Limites, continuidade e derivadas de funções de múltiplas variáveis Cálculo II Aula 4 – 22/08/2018 Professor Iuri K. Spacek Calcule as derivadas parciais das funções e determine Retomando: Dada uma função f(x, y), qual a intepretação gráfica das derivadas parciais? Exemplo: f(x, y) = x² + y³ Qual a intepretação gráfica das derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, 1)? Resposta: As derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, 1) permitem obter a inclinação das retas tangentes nos planos paralelos a xz e yz que passam pelo ponto em questão. Com essas duas retas podemos obter o plano tangente à superfície de f(x, y) no ponto (1, 1, 2). Exercício Considere a função f(x, y) = x² – 2x + 3y². a) Qual o valor de f(1, -1)? b) Determine fx(1, -1) e fy(1,-1); c) Informe 3 pontos do plano tangente à f(x, y) no ponto (x, y) = (1, -1). f(x, y) = x² – 2x + 3y² f(1, -1) = 2 (1, -1, 2), (2, -1, 2) e (1, 0, -4) são exemplos de pontos do plano tangente. Utilizando o conhecimento de Geometria Analítica podemos obter a equação geral do plano tangente, a partir das equações paramétricas de tal plano, sabendo que ele: → contém o ponto (x0, y0, z0); → tem (1, 0, fx(x0, y0)) e (0, 1, fy(x0, y0)) como vetores diretores. Exemplo: Obtenha a equação do plano tangente à no ponto (x, y) = (1, -1). f(x, y) = x² – 2x + 3y² Verifique que os pontos (1, -1, 2), (2, -1, 2) e (1, 0, -4) pertencem a tal plano. Ainda considerando a função f(x, y) = x² – 2x + 3y², vamos calcular a imagem para os seguintes pontos do domínio, bem próximos a (1, -1): a) (0,95; -0,98) b) (1,03; -1,01) c) (0,99; -1,03) Agora vamos obter o valor de z em cada um dos pontos abaixo, utilizando a equação do plano tangente à função f(x, y) = x² – 2x + 3y² no ponto (1, -1), que é z = -6y – 4. a) (0,95; -0,98) b) (1,03; -1,01) c) (0,99; -1,03) Qual a relação entre os valores de z aqui obtidos e os obtidos anteriormente, aplicando os pontos na função f(x, y)? Diferenciais Onde: (a, b) são as coordenadas do ponto inicial; (x, y) são as coordenadas do ponto final. Exercício Considerando a função abaixo: ● a) Qual o valor de f(2, -1)? ● b) Quais as derivadas parciais de 1ª ordem da função? ● c) Calcule f(2,01; -0,99) via aproximação linear no plano tangente à f(x, y) que passa pelo ponto (2, -1) ●
