Lista de Exercícios - Potenciação

Lista de Exercícios - Potenciação
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g
Gabaritos nas últimas páginas!
Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação
também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos
muito ligados!
Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ
E1: Simplifique:
E2: Simplifique:
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2
E3: Mostre que
2 .
2 .
E4: Mostre que 2
E5: O número 2
é par ou ímpar? Justifique.
E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda:
a) O número 3
é par? Justifique.
b) E o número3
? Justifique.
E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra
sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam
exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía
metade da área ocupada.
E8: Reescreva
livrando-se do expoente negativo.
E9: Reescreva
livrando-se dos expoentes negativos.
⋅
⋅
E10: Mostre que
E11:
Se 5
a)
E12: Calcule:
8, então o valor de 5
b)
!
c)
"
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vale:
d)
e)
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E13: Qual o último algarismo de 2 ?
E14:
Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de
2# ?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 6
e) 0
E15:
$,
Colégio Naval) O valor aproximado de
a) 0,045
b)0,125
c)0,315
!√ ,
! ,
d)0,085
…
é:
e)0,25
E16:
Colégio Naval) Sejam
(
"
) !√ *
valor de 4(
a) 1
!)
"
√ *
e+
3+ é:
b) 2
"
) !√ *
c) 3
√
d) 4
)
"
√ *
. Então o
e) 5
E17:
OBM) O valor da soma
a)
b)
$$
"$$"
c) 1
⋅ -"$$"
⋅
$$
.
d)
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$$
"$$"
⋅ -"$$"
⋅
$$
e) 2
é:
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Gabarito
E1:
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E2:
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E3: Basta observar que:
a)
b)
2
2
/⋅/
/
0
/
0
No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não.
E4:
Como 2
21 , concluímos que 2
2
E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas:
a) O número precisa ser inteiro.
b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo
menos um fator 2.
Note que 2
2 ⋅ 2 ⋅ 2 … ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos
os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo
menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o
número 2
é par.
E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor).
O número 3
pode ser reescrito como 23
3 ⋅3
3343
⋅ 3…
335
⋅ 3. Note a ausência de
6789:;<
um fator 2. Isso significa que 3
é um inteiro que, não sendo par, é ímpar.
Da mesma forma, o número 3
é um número ímpar, pois há a ausência de
um fator 2 em seu desenvolvimento.
E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que,
no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade
da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do
lago estava ocupada.
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E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o
denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa
transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e
outras escolas militares.
2 e2
"
Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!!
Se tivermos
Assim sendo,
"
!
não podemos escrever
2
⋅
"
E9: (Veja o comentário do exercício anterior!)
Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever:
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E10:
E11:
E12:
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E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2:
2
2
1,
64 , 2
2
2,
128, 21
2
4,
256, 2-
2
512,
8,
2
16,
2
32
É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o
2
1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O
padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA
ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto,
basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto
zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da
sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão:
Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo
da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2.
E14: ALTERNATIVA E
(Veja resolução anterior)
Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o
desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo,
é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0.
Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja
necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por
exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será
melhor visto em logaritmos.
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E15: ALTERNATIVA D
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E16: Alternativa D
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E17: Alternativa C
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