Aula 2 - Teoria dos Conjuntos - hidrogenio

PRÉ - ENEM
Prof°: Rubem Machado
MATEMÁTICA – REVISÃO
TEORIA DOS CONJUNTOS - AULA 02
 CONCEITO PRIMITIVO
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 SUBCONJUNTOS (Inclusão)
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, ou
seja, são aceitos sem definição.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e
somente se, todo elemento de A, pertence também a B.
𝐴⊂𝐵 ⇔(∀𝑥 ∈ 𝐴 ⇒𝑥 ∈𝐵)
Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos.
 REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO
Existem basicamente três maneiras de representarmos um
conjunto, a saber:
I. Por Extensão (tabular)
𝐸𝑥: 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; … } ;
𝐵 = { 𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢 }
II. Por compreensão (propriedade característica)
𝐸𝑥: 𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 } ;
Propriedades da inclusão
P1) 𝑨 ⊂ 𝑼
P2) 𝑨 ⊂ 𝑨 (𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎)
𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑙 }
P3) (𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑫) ⟹ (𝑨 ⊂ 𝑫) (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
III. Diagrama de Venn-Euler
P4) (𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨) ⟺ (𝑨 = 𝑩)(𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎)
𝐸𝑥: 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 = { 0; 2; 4; 6; 8 }, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
P5) ∅ ⊂ 𝑨; ∀𝑨
P6) 𝑆𝑒 𝑨 possui 𝒏 elementos, então o número de
subconjuntos de 𝑨 é 𝟐𝒏 .
O conjunto formado pelos subconjuntos de 𝑨 é chamado
de Conjunto das Partes de 𝑨. Representamos esse
conjunto por 𝑃(𝐴). 𝐸𝑥: 𝐴 = {1; 2; 3}, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑃(𝐴) = {∅; 𝐴; {1}; {2}; {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}; {1,2,3}}
 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
As relações de pertinência
um elemento a um conjunto.
∈𝑒 ∉
relacionam
𝐸𝑥: 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, podemos afirmar que:
 1∈𝐴
 6∉𝐴
 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
As relações de inclusão ⊂ 𝑒 ⊄ relacionam dois
conjuntos.
Note que o número de elementos de 𝑃(𝐴) é 8, ou seja,
𝑃(𝐴) = 2𝑛 → 23 = 8
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
 UNIÃO (∪)
A união de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto formado por
todos os elementos que pertencem a 𝑨 𝑜𝑢 𝑩, ou seja:
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩}
Propriedades da união
P1) 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨
 CONJUNTO UNIVERSO
É o conjunto que possui todos os
Simbolicamente teríamos ∀ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑈.
P2) 𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒)
elementos.
 CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto no qual apenas um elemento satisfaz a
propriedade característica.
 CONJUNTO VAZIO
É aquele que não possui elementos, ou seja, nenhum
elemento satisfaz a sua propriedade característica.
Simbolicamente: ∀ 𝑥, 𝑥 ∉ 𝑉𝑎𝑧𝑖𝑜.
𝐴 = ∅ 𝑜𝑢 𝐴 = { }
P3) 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
P4) 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
 INTERSECÇÃO (∩)
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto
formado por todos os elementos comuns a 𝑨 𝑒 𝑩, ou
seja:
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}
 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES
P1) 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)
P2) 𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪)
̅
P3) 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩
Propriedades da intersecção
P1) 𝑨 ∩ ∅ = ∅
 DIFERENÇA SIMÉTRICA
A diferença simétrica entre os conjuntos 𝑨 𝑒 𝑩 é um
terceiro conjunto que possui elementos que
pertençam a um único conjunto. Simbolicamente
𝑨 ∆ 𝑩 = (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑩 − 𝑨)
P2) 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒)
P3) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
P4) 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
 Dois conjuntos 𝑨 𝑒 𝑩 são ditos disjuntos se, e
somente se, eles não possuem elementos comuns, ou seja,
𝑨∩𝑩 =∅
 DIFERENÇA
A diferença de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto dos
elementos que pertencem a 𝑨, mas que não pertencem a 𝑩.
Simbolicamente temos:
𝑨 − 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩}
 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO

Entre dois conjuntos:
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)

Entre três conjuntos:
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) −
𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)
 CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
Propriedades da diferença
ℕ = {𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; … }
P1) 𝑨 − 𝑨 = ∅
ℕ∗ = {1; 2; 3; 4; 5; … }
P2) 𝑨 − ∅ = 𝑨
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, (𝑎 + 𝑏) ∈ ℕ 𝑒 (𝑎 ∙ 𝑏) ∈ ℕ
P3) ∅ − 𝑨 = ∅
2. Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
P4) 𝑺𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨 ⇒ 𝑩 − 𝑨 = ∅
ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }
P5) 𝑺𝒆 𝑨 ≠ 𝑩 ⇒ (𝑨 − 𝑩) ≠ (𝑩 − 𝑨)
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros:
Para efetuarmos 𝑨 − 𝑩 não se exige que 𝑩 ⊂ 𝑨.
ℤ∗ = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 → {… ; −3; −2; −1; 1; 2; 3; … }
 COMPLEMENTAR
ℤ+ = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 → {0; 1; 2; 3; … }
Considere 𝑩 subconjunto de 𝑨 ( 𝑩 ⊂ 𝑨 ). Definimos de
𝑪𝑩
𝑨 ( lê-se complementar de 𝑩 em relação a 𝑨 ) o conjunto
de elementos que faltam para 𝑩 se transformar em 𝑨, ou
𝑩
seja, 𝑨 − 𝑩. Simbolicamente: 𝑩 ⊂ 𝑨 ⟹ 𝑪𝑨 = 𝑨 − 𝑩
ℤ− = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 → {… ; −3; −2; −1; 0}
̅
Podemos representar 𝑪𝑨
𝑼 =𝑼−𝑨=𝑨
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ, (𝑎 ∙ 𝑏) ∈ ℤ 𝑒 (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ
3. Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
ℚ = {𝑥 | 𝑥 =
𝑎
,
𝑏
𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℤ,
𝑏 ∈ ℤ∗ }
4. Conjunto dos Números Irracionais (𝕀)
𝕀 = Aos elementos cuja representação decimal é infinita e
não periódica.
Propriedades do complementar
̅=𝑼
P1) ∅
O conjunto números reais, é tal que ℝ = ℚ ∪ 𝕀
̅=∅
P2) 𝑼
̿=𝑨
P3) 𝑨
̅
P4) 𝑺𝒆 𝒙 ∈ 𝑨 ⇒ 𝒙 ∉ 𝑨
̅⇒𝒙∉𝑨
𝑺𝒆 𝒙 ∈ 𝑨
|
P5) 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒓𝒈𝒂𝒏:
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅∩𝑩
̅
𝑨∪𝑩=𝑨
5. Conjunto dos Números Reais (ℝ)
|
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅∪𝑩
̅
𝑨∩𝑩=𝑨