Equação do Plano Tangente e da Recta Normal ao Gráfico de uma

Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
Apontamentos Cálculo II
Lista 4.4 – Equação do Plano Tangente e da
Recta Normal ao Gráfico de uma Função
2
D
1.
Plano de
a,b,c
(P d,e,f ): 3
que contém o ponto a,b,c e é perpendicular ao vector d,e,f
3
Conjunto de pontos de d,e,f . a,b,c
P d,e,f
3
x,y,z
, cujo vector diferença em relação a a,b,c é perpendicular a : x,y,z
a,b,c . d,e,f
0 2.
Equações do plano de
vector d,e,f : que contém o ponto a,b,c e é perpendicular ao
a,b,c . d,e,f
Normal: x,y,z
Cartesiana: d.x
3
e.y
f.z
0 a.d
b.e
c.f
3.
Recta de
a,b,c
(R d,e,f ): 3
que contém o ponto a,b,c e tem a direcção do vector d,e,f
3
Conjunto de pontos de a,b,c
R d,e,f
3
x,y,z
que resultam da soma entre a,b,c e um múltiplo de d,e,f . : x,y,z
a,b,c
k. d,e,f , k
Equações da recta de
4.
vector d,e,f : Vectorial: x,y,z
x
Paramétrica: y
z
a,b,c
a
b
c
k.d
k.e, k
k.f
x a
y b
z c
d
e
f
Cartesiana: 3
que contém o ponto a,b,c e tem a direcção do
k. d,e,f , k
5.
Hiperplano tangente ao gráfico de uma função escalar no ponto a,f a , com
a um ponto interior do seu domínio: Hiperplano que passa pela imagem de a e que se afasta deste ponto linearmente segundo o diferencial de 1ª ordem da função, ou seja, segundo taxas correspondentes às derivadas parciais de 1ª ordem da função em a, mesmo para desvios não infinitesimais. f: Df
n
Equação hiperplano tangente ao gráfico de f no ponto a,f a : 1
Apontamentos Cálculo II
Lista 4.4 – Equação do Plano Tangente e da Recta Normal ao Gráfico de uma
2
Função D
xn
1
f a
dx
xn
1
f a
fx1 a . x1
a
f a
xn
f
f a
1
a1
a . x
a
an fxn a . xn
Plano tangente ao gráfico de uma função de
6.
a1 ,a2 ,f a1 ,a2 , com a1 ,a2 um ponto interior do seu domínio: 2
em
no ponto
Plano que passa pela imagem de a1 ,a2 e que se afasta deste ponto linearmente segundo o diferencial de 1ª ordem da função, ou seja, segundo taxas correspondentes às derivadas parciais de 1ª ordem da função em ordem a x e em ordem a y em a, mesmo para desvios não infinitesimais. 2
f: Df
Equação plano tangente ao gráfico de f no ponto a1 ,a2 ,f a1 ,a2 : z
f a1 ,a2
dx
z
f a1 ,a2
fx a1 ,a2 . x
fx a1 ,a2 .x
a1 ,y a2
fy a1 ,a2 .y
f a
z
a1
fy a1 ,a2 . y
fx a1 ,a2 . a1
z
f
f a1 ,a2
a1 ,a2 . x
a2
a1 ,y
a2
fy a1 ,a2 . a2
f a1 ,a2 7.
Diferenciabilidade, equação do hiperplano tangente e derivada direccional:
Se uma função escalar for diferenciável num ponto a, interior do seu domínio, os diferenciais de 1ª ordem igualam as derivadas direccionais de 1ª ordem para todos os vectores de n , em a, pelo que o hiperplano tangente ao gráfico da função no ponto a,f a passa pela imagem de a e afasta‐se deste ponto de acordo com a derivada direccional em a segundo um vector que tem origem em a. f diferenciável em a
xn
1
8.
f a
Equação hiperplano tangente ao gráfico de f no ponto a,f a : dx a f a
xn
1
f a
fx
a
a Hiperplano tangente e inexistência de derivadas parciais de 1ª ordem: Se, num ponto a, interior do domínio de uma função escalar, não existir pelo menos uma das derivadas parciais de 1ª ordem, não existe plano tangente ao gráfico da função em a,f a . Recta normal ao gráfico de uma função
9.
com a um ponto interior do seu domínio:: 2
em
no ponto a1 ,a2 ,f a1 ,a2 ,
Recta que passa por a1 ,a2 ,f a1 ,a2 e é perpendicular ao plano tangente ao gráfico da função nesse ponto. Equação vectorial recta normal ao gráfico de f no ponto a1 ,a2 ,f a1 ,a2 : x,y,z
2
a1 ,a2 ,f a1 ,a2
k. fx a1 ,a2 ,fy a1 ,a2 ,
1 ,k