Curso de Probabilidade

Introdução à Teoria das
Probabilidades
JOELMIR FELICIANO
Conceitos Básicos
Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório
Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza.
Exemplos:
• Condições climáticas do próximo domingo;
• Taxa de inflação do próximo mês;
• Resultado ao lançar um dado ou moeda;
• Tempo de duração de uma lâmpada.
Espaço Amostral ( ou S)
Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno
aleatório.
Exemplos:
1.
Lançamento de um dado.  ={1,2,3,4,5,6}
2.
Tipo sanguíneo de um individuo.  ={A, B, AB,0}
3.
Opinião de um eleitor sobre um projeto.  ={Favorável,Contrário}
4.
Tempo de duração de uma lâmpada  ={t; t>0)
Evento subconjunto do espaço amostral 
Notação: A, B, C,...
Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:
A: sair face par:  A={2,4,6}  
B: Sair face maior que 3  B={4,5,6}  
C: sair face 1  C={1}  
D: sair face 7  D={ } (evento impossível)=  (conjunto vazio)  
Operação com eventos
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral
•AB: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B
•AB: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em
comum, isto é, AB= 
• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço
amostral, isto é. AB=  e AB= .
• O complementar de um evento A é representado por A C ou A
Exemplo: Lançamento de um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
• A  B: = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6}
• A  C = {2, 4, 6}  {1} = 
• A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
• A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6}
• AC = {1, 3, 5}
Exercícios
1.
Descrever o espaço amostral (S) a cada um dos experimentos a seguir:
(1) Lançam-se dois dados honestos e observam-se os números nas faces voltadas
para cima;
(2) Cada uma das três pecas usinadas é classificada como acima da especificação (a) e abaixo da
especificação (b) padrão para a peça;
(3) Chamadas são repetidamente feitas em uma linha telefônica ocupada ate que uma conexão
seja alcançada.
2. Descrever o espaço amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir:
E1: Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a sequência de caras (c) e coroas (k).
A1: Sair pelo menos duas caras.
E2: Numa linha de produção conta-se o numero de pecas defeituosas num período de 1 hora.
A2: Obter menos de 3 defeituosas.
E3: Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas ate queimarem.
A3: O tempo de vida da lâmpada e inferior a 30 horas.
E4: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 3 artigos e
cada um é classificado como bom (b) ou defeituoso (d).
A4: Pelo menos dois artigos são bons.
Exercícios
3. Quatro estudantes de Engenharia Civil da UFMS são selecionados aleatoriamente
em uma aula de Probabilidade e Estatística. Liste os elementos do espaço amostral S1
usando a letra m para representar estudantes do sexo masculino e f para feminino.
Defina um segundo espaço amostral S2, onde os elementos representam o numero de
estudantes do sexo feminino selecionados.
4. Sejam A, B e C três eventos quaisquer. Estabeleça uma expressão para os eventos
abaixo:
(a) A e B ocorrem;
(b) A ou B ocorrem;
(c) B ocorre, mas A não ocorre;
(d) A não ocorre;
(e) não ocorre A e não ocorre B;
(f) A e B ocorrem, mas C não corre;
(g) somente A ocorre, mas B e C não ocorrem.
Exercícios
5. Três componentes estão conectados para formar um sistema conforme exibido na
figura a seguir. Como os componentes no subsistema 2-3 estão conectados em
paralelo, esse subsistema funcionara se ao menos um dos dois componentes
individuais funcionar. Para que todo o sistema funcione, o componente 1 deve
funcionar, bem como o sistema 2-3.
Figura 1: Sistema dos componentes.
O experimento consiste em determinar a condição de cada componente (sucesso [S]
para um componente que funciona bem e falha [F] para o componente que não
funciona).
(a) Que resultados estão contidos no evento A para que exatamente dois dos três
componentes funcionem?
(b) Que resultados estão contidos no evento B para que ao menos dois componentes
funcionem?
Probabilidade
Pergunta: Como atribuir probabilidade
aos elementos do espaço amostral?
Definições de probabilidades
Definição Clássica ou a priori
Se um experimento aleatório tiver n() resultados mutuamente exclusivos e
igualmente prováveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A
probabilidade do evento A representado por P(A), é dado por:
P( A) 
n( A)
n()
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a
probabilidade de:
a)
Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
c)
Que o resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo.
1,1
2,1


