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Cálculo 2 Aula 4

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Limites, continuidade e derivadas de
funções de múltiplas variáveis
Cálculo II
Aula 4 – 22/08/2018
Professor Iuri K. Spacek
Calcule as derivadas parciais das
funções e determine
Retomando:
Dada uma função f(x, y), qual a intepretação
gráfica das derivadas parciais?
Exemplo:
f(x, y) = x² + y³
Qual a intepretação gráfica
das derivadas parciais no
ponto (x, y) = (1, 1)?
Resposta: As derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, 1) permitem obter
a inclinação das retas tangentes nos planos paralelos a xz e yz que
passam pelo ponto em questão.
Com essas duas retas podemos obter o plano tangente à superfície de
f(x, y) no ponto (1, 1, 2).
Exercício
Considere a função f(x, y) = x² – 2x + 3y².
a) Qual o valor de f(1, -1)?
b) Determine fx(1, -1) e fy(1,-1);
c) Informe 3 pontos do
plano tangente à f(x, y) no
ponto (x, y) = (1, -1).
f(x, y) = x² – 2x + 3y²
f(1, -1) = 2
(1, -1, 2), (2, -1, 2) e (1, 0, -4) são exemplos de pontos do plano
tangente.
Utilizando o conhecimento de Geometria Analítica podemos obter
a equação geral do plano tangente, a partir das equações
paramétricas de tal plano, sabendo que ele:
→ contém o ponto (x0, y0, z0);
→ tem (1, 0, fx(x0, y0)) e (0, 1, fy(x0, y0)) como vetores diretores.
Exemplo:
Obtenha a equação do plano tangente à
no ponto (x, y) = (1, -1).
f(x, y) = x² – 2x + 3y²
Verifique que os pontos (1, -1, 2), (2, -1, 2) e (1, 0, -4) pertencem
a tal plano.
Ainda considerando a função f(x, y) = x² – 2x + 3y², vamos
calcular a imagem para os seguintes pontos do domínio, bem
próximos a (1, -1):
a) (0,95; -0,98)
b) (1,03; -1,01)
c) (0,99; -1,03)
Agora vamos obter o valor de z em cada um dos pontos abaixo,
utilizando a equação do plano tangente à função
f(x, y) = x² – 2x
+ 3y² no ponto (1, -1), que é z = -6y – 4.
a) (0,95; -0,98)
b) (1,03; -1,01)
c) (0,99; -1,03)
Qual a relação entre os valores de z aqui obtidos e os obtidos
anteriormente, aplicando os pontos na função f(x, y)?
Diferenciais
Onde:
(a, b) são as coordenadas do ponto inicial;
(x, y) são as coordenadas do ponto final.
Exercício
Considerando a função abaixo:
●
a) Qual o valor de f(2, -1)?
●
b) Quais as derivadas parciais de 1ª ordem da função?
●
c) Calcule f(2,01; -0,99) via aproximação linear no plano
tangente à f(x, y) que passa pelo ponto (2, -1)
●
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