Lista de Exercícios - Potenciação Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g Gabaritos nas últimas páginas! Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos muito ligados! Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ E1: Simplifique: E2: Simplifique: Página 1 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação 2 E3: Mostre que 2 . 2 . E4: Mostre que 2 E5: O número 2 é par ou ímpar? Justifique. E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda: a) O número 3 é par? Justifique. b) E o número3 ? Justifique. E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía metade da área ocupada. E8: Reescreva livrando-se do expoente negativo. E9: Reescreva livrando-se dos expoentes negativos. ⋅ ⋅ E10: Mostre que E11: Se 5 a) E12: Calcule: 8, então o valor de 5 b) ! c) " Página 2 de 12 vale: d) e) Lista de Exercícios - Potenciação E13: Qual o último algarismo de 2 ? E14: Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de 2# ? a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 0 E15: $, Colégio Naval) O valor aproximado de a) 0,045 b)0,125 c)0,315 !√ , ! , d)0,085 … é: e)0,25 E16: Colégio Naval) Sejam ( " ) !√ * valor de 4( a) 1 !) " √ * e+ 3+ é: b) 2 " ) !√ * c) 3 √ d) 4 ) " √ * . Então o e) 5 E17: OBM) O valor da soma a) b) $$ "$$" c) 1 ⋅ -"$$" ⋅ $$ . d) Página 3 de 12 $$ "$$" ⋅ -"$$" ⋅ $$ e) 2 é: Lista de Exercícios - Potenciação Gabarito E1: Página 4 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E2: Página 5 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E3: Basta observar que: a) b) 2 2 /⋅/ / 0 / 0 No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não. E4: Como 2 21 , concluímos que 2 2 E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas: a) O número precisa ser inteiro. b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo menos um fator 2. Note que 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 … ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o número 2 é par. E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor). O número 3 pode ser reescrito como 23 3 ⋅3 3343 ⋅ 3… 335 ⋅ 3. Note a ausência de 6789:;< um fator 2. Isso significa que 3 é um inteiro que, não sendo par, é ímpar. Da mesma forma, o número 3 é um número ímpar, pois há a ausência de um fator 2 em seu desenvolvimento. E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que, no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do lago estava ocupada. Página 6 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e outras escolas militares. 2 e2 " Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!! Se tivermos Assim sendo, " ! não podemos escrever 2 ⋅ " E9: (Veja o comentário do exercício anterior!) Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever: Página 7 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E10: E11: E12: Página 8 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2: 2 2 1, 64 , 2 2 2, 128, 21 2 4, 256, 2- 2 512, 8, 2 16, 2 32 É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o 2 1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto, basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão: Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2. E14: ALTERNATIVA E (Veja resolução anterior) Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo, é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0. Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será melhor visto em logaritmos. Página 9 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E15: ALTERNATIVA D Página 10 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E16: Alternativa D Página 11 de 12 Lista de Exercícios - Potenciação E17: Alternativa C Página 12 de 12