3,1

4,1
5,1


6,1
a)
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4 1,5
2,4 2,5
3,4 3,5
4,4 4,5
5,4 5,5
6,4 6,5
1,6 
2,6

3,6 


4,6 
5,6 

6,6 

A={(1,6),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)}  P(A)=n(A)/n()=6/36=1/6
b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36 = 1/12.
c)
P(C)= 15/36.
Definição frequentista ou a posteriori
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o
evento A ocorre exatamente r<n vezes, então a frequência relativa de vezes que
ocorreu o evento A, “r/n”, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A,
ou seja,
P ( A) 
r
n
Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é
próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito.
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de
A={ resultado obtido é cara}.
Cara
Coroa
n
fr1
2/5
3/5
5
fr2
6/10
4/10
10
fr3
22/50
28/50
50
fr4
47/100
53/100
100
frA
0,5
0,5

Definição axiomática
A probabilidade de um evento A define-se com o número P(A), tal que satisfaz os
seguintes axiomas:
(i ) 0  P ( A)  1, A  
(ii) P ()  1
(iii) Se A1 ,  , An são eventos mutuamente exclusivos, então
 n

P
A
 i 

 i 1

n
 P( A )
i 1
i
Propriedades
1. P( )  0
Regra da adição de probabilidades
2. Se A   então, P( A)  1  P( Ac ) ou P( Ac )  1  P( A)
3. Se A  B   então, P( A)  P( B)
4. Se A, B   então, P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
5. Se A, B, C   então,
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( B  C )  P( A  C ) 
P( A  B  C )
Exemplo 1. Na tabela 1, apresenta-se a composição por raça e sexo de uma
população de um país.
Tabela 1: Distribuição da população por raça e sexo.
Sexo
Raça
Masculino Feminino Total
Branca
1726384
2110253 3836637
Outra
628309
753125
1381434
Total
2354693
2863378 5218071
Suponha que selecionamos um habitante desse país e consideremos os
eventos:
H: "o habitante selecionado é do sexo masculino"
Hc:"o habitante selecionado é do sexo feminino"
B: "o habitante selecionado é da raça branca"
Bc: "o habitante selecionado é de outra raça"
H  B : "o habitante selecionado é de sexo masculino e da raça branca"
H  B : "o habitante selecionado é de sexo masculino ou da raça branca"
Hc  B : "o habitante selecionado é de sexo feminino e da raça branca"
Hc  B : "o habitante selecionado é de sexo feminino ou da raça branca"
Hc  Bc :"o habitante selecionado é de sexo feminino e de outra raça "
Hc  Bc "o habitante selecionado é de sexo feminino ou de outra raça"
As probabilidades de cada um destes eventos são:
2354693
 0,4512;
5218071
P ( H c )  1  P ( H )  1  0,451  0,5488;
3836637
P( B) 
 0,7352
5218071
P ( B c )  1  P ( B )  1  0,7352  0,2648
1726384
P( H  B) 
 0,3308
5218071
P( H  B)  P( H )  P( B)  P( H  B) 
 0,4512  0,7352  0,3308  0,8556;
2110253
P( H c  B) 
 0,4044;
5218071
P( H c  B)  P( H c )  P( B)  P( H c  B) 
 0,5488  0,7352  0,4044  0,8796.
753125
P( H c  B c ) 
 0,1443
5218071
P( H c  B c )  P( H c )  P( B c )  P( H c  B c ) 
 0,5488  0,2648  0,1443  0,6693.
P( H ) 
Exercícios
Exercícios
3. Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B) = x e P(A∩B) = y.
Determine em função de x e de y a probabilidade de:
(a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
(b) Que se realize um e só um dos dois acontecimentos.
(c) Que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
(d) Que se realize no máximo um único acontecimento.
4. Dados P ( A)  1
, P( B)  3
e P( A  B)  1 .
2
8
8
Calcule P ( A  B ), P ( Ac  B c ), P ( Ac  B c ),
P ( A  B c ) e P ( Ac  B ).
Respostas : 0,75; 0,25; 0,875; 0,375 e 0,25.
5. Suponha que P ( A / B )  0,4 e P ( B )  0,5.
Calcule P ( Ac  B ). Resposta : P(A c  B)  0,3.
Exercícios
6. Uma associação de industrias transformadoras de resinas plásticas e
composta de 20 empresas que produzem sacos plásticos (S), 10 que produzem
garrafas (G), 8 que produzem utensílios domésticos (U) e 2 que se encarregam
de brinquedos (B). Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a
probabilidade de que:
(a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utensílios domésticos;
(b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos;
(c) não seja uma indústria que produza garrafas.
Respostas: (a) 28/40; (b) 22/40; (c) 30/40.
7. Uma sala de aula de Engenharia consiste em 25 estudantes de Engenharia de
Produção, 10 de Computação, 10 de Elétrica e 8 de Engenharia Civil. Se uma
pessoa e selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma
pergunta, determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja:
(a)um estudante de Engenharia de Produção;
(b)um estudante de Engenharia Civil ou Elétrica.
Respostas: (a) 25/53; (b) 18/53.
Probabilidade Condicional e Independência
Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo
espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o
evento B, é representado por P(A|B) é dado por:
P( A  B)
P( A | B) 
, P ( B )  0.
P( B)
(1)
Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem reposição
de uma sacola que contem 10 sementes de flores vermelhas e 5 de flores
brancas. Qual é a probabilidade de que :
(a) a primeira semente seja vermelha. ?
(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha.?
Probabilidade Condicional e Independência
Sejam os eventos:
V1 : " A 1a semente é vermelha";
V1c :" A 1a semente é branca"
V2 : " A 2 a semente é vermelha";
V2c :" A 2 a semente é branca"
(a)
(b)
10 2
P(V1 ) 

