Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Eletrotécnica ELETROMAGNETISMO – SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS • • Entregar pelo menos 10 exercícios, valendo como APS. Entrega: data da segunda prova (20/11). 1) Capítulo 4. Um cilindro metálico muito longo de raio 𝑅 está carregado com densidade uniforme de cargas 𝜌𝑠 . Determine o potencial elétrico: (a) entre dois pontos separados por uma distância A, ao longo do eixo z; (b) entre dois pontos fora do cilindro, paralelos ao plano xy, separados uma distância B. 2) Capítulo 4. Um campo elétrico uniforme tem intensidade 𝐸 =10 V/m e orienta–se de baixo para cima através de um quadrado de lado igual a 10 cm. Os vértices do quadrado são a, b, c e d. Pede– se: (a) 𝑉𝑎𝑐 , quando se move de a para b, e de b para c; (b) 𝑉𝑎𝑐 , quando se move diretamente entre a e c; (c) que conclusões podemos tirar dos valores encontrados nos itens (a) e (b)? Re: Vca = 1,0 V nos dois casos. Conclusão: a diferença de potencial entre dois pontos independe do caminho. 3) Capítulo 4. Oito cargas de valor q encontram-se nos vértices de um cubo de lado 5 cm. Determine o trabalho realizado para se trazer uma carga de 1 C desde o infinito até o centro do cubo. Re: 𝑉 = 1662,8 × 109 𝑞 (𝑉) 4) Capítulo 4. Em determinada região do espaço o potencial é dado por 𝑉 = 3𝑥 3 + 𝑦 2 + 𝑧. Pede–se: (a) a expressão geral do vetor campo elétrico; (b) o campo elétrico em (7, 25, 32). Re: (a) 𝐸⃗ = −9𝑥 2 𝑖̂ − 2𝑦𝑗̂ − 𝑘̂ (V/m); (b) 𝐸⃗ = −441𝑖̂ − 45𝑗̂ − 𝑘̂ (V/m) 5) Capítulo 4. Um dipolo elétrico é formado por duas cargas elétricas q de sinais opostos separadas por uma distância d. Para um observador localizado a uma distância r do centro do dipolo e inclinado de um ângulo , o potencial é 𝑉 = 𝑘𝑑𝑞𝑟 −2 𝑐𝑜𝑠𝜃, onde 𝑘 = (4𝜋𝜀0 )−1. Determine o campo elétrico. Resolvido em sala. 6) Capítulo 4. Duas cargas puntiformes de cargas iguais a 10,0 C e –10,0 C estão localizadas respectivamente em (–10, 0) e (10, 0). Determine os potenciais nos pontos (a) (0, 0); (0, 10). Todas as distâncias são medidas em centímetros. Re: V=0. 7) Capítulo 5. Determine o campo elétrico interno e externo a um cilindro de comprimento infinito, raio R e densidade volumétrica de cargas igual a 𝜌𝑣 = 𝛽𝑟 2 𝐶/𝑚3 , onde 𝛽 é uma constante. Re: (a) 𝑟 < 𝑅, 𝐸 = 𝛽𝑟 3 ;(𝑏) 𝑟 4𝜀0 > 𝑅, 𝐸 = 𝛽𝑅4 4𝑟𝜀0 8) Capítulo 5. Uma quantidade de carga Q é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P, onde (a) P<R; (b) 𝑄𝑟 𝑄 P>R. Re: a) 𝐸 = 4𝜋𝜀 𝑅3 ; b) 𝐸 = 4𝜋𝜀 𝑟2 0 0 9) Capítulo 5. Um cubo tem arestas iguais a 10 cm e está centrado na origem. O campo elétrico é 𝐸⃗ = 10𝑖̂ − 10𝑗̂ + 5𝑘̂. Determine: (a) o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo; (b) o fluxo total no interior do cubo. Re: Fazendo 𝑑𝑆1 = −𝑑𝑆2 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑘̂ ; 𝑑𝑆3 = −𝑑𝑆4 = 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑗̂; 𝑑𝑆5 = −𝑑𝑆6 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑖̂, então: