tipos a seguir: Segmentos Consecutivos: São os segmentos que possuem um ponto em comum, ou seja, dois ou mais segmentos possuem um ponto comum que é compartilhado entre eles. Veja na imagem a seguir: Os segmentos [AB] e [BC] compartilham o ponto B. Os segmentos [DE], [EF] e [EG] compartilham o ponto E. Os segmentos [HI] e [IJ] compartilham o ponto I. Segmentos Colineares: São chamados de colineares quando eles compartilham a mesma reta, ou seja, pertencem a mesma reta ou passa pela mesma reta. Veja: Segmentos Adjacentes: São chamados de ajacentes quando eles são, ao mesmo tempo, consecutivos e colineares. Esse tipo de segmento pode possuir um ou mais pontos em comum e deve, necessariamente, pertencer a mesma reta. Veja um exemplo na imagem: Ponto Médio do Segmento Quando temos um segmento de reta e entre eles um ponto qualquer, esse ponto é o ponto médio do segmento se ele dividir o segmento exatamente ao meio. Dessa forma, o ponto médio forma dois segmentos simétricos. Na imagem, M é o ponto médio se os segmentos AM e MB forem congruentes, ou seja, se tiver a mesma medida. Sendo assim, M divide o segmento AB exatamente ao meio. Em um triângulo retângulo, o segmento de reta AB, que representa a hipotenusa, tem como ponto médio M se M divide o segmento AB na metade. Exemplo: Isso pode ser demonstrado se pegarmos o triângulo retângulo acima, transformá-lo em dois, unirmos as hipotenusas formando um retângulo. O ponto M, que divide a hipotenusa na metade, ficará no centro do retângulo. Assim, M é o ponto médio da hipotenusa do triângulo ABC. Então, se AD = BC e AM = AD/2, logo AM = BC/2 Ângulos O ângulo é a região compreendida entre dois segmentos de retas que possuem um mesmo ponto em comum. Os ângulos são medidos em graus ou radianos. Essa medida é a abertura entre os dois segmentos de retas. O nome ângulo serve para nomear a região entre as semirretas que compartilham o mesmo vértice. Além disso, a palavra ângulo também serve para referir a medida equivalente a abertura dessa região. É importante dizer que podemos ter uma medida para os ângulos entre 0° e 360°. 360° corresponde em radianos a 2π rad e 180°, que é a metade de 360°, corresponde em radianos a π rad. Tipos de Ângulos São classificados de acordo com suas medidas em agudos, retos, obtusos e rasos. Ângulo Agudo Qualquer ângulo que mede menos de 90°. Dessa forma, qualquer ângulo entre 0° e 90° é agudo. Exemplo: O ângulo AÔB é agudo. Ângulo Reto Este é único, um dos mais importantes no estudo dos ângulos. E mede exatamente 90°. Exemplo: O ângulo AÔB é reto. Ângulo Obtuso Qualquer ângulo compreendido entre 90° e 180°. Exemplo: O ângulo AÔB é obtuso. Ângulo Raso O ângulo raso, assim como o reto, é único e mede 180°. O ângulo raso também é conhecido como meia volta. Exemplo: O ângulo AÔB é raso. Complementares São ângulos cuja soma equivale a 90°. Como o próprio nome diz, eles se complementam. Exemplo: Suplementares São ângulos cuja soma equivale a 180°. Exemplo: Adjacentes São ângulos que compartilham o mesmo lado e o mesmo vértice, porém não podem conter pontos internos em comuns. Podemos ter adjacentes complementares cuja soma equivale a 90° e adjacentes suplementares cuja soma equivale a 180° Exemplo: Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. O lado OB é comum a eles, além do vértice O. As regiões internas deles não possuem nenhum ponto em comum que pertença as duas regiões dos dois ângulos ao mesmo tempo. Congruentes São ângulos que possuem as mesmas medidas. Exemplo: Consecutivos Este tipo de ângulo compartilha um mesmo lado e também um mesmo vértice. Exemplo: O ângulo AÔC e o BÔC são consecutivos, pois possuem o lado OC e o vértice O em comum. Opostos pelo Vértice São ângulos que ficam do lado oposto do vértice. Exemplo: O ângulo AÔC e o BÔD são opostos pelo vértice O. 1) Determine a medida do angulo AÊD da imagem abaixo: Sabemos que os ângulos opostos pelo vértice são iguais, assim: 2x + 30 = x + 40 ⇒ 2x – x = 40 – 30 ⇒ x = 10 Logo, substituindo em 2x + 30, temos que: 2 . 