15 3
P(V2c
5
| V1 ) 
14
Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da árvore de
probabilidades, a qual é mostrado na figura 1
Probabilidade Condicional e Independência
Figura 1: Diagrama de árvore de probabilidade
Da expressão (1), pode-se deduzir uma relação bastante útil,
P( A  B)  P( B) P( A | B),
Que é conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da
interseção
Probabilidade Condicional e Independência
Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em determinar a
probabilidade que as duas sementes selecionadas sejam brancas.
O evento é V1c  V2c : " a 1a e 2a semente são brancas"
5
4
2
P(V  V )  P(V ) P(V | V ) 


15 14 21
c
1
c
2
c
1
c
2
c
1
Teorema 1: Se B é um evento em , tal que P(B)>0, então:
1. P( | B)  0
2. Se A, B  , então : P(Ac | B)  1  P( A | B) ou P( A | B)  1  P(Ac | B)
3. Se A, B, C  , então:
P( A  C | B)  P( A | B)  P(C | B)  P( A  C | B).
Probabilidade Condicional e Independência
Exemplo 3: Na Cidade de São Paulo, a probabilidade de chuva no primeiro dia de
setembro é 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias de setembro é
0,40. Se no primeiro de setembro choveu, qual é a probabilidade que no dia
seguinte não chova ?
Solução: Sejam os eventos: A:” chove no primeiro de setembro”, B:”chove no
segundo dia de setembro”.
Do enunciado do problema temos : P(A)=0,50 e P(AB)=0,40. A probabilidade
pedida é:
P( A  B)
0,40
P( B | A) 1  P( B | A)  1 
1
 0,20
P( A)
0,50
c
*
* Pelo teorema 1.2.
Probabilidade Condicional e Independência
Definição[Independência de eventos] Dois eventos A e B são independentes se a
informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência
de A. Isto é,
P(A|B)=P(A), P(B)>0
Consequentemente, temos que dois eventos A e B são independentes se somente
se,
P(AB)=P(A)P(B).
Exemplo 4: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8% problemas
auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um aluno desta
escola ao acaso:
(a) os eventos de ter problemas visuais e auditivos são eventos independentes?
(b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que
tenha problemas auditivos?
(c)qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter problemas auditivos ?
Probabilidade Condicional e Independência
Solução: sejam os eventos:
V:” o aluno tem problemas visuais”
A:” o aluno tem problemas auditivos”.
Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(AV)=0,04.
(a ) P(V ) P( A)  0,2  0,08  0,016
P(V  A)  0,04.
Como P (V  A)  P (V ) P ( A), A e V não são independentes.
P (V  A) 0,04
(b) P ( A | V ) 