Φ1 = −Φ2 = 5 × 10−2 ; Φ3 = −Φ4 = −10 × 10−2 ; Φ5 = −Φ6 = 10 × 10−2 Prof. Alvaro Augusto de Almeida Eletromagnetismo 18/11/2019 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 10) Capítulo 6. Dado 𝐸⃗ = 200𝑟 2 𝑎̂𝑟 em coordenadas cilíndricas, determine a densidade volumétrica de cargas em r=2 m. Re: 𝜌𝑣 = 10,62 𝜂𝐶/𝑚3 11) Capítulo 6. Seja 𝐸⃗ = 100𝑟 −2 𝑠𝑒𝑛(4𝑟)𝑎̂𝑟 em coordenadas esféricas, calcule a densidade volumétrica de cargas. Re: 𝜌𝑣 = 400𝜀0 𝑟 −2 cos (4𝑟) 12) Capítulo 6. Seja 𝐸⃗ = 50𝑟 −2 𝑎̂𝑟 em coordenadas esféricas. Determine a diferença de potencial entre os pontos 𝐴 = (5, 𝜋/2, 𝜋/4) e 𝐵 = (𝜋, 𝜋, 𝜋), sendo as distâncias dadas em metros. Re: 𝑉 = −5,92 𝑉 ⃗ ∙ 𝐸⃗ = 20𝑥 − 10𝑧 13) Capítulo 6. Calcule o divergente do campo 𝐸⃗ = 20𝑥 2 𝑖̂ − 10𝑧𝑦𝑗̂ + 10𝑥𝑦𝑘̂ . Re: ∇ 14) Capítulo 6. Comprove o teorema da divergência para o campo 𝐸⃗ = 𝑟 3 𝑎̂𝑟 , em coordenadas esféri⃗ ∙ 𝐸⃗ = 4𝜋𝑟 5 cas, e para o volume 2 𝑐𝑚 ≤ 𝑟 ≤ 3 𝑐𝑚; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Re: ∇ 15) Capítulo 7. Uma esfera de raio R está mantida a um potencial constante Vo. Use a equação de Laplace para determinar as equações do potencial e do campo elétrico fora da esfera. Re: 𝑉𝑅 𝑉𝑅 (𝑎) 𝑟 < 𝑅, 𝑉 = 𝑉0 𝑒 𝐸 = 0; (𝑏) 𝑟 > 𝑅, 𝑉 = 0 𝑒 𝐸 = 02 𝑟 𝑟 16) Capítulo 7. A figura abaixo mostra uma fatia de ângulo 𝜙 de um cilindro muito longo. A placa paralela ao plano xz é mantida a um potencial nulo, enquanto a outra placa é mantida a um potencial Vo. Use a equação de Laplace para determinar: (a) a variação do potencial entre as placas; (b) o campo elétrico entre as placas. Resolvida em sala 17) Capítulo 8. Um condutor de cobre tem seção reta circular e comprimento igual a 10 m. A seção reta varia linearmente com o comprimento. Em x=0 o raio é igual a 1 cm e em x=20 m o raio é igual a 5 cm. Determine a resistência do condutor. Resolvida em sala 18) Capítulo 8. Um condutor de seção reta constante igual a 0,5 mm2 e comprimento igual a 10 m tem condutividade igual a 𝜌 = (0,2 + 0,002𝑥) × 10−8 Ω𝑚. A corrente é 3,0 A. Determine a diferença de potencial entre as duas extremidades do condutor. Resolvida em sala Prof. Alvaro Augusto de Almeida Eletromagnetismo 18/11/2019 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 19) Capítulo 8. A densidade de corrente em coordenadas esféricas é 𝐽 = (10/𝑟 3/2 )𝑎̂𝑟 𝐴/𝑚2 . Use a equação da continuidade da corrente para determinar: (a) o divergente da densidade de corrente; ⃗ . J = − 𝜕𝜌 = 5/𝑟 5/2 (b) a taxa de variação da resistividade em função do tempo. Re: ∇ 𝜕𝑡 20) Capítulo 8. Seja uma densidade de corrente dada por 𝐽 = 100𝑒 (𝑟𝑎̂𝑟 + 𝑘̂ ) 𝐴/𝑚2 , em coordenadas cilíndricas. Usando a equação da continuidade, determine a corrente total que atravessa a superfície 𝑧 = 0, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 na direção 𝑘̂, onde R é o raio da superfície. Re: 𝐼 = 100𝜋𝑅 −2𝑧 Prof. Alvaro Augusto de Almeida Eletromagnetismo 18/11/2019