10 + 30 = 50 Portanto, o ângulo AÊD mede 50°. Área Área é uma medida usada para definir o tamanho da superfície de uma figura. A área é calculada usando as medidas de comprimento e largura das figuras geométricas. Leia mais sobre como calcular a área de figuras planas: Figuras Geométricas Planas As principais figuras da geometria plana são: triângulo, quadrado, retângulo, círculo, trapézio e losango. Triângulo O triângulo é um polígono que possui três lados. O lado maior é a hipotenusa, os outros dois são os catetos oposto e adjacente. Os triângulos são classificados em: triangulo equilátero, isósceles e escaleno. •Triângulo Equilátero: são triângulos que possuem todos os lados e ângulos com as mesmas medidas; •Triângulo Isósceles: são triângulos que possuem dois lados e dois ângulos internos com as mesmas medidas; •Triângulo Escaleno: são triângulos em que todas as medidas são diferentes. Os triângulos também são classificados em relação aos seus ângulos internos: •Triângulo Retângulo: são triângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, um ângulo que mede 90°; •Triângulo Obtusângulo: são triângulos que possuem dois ângulos internos menores que 90°, e esses ângulos são chamados de agudos. E possuem um ângulo interno maior que 90°, que é chamado de obtuso; •Triângulo Acutângulo: são triângulos que possuem três ângulos internos menores que 90°. Equilátero São os triângulos que possuem os três lados e ângulos iguais, sendo que os ângulos medem 60º. Escaleno São os triângulos em que todos os lados possuem medidas diferentes. Isósceles São triângulos em que pelo menos dois de seus lados tenham medidas iguais. O ângulo formado pelos lados que têm medidas iguais é chamado de ângulo do vértice. Retângulo São triângulos onde um de seus ângulos mede 90°, conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos são chamados de complementares, cuja soma é igual a 90º. No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os lados adjacente e oposto ao ângulo são chamados de catetos. Obtusângulo São triângulos onde um de seus ângulos mede mais que 90°. Acutângulo São triângulos onde todos os seus ângulos medem menos que 90°. Perímetro O perímetro é a medida equivalente a soma das medidas dos lados de uma figura geométrica. Perímetro do Triângulo O perímetro do triângulo é calculado pela seguinte fórmula: P=a+b+c Onde: •P: é o perímetro; •a, b e c: são as medidas dos lados do triângulo; Perímetro do Quadrado O perímetro do quadrado é calculado pela seguinte fórmula: P=4.L Onde: •P: é o perímetro; •L: é a medida do lado do quadrado; Perímetro do Retângulo O perímetro do retângulo é calculado pela seguinte fórmula: P = 2 (a + b) Onde: •P: é o perímetro; •a e b: são as medidas dos lados do retângulo; 1) Calcule o perímetro do triângulo sabendo que a hipotenusa mede 12 cm, o cateto oposto 6 cm e o adjacente 8 cm. O perímetro do triângulo é a soma das medidas de seus lados: P = 12 cm + 8 cm + 6 cm = 26 cm 2) Um praça possui formato quadrado, com 500 m de lado. Calcule o perímetro desta praça. A praça tem o formato de um quadrado. P = 4 x 500 m = 2000 m 3) Um campo de futebol possui medidas de 70 m de largura e 105 metros de comprimento. Qual seu perímetro? Um campo de futebol tem o formato de um retângulo. Logo: P = 2 x (105 + 70) = 350 m Fonte : https://matematicabasica.net/geometria-plana/