 0,20.
P (V )
0,20
(c) P (V c  A)  P (V c )  P( A)  P (V c  A) 
 1  P (V )  P( A)  P ( A) P(V c | A)  1  P (V )  P ( A)  P ( A)1  P (V | A)
 P (V  A) 
 1  P (V )  P ( A)  P ( A) 1 


P( A) 

 0,04 
 1  0,2  0,08  0,081 
 0,84

 0,08 
Probabilidade Condicional e Independência
Teorema 2: Se A , B eventos em  são eventos independentes, então:
(i ) A e B c são independen tes.
(ii ) A c e B são independen tes
(iii) A c e B c são independen tes
Exemplo 5: Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (na mesmas
condições de tiro), 70%. Qual é a probabilidade de acertar se ambos atiradores
disparam simultaneamente no alvo.? Considere que o alvo foi acertado quando
pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo.
Probabilidade Condicional e Independência
Sejam os eventos : Bi :" o atirador i acerta o alvo" , i  1,2. P(B1 )  0,8 e
P( B2 )  0,7. Logo,
P( B1  B2 )  P(B1 )  P(B2 )  P( B1  B2 ) 
 P(B1 )  P(B2 )  P(B1 ) P(B2 ) 
 0,8  0,7  0,8  0,7  0,94
Alternativamente este exemplo, pode ser resolvido de uma segunda forma :
P( B1  B2 )  1  P( B1c  B2c )  1  P( B1c ) P( B2c ) 
 1  1  P(B1 )1  P(B2 )  1  [1  0,8][1  0,7]  0,94.
Teorema de Bayes
Definição [Partição do espaço amostral]. Uma coleção de eventos
B1 ,  , B k formam uma partição do espaço amostral se eles não têm
intersecção entre si e sua união é igual ao espaço amostral.
Bi  B j   para i  j
k
e
B
i

i 1
Teorema da probabilidade total. Se B1 ,  , B k , formam uma partição
do espaço amostral , então qualquer evento A em , satifaz:
P( A)  P( B1 ) P( A | B1 )    P( Bk ) P( A | Bk ) 
k
 P( B ) P( A | B )
i
i 1
i
Teorema de Bayes
Teorema Bayes. Se B1 ,, Bk , formam uma partição do espaço amostral , e A é qualquer evento
em , então:
P (Bi | A) 
P (Bi )P ( A | Bi )
k

P (Bi )P ( A | Bi )
i 1
Exemplo 6: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma
determinada peça. As chances de que uma peça proveniente dos
fornecedores A e B esteja fora das especificações são 10% e 5%
respectivamente. A montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e 70%
de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao acaso:
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações.
(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a
probabilidade que venha do fornecedor A ?
Teorema de Bayes
Solução:
Sejam os eventos:
A: “ peça selecionada seja do fornecedor A”
B:” peça selecionada seja do fornecedor B”
E:” peça selecionada esteja fora das especificações”
Do enunciado do problemas temos: (A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e
P(E|B)=0,05.
Teorema de Bayes
Pelo teorema da probabilidade total temos:
(a) P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=(0,30)(0,10)+(0,70)(0,05)=0,065
(b) P(A|E)=?
Pelo teorema de Bayes temos:
P( A | E ) 
P( A) P( E | A)
0,30  0,10
0,03


