ES 203 - Eletromagnetismo 1 – 2007.01 Gabarito da Prova Final

ES 203 - Eletromagnetismo 1 – 2007.01
Gabarito da Prova Final – 20/08/2007
Professor: Eduardo Fontana
Q1 (2 pontos): Na superfície esférica de raio a, com centro na origem, carga é distribuída com densidade superficial
dada por
com representando o ângulo polar em coordenadas esféricas. Admita que o meio interior e exterior à esfera seja o
vácuo. Determine:
i.)
A carga total no hemisfério
da superfície R=a.
ii.)
O campo elétrico na origem
iii.)
O vetor densidade de fluxo elétrico na origem
Solução:
i)
(i)
ii)
Usa
obtém
(ii)
(iii) Na origem
(iii)
Q2 (2 pontos): O cubo imaginário de aresta a e a esfera de carga de raio b mostrados na figura são concêntricos.
Admitindo que a carga esteja distribuída na esfera com densidade
,
onde R é a coordenada radial em esféricas, determine o fluxo elétrico para o exterior do cubo através de sua face
superior.
Solução: Por simetria o fluxo elétrico em uma face é 1/6 da carga envolvida. Também pode ser calculado
diretamente pela integral de superfície na face. Esse é o princípio. O cálculo de uma ou outra forma dá um certo
trabalho. Mas pode ser feito de uma forma que evita o cálculo explícito de integrais como mostrado abaixo.
Calcula primeiro o vetor densidade de fluxo elétrico. Usa lei de Gauss, com uma superfície gaussiana esférica de
raio
, o que fornece
O fluxo através da face superior é
onde usou-se a relação usando
. Utilizando a relação
, obtém
(1)
Por outro lado, o fluxo total é a carga envolvida, ou seja
(2)
Usando (1) e (2) na condição
obtém
(3)
(obs. O raciocínio a seguir não é correto, mas o desenvolvimento será mantido para mostrar que a solução, apesar
de ser elegante é incorreta. A incorreção é resultante de se igualar integrandos de integrais definidas idênticas.
Apesar de as duas integrais serem iguais, isso não implica que os integrandos sejam iguais. Funções distintas podem
resultar em um mesmo valor de integral, se a integral for definida. Se a integral fosse indefinida, a igualdade das
duas integrais permitiria igualar os integrandos. Portanto, os resultados a partir da Eq.(4) em diante estão incorretos,
ou seja, o cálculo do fluxo tem de ser feito por integração da Eq.(2) ou da Eq.(1), que é menos trabalhosa. O
resultado envolve muita álgebra, que foge do objetivo da questão. A solução correta será postada oportunamente.
Para o julgamento do quesito, a resposta posta na forma da Eq.(1) ou (2) é suficiente.
A Eq.(3) permite obter a solução da integral entre colchetes, ou seja,
(4)
Definindo
(5)
tem-se o resultado do processo de integração da Eq.(1) ( menos difícil) ou da Eq.(2).
(6)
A Eq.(6) permite obter a solução de
calculando.......
Q3 (2 pontos) Obtenha a expressão para a capacitância por unidade de comprimento do cabo coaxial, cuja secção
transversal está mostrada na figura. Admita que o cabo seja infinitamente longo.
Dado: Parte radial do laplaciano em cilíndricas
Solução:
Admite as condições de contorno
A solução do PVF é
Obtém
,
Carga em um comprimento L na superfície sob potencial V é
e a capacitância por unidade de comprimento é
Q4 (2 pontos): Em t=0 carga é distribuída uniformemente em um cilindro condutor maciço de raio a, infinitamente
longo. Admitindo que o cilindro tenha condutividade
e a mesma permissividade
do vácuo, determine a
densidade superficial de carga na superfície do cilindro como função do tempo.
Q5 (2 pontos): Para o fio de comprimento L mostrado na figura, determine o vetor campo magnético no ponto de
coordenadas
. Expresse sua resposta em função de r e z e do(s) vetor(es) de base do sistema de coordenadas
cilíndricas.