 0,46
P( A) P( E | A)  P( B) P( E | B) 0,30  0,10  0,70  0,05 0,065
A solução do exemplo anterior é facilitada pelo diagrama de árvore de
probabilidades.
Exercícios
1.
Um aluno vai se formar em Engenharia Civil no final do semestre.
Depois de ser entrevistado por duas empresas de construção civil, ele
avalia que a probabilidade de conseguir uma oferta da empresa A e de 0.8
e da empresa B e de 0.6. Se, por outro lado, ele crê que a probabilidade
de conseguir uma oferta das duas empresas e de 0.5, qual e a
probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos uma das
empresas?
Resposta: 0.9.
2. Certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações:
emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das
escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do
que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste
das escovas. Qual será a probabilidade de que a falta seja devida a cada
uma dessas circunstâncias?
Respostas: 8/13, 4/13 e 1/13.
Exercícios
3.
Certo motor de um Peneirador elétrico tem duas lâmpadas que podem
estar acesas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes
probabilidades apresentada no quadro adiante. O quadro mostra por
exemplo, que ambas as lâmpadas estavam simultaneamente apagadas
30% do tempo.
Lâmpada 1
Acesa
Apagada
Lâmpada 2
Acesa
Apagada
0,15
0,45
0,10
0,30
Pergunta-se:
(a) O fato da lâmpada 1 acesa e independente da lâmpada 2 acesa? Justifique
sua resposta.
(b) O fato da lâmpada 2 apagada e independente da lâmpada 2 acesa?
Justifique sua resposta.
Respostas: (a)Sim; (b)Não.
Exercícios
4. Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a
satisfazer as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100
amostras são resumidos a seguir:
Fornecedor
Conforme
Sim
Não
I
22
8
II
25
5
III
30
10
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o
evento em que uma amostra atenda as especificações. Se uma amostra
aleatória for selecionada ao acaso, determine as seguintes probabilidades:
P( A), P( B), P(A C ), P( A  B), P( A  B) e P( Ac  B).
Respostas : 0,3; 0,77; 0,7; 0,22; 0,85 e 0,92.
Exercícios
5. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são
analisados com relação a resistência a arranhões e a choque. Os
resultados de 100 discos estão resumidos a seguir:
Resistência a
Arranhões
Resistência a Choque
Alta
Baixa
Alta
70
9
Baixa
16
5
(a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua
resistência a arranhões ser alta e de sua resistência a choque ser alta?
(b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua
resistência a arranhões ser alta ou de sua resistência a choque ser alta?
(c) Considere o evento em que um disco tenha alta resistência a arranhões e o
evento em que um disco tenha alta resistência a choque. Esses dois
eventos são mutuamente excludentes (exclusivos)?
Respostas: (a) 0.70; (b) 0.95 e (c) Não.
Exercícios
6. Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam Engenharia
Civil. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante
selecionado aleatoriamente esta estudando Engenharia Civil, qual a
probabilidade de que este estudante seja mulher? Resposta: 0.3529.
7. A chance é 1% de que um conector elétrico, que seja mantido seco, falhe
durante o período de garantia de um Compactador. Se o conector for
molhado, a chance de falha durante o período de garantia será de 5%. Se
90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos
molhados, qual será a probabilidade de conectores que falharão durante o
período de garantia? Resposta: 0.014.
8. Se P( A / B)  0,3, P( B)  0,8 e P(A)  0,3. Os eventos A e B são
independentes? Resposta : Sim.
Exercícios
9. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta a medida que
as laminas de uma faca vão sendo gastas. Somente 1% dos produtos
cortados com novas laminas tem bordas ásperas, 3% dos produtos
cortados com novas laminas mediante afiadas exibem rugosidade e 5%
dos produtos cortados com novas laminas gastas exibem rugosidade. Se
25% das laminas na fabricação de papel forem novas, 60% forem
mediante afiadas e 15% forem gastas, qual será a proporção dos produtos
que exibem uma aspereza nas bordas? Resposta: 0.028.
10. Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles
funcionara independentemente, quando qualquer coisa indesejável
ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0.9 de trabalhar
eficientemente, qual e a probabilidade de se ouvir o alarme quando
necessário? Resposta: 0.999.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Variáveis
Aleatórias
Discretas.
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁 , equiprováveis, ou seja, todos
os valores têm igual probabilidade de ocorrência. Assim 𝑋 tem distribuição Uniforme se,
e somente se,
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝 𝑥𝑖 =
N 1
E( X ) 
2
1
, para todo 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁.
𝑁
N 2 1
Var ( X ) 
12
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
X: {1, 2, ..., 6}
EX  
6 1
 3,5
2
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
Var ( X ) 
1
=
6
36  1
 2,92
12
56
Variáveis
Aleatórias
Contínuas.
Distribuição Exponencial
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro , se sua
função de densidade é dado por
 1  x
 e ,
f ( x)   

 0,
x0
c.c
Notação: X~Ex().
Pode-se mostrar:
E ( X )   , Var ( X )  2